2019高考数学（江苏） 考前冲刺技巧二　审题方法秘籍

必备二　审题方法秘籍
　　审题是解题的基础,深入细致地审题是成功解题的前提,审题不仅存在于解题的开端,还贯穿于解题的全过程和解后的反思回顾.正确的审题要从多角度观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题的实质,选择正确的解题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从何处入手,致使解题错误而丢分,下面结合实例,教你正确的审题方法,帮你铺设一条“审题路线”,攻克高考解答题.
一审　审条件挖隐含
　　有的题目条件隐于概念、存于性质或含于图中.审题时,就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息,解题时可避免因忽视隐含条件而出现错误.
典型例题
　　例1　(2018江苏扬州高三第一次模拟)已知函数f(x)=sin x-x+,则关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0的解集为　　　　.?
▲审题指导　
sin(-x)=-sin x,2-x=f '(x)<0f(1-x2)<-f(5x-7)=f(7-5x)1-x2>7-5x
答案　(2,3)
解析　∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,∵f '(x)=cos x-1--2xln 2,
∴f '(x)<0,∴函数f(x)单调递减,则不等式f(1-x2)+f(5x-7)<0可化为f(1-x2)7-5x,解得2跟踪集训
1.已知函数f(x)=2x,当x∈[0,3]时, f(x+1)≤f[(2x+a)2]恒成立,则a的取值范围为　　　　　　　　.?
二审　审结论会转换
　　解决问题的最终目标是求出结果或证明结论,因而解决问题时的思维过程大多围绕着结论定向思考.审视结论,就是在结论的引导下,探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向.
典型例题
　　例2　已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.
▲审题指导　思路:
证明两曲线有唯一公共点函数φ(x)=ex-x2-x-1有唯一一个零点
φ'(x)=ex-x-1结论
证明　曲线y=ex与曲线y=x2+x+1公共点的个数等价于函数φ(x)=ex-x2-x-1零点的个数.
∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点x=0.
又φ'(x)=ex-x-1,令h(x)=φ'(x)=ex-x-1,
则h'(x)=ex-1.
当x<0时,h'(x)<0,
∴φ'(x)在(-∞,0)上单调递减;
当x>0时,h'(x)>0,
∴φ'(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴φ'(x)在x=0处有唯一的极小值φ'(0)=0,
即φ'(x)在R上的最小值为φ'(0)=0.
∴φ'(x)≥0(当且仅当x=0时,等号成立),
∴φ(x)在R上是单调递增的,
∴φ(x)在R上有唯一的零点,
故曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一的公共点.
跟踪集训
2.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.令f(x)=g+mln x+(m∈R,x>0).
(1)求 g(x)的表达式;
(2)若?x>0, f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(3)设1三审　审结构定方案
　　数学问题中的条件和结论,大都是以数式的结构形式呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构深入分析,加工转化,就可以找到解决问题的方案.
典型例题
　　例3　设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
▲审题指导　
(1)
(2)an=2n→=→Tn=1-→解不等式|Tn-1|解析　(1)由已知Sn=2an-a1,
得Sn-1=2an-1-a1(n≥2),
所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,
即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由(1)得=,
所以Tn=++…+==1-.
由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.
因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.
所以使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.
跟踪集训
3.(2018盐城时杨中学高三月考)在数列{an}中,a1=,an+1=,bn=,其中n∈N*.
(1)求证:数列{bn}为等差数列;
(2)设cn=bnbn+1cos nπ,n∈N*,数列{cn}的前n项和为Tn,若当n∈N*且n为偶数时,Tn≤tn2恒成立,求实数t的取值范围;
(3)设数列{an}的前n项和为Sn,试求数列{S2n-Sn}的最大值.
四审　审图形抓特点
　　在不少数学高考试题中,问题的条件经常以图形的形式给出,或将条件隐含在图形中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想是破解考题的关键.
典型例题
　　例4　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f -f 的单调递增区间.
▲审题指导　第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和的三角函数公式和辅助角公式将g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看作一个整体,利用y=sin x的单调区间,通过解不等式求得结果.
解析　(1)由题图知,周期T=2=π,
所以ω==2,
因为点在函数图象上,
所以Asin=0,
即sin=0.
又因为0<φ<,所以<+φ<,
从而+φ=π,即φ=.
又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)g(x)=2sin-2sin2+
=2sin 2x-2sin=2sin 2x-2
=sin 2x-cos 2x=2sin.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是,k∈Z.
跟踪集训
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则f(2)=　　　　.?
