6.2量子世界 同步练习 Word版含答案

6.2 量子世界

一、 “紫外灾难”
1．黑体
黑体是一个理想模型，即一个能完全吸收热辐射而不反射热辐射的物体。
2．紫外灾难
人们发现黑体的单色辐出度与黑体的辐射波波长和温度有关，并得出了黑体的单色辐出度与辐射波波长λ(μm)、温度T(K)之间关系的实验曲线，该实验曲线与从经典物理理论导出的结果在紫外区相矛盾，故人们称其为黑体辐射的“紫外灾难”。
二、不连续的能量
1．普朗克的量子假说认为物质辐射(或吸收)的能量E只能是某一最小能量单位的
整数倍。
E＝nε，n＝1,2,3…
2．辐射是由一份份的能量组成的，辐射中的一份能量就是一个量子，量子的能量大小取决于辐射的波长，量子的能量ε与波长成反比与频率ν成正比，即ε＝hν＝h。公式中的h是普朗克常数，数值为6.626 176×10－34 J·s，这是普朗克引进的一个物理普适常数，它是微观现象量子特性的表征。
三、物质的波粒二象性
1．光电效应和康普顿效应表明光具有粒子性，光的干涉、衍射、偏振现象表明光具有波动性，光既有波动性又有粒子性，把这种性质叫做光的波粒二象性。
2．德布罗意进一步提出物质波理论：每个物质粒子都伴随着一种波，这种波称为物质波，又叫概率波。
戴维孙、革末及汤姆孙的电子衍射实验证实了物质波的存在。
3．光与静止质量不为零的物质都具有波粒二象性。粒子性或量子性的本质在于不连续性；波动性的实质在于对微观物体状态及运动描述的不确定性，不能把物质波理解为经典的机械波和电磁波。
1．自主思考——判一判
(1)首先提出量子理论的科学家是爱因斯坦。(×)
(2)黑体的单色辐出度与黑体的辐射波波长和温度有关。(√)
(3)一个量子就是组成物质的最小微粒，如原子、分子。(×)
(4)个别光子的行为表现为粒子性，大量光子的行为表现为波动性。(√)
(5)光具有波粒二象性说明有的光是波，有的光是粒子。(×)
(6)辐射的能量是一份一份的，因此物体的动能也是一份一份的。(×)
2．合作探究——议一议
(1)你觉得夏天穿什么颜色的衣服最热？为什么？
提示：夏天穿黑色衣服比穿浅色衣服感觉要热得多，因为黑色衣服吸收热辐射的能量多，反射热辐射的能量少，因而感觉要热得多。
(2)按照量子理论，对应于3.4×10－19 J能量的量子，其电磁辐射的频率约是多少？
提示：根据公式ε＝hν得，ν＝＝ Hz≈5.13×1014 Hz。
(3)宏观物体与微观粒子行为的差异有哪些？二者遵循的运动规律分别是什么？
提示：宏观物体具有粒子性，遵循经典力学规律；微观粒子同时具有粒子性和波动性，即在微观世界，粒子具有波粒二象性。它们的运动规律无法用经典力学来说明，能够正确描述微观粒子运动规律的基本“武器”是相对论和量子力学。

