5.3 双星模型 卫星变轨问题重难强化练（四） Word版含解析

重难强化练（四） 双星模型+卫星变轨问题
1．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　)
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
解析：选AD　根据题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们符合双星的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，A正确。它们的角速度相等，B错误。由m甲a甲＝m乙a乙，所以＝＝，D正确。由m甲ω甲v甲＝m乙ω乙v乙，所以＝＝，
C错误。
2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　　　　　 　B.T
C.T D.T
解析：选B　设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。
3．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图1所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为(　　)
图1
A．与v的方向相反
B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右
D．垂直v的方向向左
解析：选B　要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，因此B正确。
4.如图2所示，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的空间站B输送物资，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是(　　)
图2
A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变小
B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变大
C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变大
D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变小
解析：选B　飞船由低轨道向高轨道运行时，需要提高在轨道上的运行速度，增加轨道高度才能使宇宙飞船A到达更高轨道与空间站B对接；由G＝mr可知，r增大，T变大，故B正确。
5．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比(　　)
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
解析：选D　卫星在圆形轨道上运动时，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G＝m＝mr，得r＝ ，v＝。因为在变轨过程中，卫星周期T增大，所以轨道半径r增大，速率v减小，即卫星动能减小，又因为卫星在变轨前后机械能增大，因而引力势能增大，故D正确。
6．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　)
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
解析：选A　探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，由G＝mr，得周期T＝2π，当周期变小时，轨道半径r变小，选项A正确；由G＝ma＝m＝mrω2，得向心加速度a＝G，线速度v＝，角速度ω＝，可见，轨道半径r变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项B、C、D均错误。
7.如图3所示 ，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器(　　)
图3
A．变轨后将沿轨道2运动
B．相对于变轨前运行周期变长
C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等
解析：选D　推进器短时间向前喷气，飞行器将被减速，故选项C错误；此时有G＞m，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，故选项A错误；根据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，故选项B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，故选项D正确。
8．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍，假设宇宙空间中由甲、乙两星构成的双星系统，正以相同的周期T绕它们的连线上某点做匀速圆周运动，双星中心相距为R，甲星的质量大于乙星的质量。若采取措施将乙星上的物质，搬走质量Δm到甲星上去，保持距离R不变，设它们做匀速圆周运动的周期为T′，引力常量为G。则下列结论正确的是(　　)
A．利用上述数据可求出双星的总质量
B．圆周运动的圆心将向乙星移动
C．周期T′将小于T
D．甲、乙两星运动的线速度均增大
解析：选A　设甲、乙两星质量分别为M1和M2，甲、乙到圆心的距离分别为l1和l2。由万有引力提供向心力得
对M1有G＝M12l1
对M2有G＝M22l2
两式相加整理得M1＋M2＝(l1＋l2)＝
所以，可求出双星的总质量。由质量和的表达式知，周期T只与二者间的距离R以及二者质量和有关，则T′＝T。由M1ω2l1＝M2ω2l2知，若将乙星上的物质搬到甲星上去，乙的半径l2将增大，圆周运动的圆心将向甲星移动。因周期不变，则角速度不变，甲的半径l1减小，甲的线速度减小，综上所述，本题答案为A。
9．银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G。由此可求出S2的质量为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿定律得：
对S1有G＝m12r1，
解之可得m2＝。
所以正确选项是D。
10.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图4所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求：
图4
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？
(2)远地点B距地面的高度h2为多少？
解析：(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G
由牛顿第二定律得aA＝＝＝。
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝
由牛顿第二定律得G＝m2(R＋h2)
解得h2＝－R。
答案：(1)　(2) －R
11．质量分别为m1和m2的两个天体，相距r。其他天体离它们很远，以至可以认为这两个天体除相互之间的万有引力外不受其他外力作用，这两个天体被称为双星，双星能够保持距离r不变，是由于它们绕着共同的中心(质心)做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，试分析、计算：
(1)共同中心(质心)在何处？两个天体到共同中心O的距离r1、r2各为多大？
(2)两个天体绕共同中心O转动的角速度、线速度、周期各多大？
解析：(1)由于两个天体(视作质点)间相互作用的万有引力方向均沿两个天体的连线，所以共同中心(质心)O一定位于连线上(如图所示)。
两个天体绕O以角速度ω做匀速圆周运动，据此可列出两个天体的运动方程：
m1ω2r1＝G①
m2ω2r2＝G②
联立①②解得m1r1＝m2r2
根据题意r1＋r2＝r，可得r1＝r，r2＝r。
(2)由方程①②及r1、r2的表达式，经简单推演，即可得角速度、线速度、周期表达式如下
ω＝；v1＝ωr1＝m2
v2＝ωr2＝m1；
T＝＝2πr。
答案：见解析
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕二者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
图5
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′的表达式(用m1、m2表示)。
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T及质量m1之间的关系式。
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量mS的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6mS，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，mS＝2.0×1030 kg)
解析：(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω0，根据牛顿运动定律，有FA＝m1ω02r1，FB＝m2ω02r2，FA＝FB
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2
由上述各式得r＝r1①
由万有引力定律，有FA＝G
将①式代入得FA＝G
又FA＝G
可得m′＝。②
(2)根据牛顿第二定律，有G＝m1③
又可见星A的轨道半径r1＝④
由②③④式可得＝。⑤
(3)将m1＝6mS代入⑤式得＝
代入数据，得＝6.9×1030 kg＝3.45mS⑥
设m2＝nmS(n＞0)，将其代入⑥式，得
＝mS＝3.45mS⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得
mS＝0.125mS＜3.45mS
若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2mS，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
答案：见解析