五审　审图表找规律
　　题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的方向.在审题时,认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方法.
典型例题
　　例5　把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2 015,则i+j=　　　　.?
1
2,4
3,5,7
6,8,10,12
9,11,13,15,17
14,16,18,20,22,24
…
▲审题指导　i是奇数2 015位于奇数行的位置,求出i判断这一行数的个数求出j求出i+j
答案　110
解析　由三角形数表可以看出,奇数行中的数都是奇数,偶数行中的数都是偶数,2 015=2×1 008-1,所以2 015为第1 008个奇数,又每一个奇数行中奇数的个数就是行数,且前31个奇数行内奇数的总个数为31×1+×2=961,前32个奇数行内奇数的总个数为32×1+×2=1 024,故2 015在第32个奇数行内,所以i=63,因为第31个奇数行的最后一个奇数是961×2-1=1 921,所以第63行的第一个数为1 923,所以2 015=1 923+2(j-1),故j=47,从而i+j=63+47=110.
跟踪集训
5.已知数列{an},an=2·,把数列{an}的各项排成三角形状,如图所示,记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=　　　　.?
a1
a2　a3
a4　a5　a6
a7　a8　a9　a10
…
6.下表给出一个“三角形数阵”.
　
　　
…
已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*).
(1)求a83;
(2)试写出aij关于i,j的表达式;
(3)记第n行的和为An,求数列{An}的前m项和Bm的表达式.
六审　审范围防易错
　　范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束条件,从整体上把握问题.
典型例题
　　例6　已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
▲审题指导　(1)f(x)=ln x+a(1-x)→f '(x)=-a
结论
(2)由(1)中结论→f(x)的最大值ln a+a-1<0g(a)=ln a+a-1
解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=-a.
若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时, f '(x)>0;当x∈时,f '(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f =ln +a=-ln a+a-1.因此f >2a-2等价于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,a>0,g'(a)=+1>0,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,
于是,当01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
跟踪集训
7.在三角形ABC中,已知2·=||·||,设∠CAB=α,
(1)求角α的值;
(2)若cos(β-α)=,其中β∈,求cos β的值.
七审　审方法寻捷径
　　方法是解题的手段,数学思想方法是解决问题的主线.选择适当的解题方法往往使问题的解决事半功倍.
典型例题
　　例7　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.
▲审题指导　
(1)
(2)四边形OPTQ是平行四边形S?OPTQ=2S△OPQ→S△OPQ=|OF||y1-y2|→y1与y2的关系→联立直线PQ的方程与椭圆的方程
解析　(1)由已知可得=,c=2,所以a=.
由a2=b2+c2,得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1.
(2)设T点的坐标为(-3,m),
则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,
则直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,
也满足方程x=my-2.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
∴Δ=16m2+8(m2+3)>0,y1+y2=,y1y2=,
则x1+x2=m(y1+y2)-4=.
因为四边形OPTQ是平行四边形,
所以=,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).
所以解得m=±1.
所以S四边形OPTQ=2S△OPQ=2×·|OF|·|y1-y2|
=2=2.
跟踪集训
8.(2018常州教育学会学业水平检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点A是椭圆的左顶点,过原点的直线MN与椭圆交于M,N两点(M在第三象限),与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN,且·=b2.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若S△ANM+S△POF=a,求椭圆C的标准方程.
答案精解精析
一审　审条件挖隐含
跟踪集训
1.答案　{a|a≥1或a≤-8}
解析　因为f(x)=2x是单调增函数,
所以由f(x+1)≤f[(2x+a)2]得x+1≤(2x+a)2,
则问题转化为x+1≤(2x+a)2对x∈[0,3]恒成立,
即4x2+(4a-1)x+a2-1≥0对x∈[0,3]恒成立,
令h(x)=4x2+(4a-1)x+a2-1,
若<0,则h(0)≥0,此时a≥1;
若>3,则h(3)≥0,此时a≤-8;
若0≤≤3,则Δ=(4a-1)2-16(a2-1)≤0,此时无解.
综上,a的取值范围是{a|a≥1或a≤-8}.
二审　审结论会转换
跟踪集训
2.解析　(1)设g(x)=ax2+bx+c,a≠0,于是
g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2,所以
又g(1)=-1,则b=-.所以g(x)=x2-x-1.
(2)f(x)=g+mln x+=x2+mln x(m∈R,x>0).
