18.1 勾股定理
一.选择题
1. 如图是一个直角三角形，它的未知边的长x等于（ ）
A. 13 B. C.5 D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点Ｃ到AB的距离是（ ）
A. 3 B. 4 C. 15 D. 7.2
3. 如图所示，求黑色部分(长方形)的面积为（ ）
A.24 B. 30 C.48 D. 18
4. 如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为（ ）
A.169 B.25 C.19 D.13
5. 如图，小方格都是边长为一的正方形，则三角形ABC中BC边上的高是（ ）
A.1.6 B.1.4 C.1.5 D.2
二.填空题
1. 一直角三角形的两直角边分别是3和4，则第三边为 .
2. 一直角三角形的面积是24，两条直角边的是差2，则较短的直角边长为 .
3. 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是 .
4. 如图已知一根长8米的竹竿在离地3米处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距地面有 . 米.
三.解答题
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=BC+1，求Rt△ABC的面积.
2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=3，BC=2，求AB的长.
3. 如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm一机器人在点B处看见一个小球从点A，出发沿着AO方向匀速滚向点O机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处拦截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
参考答案
一.1.B 2D .3B .4.B 5.B
二.
1.5
2.6
3.19
4.4
三
1.解答，如图所示，设AB=x，则BC=x-1,
故在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2
故x2=52+(x-1)2
解得，x=13
所以，AB=13,BC=12
所以，
3.解答，设BC为xcm，则AC=xcm,OC=(9-x)cm
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB2+OC2=BC2
所以，32+(9-x)2= x2,
解得，x=5，
答: 机器人行走的路程BC是5厘米，
课件29张PPT。18.1勾股定理沪科版 八年级下新知导入其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.新知导入据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).新知导入在行距、列距都是1的方格图中，任作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1、S2与 S3分别表示几个正方形的面积.新知导入观察上图，并填写下表：图中（1）（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系呢？请用它们的边长表示.9918189162525（1） （2）新知导入如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的例子，我们猜想：下面动图形象的说明的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.新知导入新知讲解在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c为正数 定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：abc新知讲解∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，赵爽弦图证明：汉代数学家赵爽，把勾股定理叙述成，勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦， 除了古人的这种证明方法，还可以用什么证明方法呢？新知讲解∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2 +b2 =c2.∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，证明：已知：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=c， BC=a，AC=b，求证:a2+b2=c2.面积法新知讲解 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.(2)据勾股定理得新知讲解 例2 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最长只能伸长到10m，消防车高3m，救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1米).分析:如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O，则OB=9-3=6米，OD=12-3=9米.根据以上数据，由勾股定理，可解得结果.新知讲解解:如图，设A是云梯的下端点，AB是伸长后的云梯，B是第一次救人的地点，D是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房ED的交点为O，则OB=9-3=6米，OD=12-3=9米.在Rt△ABO中，由勾股定理得在Rt△CDO中，由勾股定理得答：这时消防车要从原处再着火的楼房靠近约3.6米新知讲解 例3 已知，如图在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12，求斜边上的高CD的长.分析：首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积计算出CD即可.新知讲解∵ Rt△ABC的面积由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．课堂练习1.图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形Ｇ的边长是6厘米，则正方形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ的面积之和是（ )
Ａ. 18cm2 Ｂ.36cm2 Ｃ. 72cm2 Ｄ.108cm2课堂练习解.由图可得，A与B的面积的和是E的面积，C与D的面积的和是F的面积，而EF的面积的和是G的面积，即Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ的面积之和为三个Ｇ的面积，
∵Ｇ的面积为62＝36cm2
∴Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ的面积之和为36×3＝108cm2
故而选：Ｄ课堂练习2.如图，ΔABC中，AB=AC,AB=5,BC=8,AD是∠BAC平分线，则AD的长为（ )
Ａ. 5 Ｂ.4 Ｃ. 3 Ｄ.2故而选：Ｃ解：∵ AB=AC, AD是∠BAC平分线，由勾股定理，得课堂练习3.在ΔABC中， ∠C=90°,AC=9,BC＝12，则AB边上的高是（ )课堂练习故而选：Ａ解：设 AB边上的高为h,在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=9,BC＝12，由勾股定理得， ∵ Rt△ABC的面积中考链接1.(2018滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
Ａ5 Ｂ. 6 Ｃ.7 Ｄ8在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾2+股2=弦2【分析】直接根据勾股定理，求解即可，解: 由勾股定理，得：故选Ａ.1.(2018滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
Ａ5 Ｂ. 6 Ｃ.7 Ｄ8勾2+股2=弦2中考链接中考链接2.(2017襄阳）赵爽玄图巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，若(a+b)_2=21，大正方形的面积为13，，则小正方形的面积为（ ）
Ａ3 Ｂ. 4 Ｃ.5 Ｄ6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知(a+b) 2=21 ，大正方形的面积为13，可以得出，直角三角形的面积，进而求出答案，中考链接解：如图所示，故选A.∵ (a+b) 2=21
∴a2+2ab+b2=21
∵大正方形的面积为13,2ab=21-13=8
∴小正方形的面积为13-8=5课堂总结⒈是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？⒉在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？⒊据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种，今天我们用了什么方法？4.运用勾股定理应注意哪些事项？不是由特殊到一般面积法（1）前提条件是在直角三角形中；（2）弄清哪个角是直角；（3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；谈谈你的收获和体会吧！板书设计作业布置1.必做作业：课本57页第1、2题
2.选做作业：课本57页第7题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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沪科版数学八年级下册18.1勾股定理 教学设计
课题
18.1勾股定理
单元
第18章第1节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
1、探索直角三角形三边关系
2、了解勾股定理的发现过程
3、掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
【过程与方法】?