当m>0时,由对数函数性质知f(x)的值域为R;
当m=0时, f(x)=,?x>0, f(x)>0恒成立;
当m<0时,由f '(x)=x+=0?x=,列表:
x
(0,)
(,+∞)
f '(x)
-
0
+
f(x)
减
极小值
增
这时, f(x)min=f()=-+mln.
f(x)min>0??-e所以若?x>0, f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围是(-e,0].
故?x>0, f(x)≤0成立,实数m的取值范围(-∞,-e]∪(0,+∞).
(3)证明:因为?x∈[1,m],H'(x)=≤0,
所以H(x)在[1,m]内单调递减.
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=m2-mln m-,
|H(x1)-H(x2)|<1?m2-mln m-<1?m-ln m-<0,
记h(m)=m-ln m-(1则h'(m)=-+=+>0,
所以函数h(m)=m-ln m-在(1,e]上是单调增函数,
所以h(m)≤h(e)=-1-=<0,故命题成立.
三审　审结构定方案
跟踪集训
3.解析　(1)证明:∵bn+1====,
∴bn+1-bn=-=1.
∴数列{bn}是公差为1的等差数列.
(2)由题意可知,b1==1,故bn=n.
因为cn=bnbn+1cos nπ,n∈N*,
所以Tn=c1+c2+…+cn=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)nbnbn+1.
当n∈N*且n为偶数时,设n=2m,m∈N*.
则Tn=T2m=-b1b2+b2b3-b3b4+b4b5-…+(-1)2mb2mb2m+1.
=b2(-b1+b3)+b4(-b3+b5)+…+b2m(-b2m-1+b2m+1)
=2(b2+b4+…+b2n)=4(1+2+…+m)=2m2+2m=n2+n.
要使Tn≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,
只要使n2+n≤tn2对n∈N*且n为偶数恒成立,
即使t≥+对n为正偶数恒成立.
∵=+=1,∴t≥1,
故实数t的取值范围是[1,+∞).
(3)由(2)知bn=n,又bn=,∴an=-.
∴Sn=10-,
∴S2n=10- ,
设Mn=S2n-Sn=10- ,
∴Mn+1=
10-,
∴Mn+1-Mn=10-
=10-=-,
∴当n=1时,Mn+1-Mn=->0,即M1当n≥2时,Mn+1-Mn<0,即M2>M3>M4>….
∴(Mn)max=M2=10×-1=.
因此数列{S2n-Sn}的最大值为.
四审　审图形抓特点
跟踪集训
4.答案　-
解析　由三角函数的图象可得T=3-1=2,所以最小正周期T==,解得ω=.又f(1)=sin=1,解得φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin,k∈Z,
则f(2)=sin=sin =-.
五审　审图表找规律
跟踪集训
5.答案　2×
解析　由题意知:第一行共1项,第二行共2项,第三行共3项,……,可以猜测第n行共n+1项,因为A(10,8)是第十行第八列,故前九行的项数总和是S9==45,再加上第十行的8项就是A(10,8)=a53=2×,
故答案为2×.
6.解析　(1)由题知,{ai1}成等差数列,因为a11=,a21=,
所以公差d=,a81=+(8-1)×=2.又从第三行起,各行成等比数列,公比都相等,a31=,a32=,所以,每行的公比q=,故a83=2×=.
(2)由(1)知ai1=+(i-1)=,所以aij=ai1·=·=i·.
(3)An=an1
==-n.
Bm=(1+2+…+m)-
.
设Tm=+++…+,①
则Tm=+++…+,②
由①-②,得Tm=+++…+-=1--=1-,
所以Bm=·-=+-1.
六审　审范围防易错
跟踪集训
7.解析　(1)由2·=||·||,
得2||·||cos α=||·||,
所以cos α=,又因为α为三角形ABC的内角,所以α=.
(2)由(1)知sin α=,且β-α∈,又cos(β-α)=,所以sin(β-α)=,
故cos β=cos(β-α+α)=cos(β-α)cos α-sin(β-α)sin α=×-×=.
七审　审方法寻捷径
跟踪集训
8.解析　(1)由题意知消去y,
得x2+ax+b2=0,
解得x1=-a,x2=-,
所以xM=-∈(-a,0),·=xMxA=a=b2,=,所以e=.
(2)由(1)知M,右准线方程为x=b,
直线MN的方程为y=x,所以P,
S△POF=OF·yP=b·b=2b2,
S△AMN=2S△AOM=OA×|yM|=2b×b=b2,
所以2b2+b2=a,
b2=b2,所以b=,a=2,
椭圆C的标准方程为+=1.