1、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
2、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
【情感态度与价值观】
1、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
2、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
重点
了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用
难点
理解勾股定理的演绎和推导过程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，我们人类始终在探求地球以外是否存在着生命？其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形，
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.勾股定理有着悠久的历史。古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来了解吧：
师：在行距、列距都是1的方格图中，任作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1、S2与 S3分别表示几个正方形的面积.
师：观察图，并填写下表：
师：图中（1）（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系呢？请用它们的边长表示.
师：由上面的例子，我们猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
认真听讲积极思考，
在老师的引导下，具体思考，认真发言，
设置情景，调动学生的学习积极性，为新课学习做好铺垫，
从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们从中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。
讲授新课
师：下面动图形象的说明的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
师：通过动图，我们可以得到如下结论，
师：下面我们来看一下，我们的老祖先，赵爽是怎么证明的？下面这个图，叫做赵爽的弦图，
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
师：他们勾古定理都有什么用呢？下面我们来通过几个例题来看看它的应用，
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
例2 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图，已知云梯最长只能伸长到10m，消防车高3m，救人时云梯伸至最长，在完成从9m高处救人后，还要从12m高处救人，这时消防车要从原处再着火的楼房靠近多少米？(精确到0.1米).
例3 已知，如图在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12，求斜边上的高CD的长，
思考探索，认真证明，
认真思考积极发言，展示成果，
通过证明，进一步验证勾股定理，同时培养学生，民族自豪感和爱国主义情操，
通过例题，巩固新知，
课堂练习
1.图是一株美丽的勾股数，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大的正方形Ｇ的边长是6厘米，则正方形Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ的面积之和是（ )
Ａ. 18cm2 Ｂ.36cm2 Ｃ. 72cm2 Ｄ.108cm2
2.如图，ΔABC中，AB=AC,AB=5,BC=8,AD是∠BAC平分线，则AD的长为（ )
Ａ. 5 Ｂ.4 Ｃ. 3 Ｄ.2
3.在ΔABC中， ∠C=90°,AC=9,BC＝12，则AB边上的高是（ )
独立完成，聚集展示，
通过练习，进一步巩固，勾股定理，掌握并运用其解决一些实际问题，
中考链接
1.(2018滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
Ａ5 Ｂ. 6 Ｃ.7 Ｄ8
2.(2017襄阳）赵爽玄图巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，若(a+b)_2=21，大正方形的面积为13，，则小正方形的面积为（ ）
Ａ3 Ｂ. 4 Ｃ.5 Ｄ6
交流合作，认真完成，
通过实战，与中考接轨，掌握知识的命题方向，
课堂小结
谈谈你的收获和体会吧！
⒈是不是所有的三角形三边关系都满足勾股定理？
⒉在发现勾股定理的过程中，我们用了什么方法？
⒊据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种，今天我们用了什么方法？
4.运用勾股定理应注意哪些事项？
（1）前提条件是在直角三角形中；
（2）弄清哪个角是直角；
（3）已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论；
认真回顾梳理知识，积极回答问题，
为学生梳理，本节知识，使知识内化，
板书
1.一个定理
2.一次探索
3.一种思想
4.一份自豪
整理笔记，
为学生留下，思考的线索，