黑体辐射的理解
1．黑体模型的理解
黑体只是一种理想模型，但如果做一个闭合的空腔，在空腔表面开一个小孔，该空腔就可以模拟黑体，如图6-2-1所示。这是因为从外面射来的辐射，经小孔射入空腔，要在腔壁上经过多次反射，才可能有机会射出小孔。在多次反射过程中，外面射来的辐射几乎全部被腔壁吸收。
图6-2-1
2．黑体辐射实验规律的解释
(1)维恩公式解释：1896年，德国物理学家维恩从热力学理论出发，得到了一个公式，但它只是在短波部分与实验相符，而在长波部分与实验存在明显的差异(如图6-2-2所示)。
(2)瑞利公式解释：1900年，英国物理学家瑞利从经典电磁理论出发推导出一个公式，其预测结果如图6-2-2所示，在长波部分与实验吻合，在短波部分偏差较大，尤其在紫外区域，当波长趋于零时，辐射本领将趋于无穷大，显然这是荒谬的，这种情况被人们称为“紫外灾难”。
图6-2-2
1．黑体辐射的“紫外灾难”是指(　　)
A．紫色的自然灾害
B．实验曲线与经典物理理论的计算结果不符合，该结果出现在紫外区，故称为黑体辐射的“紫外灾难”
C．黑体温度达到一定值时，物体辐射的全部是紫外线
D．黑体温度达到一定值时，物体辐射的全部是紫色
解析：选B　实验曲线与经典物理理论的计算结果不符合，随着波长变短，即向紫外区延伸时，计算的结果与实验曲线严重不符，该结果出现在紫外区，称其为黑体辐射的“紫外灾难”。
2．阅读如下资料并回答问题。
自然界中的物体由于具有一定的温度，会不断向外辐射电磁波，这种辐射因与温度有关，故称为热辐射。热辐射具有如下特点：①辐射的能量中包含各种波长的电磁波；②物体温度越高，单位时间内物体表面单位面积上辐射的能量越大；③在辐射的总能量中，各种波长所占的百分比不同。
处于一定温度的物体在向外辐射电磁能量的同时，也要吸收由其他物体辐射的电磁能量，如果它处在平衡状态，则能量保持不变。若不考虑物体表面性质对辐射与吸收的影响，我们定义一种理想的物体，它能100%地吸收入射到其表面的电磁辐射，这样的物体称为黑体，单位时间内从黑体表面单位面积上辐射的电磁波的总能量与黑体绝对温度的四次方成正比，即P0＝σT4，其中常量σ＝5.67×10－8 W/(m2·K4)。
在下面的问题中，可以把太阳简单地看做黑体，已知以下有关数据，太阳半径R＝696 000 km，太阳表面的温度T＝5 770 K，太阳热辐射能量的绝大多数集中在波长为2×10－7～1×10－5 m的范围内。
(1)求太阳热辐射相应的频率范围。
(2)每小时从太阳表面辐射的总能量为多少？
解析：(1)由ν＝得，ν1＝ Hz＝1.5×1015 Hz
ν2＝ Hz＝3×1013 Hz
所以辐射频率范围是3×1013～1.5×1015 Hz。
(2)每小时从太阳表面辐射的总能量为
E＝P0·4πR2·t＝4πσR2T4t＝4×3.14×5.67×10－8×(6.96×108)2×5 7704×3 600 J＝1.38×1030 J。
答案：(1)3×1013～1.5×1015 Hz　(2)1.38×1030 J
量子化的应用
1．量子化假设：普朗克提出物质辐射(或吸收)的能量E只能是某一最小能量单位的整数倍，E＝nε，n＝1,2,3…n叫做量子数。量子的能量ε＝hν＝。式中h为普朗克常量(h＝6.63×10－34 J·s)，是微观现象量子特征的表征，ν为频率，c为真空的光速，λ为光波的波长。
2．量子化的“灵魂”——不连续性：在宏观领域中，量子化(或不连续性)相对宏观量或宏观尺度极其微小，完全可以忽略不计。所以宏观物体(如铅球沿斜面滚下时)的动能或势能都是连续变化的 。可是在微观世界中，能量是量子化的。显然量子理论与经典力学的连续观念是不同的，这极大地深化了人类对物质世界的认识。
3．意义：成功地解决了“紫外灾难”问题。
[典例]　已知每秒从太阳射到地球上垂直于太阳光的每平方米截面上的辐射能为1.4×103 J，其中可见光部分约占45%。假设可见光的频率均为5.5×1014 Hz，太阳光向各个方向的辐射是均匀的，日地间距离R＝1.5×1011 m，普朗克常量h＝6.6×10－34 J·s，估算太阳每秒辐射的可见光的光子数约为多少个(只要求保留两位有效数字)。
[思路点拨]　解此题可按以下思路：
[解析]　因太阳光向各个方向的辐射是均匀的，可认为太阳每秒辐射的可见光的光子数等于以太阳为球心、日地间距离为半径的球面上每秒获得的可见光的光子数，已知每秒从太阳射到地球上垂直于太阳光的每平方米截面上的辐射能为σ＝1.4×103 J，可见光所占的比例为η＝45%，则太阳每秒辐射的可见光的能量E＝4πR2ση，
而每个光子的能量E0＝hν，
则太阳每秒辐射的可见光的光子数
N＝＝≈4.9×1044个。
[答案]　4.9×1044个
量子化假设的应用技巧
(1)量子化假设与传统的经典物理的连续性概念是不同的，微观物质系统的存在是量子化的，物体间传递的相互作用是量子化的，物体的状态及其变化也是量子化的。
(2)量子化假设说明最小能量ε＝hν由光的频率决定。要计算宏观物体辐射的总能量与光子个数的关系E总＝N·hν。
(3)由公式ν＝知，假设已知光在真空中的波长和速度，便可求出光的频率。再由ε＝hν便可知一份光量子的能量。
　　　　
1．(多选)关于量子假说，下列说法正确的是(　　)
A．为了解决黑体辐射的理论困难，爱因斯坦提出了量子假说
B．量子假说第一次提出了不连续的概念
C．能量的量子化就是能量的不连续化
D．量子假说认为光在空间中的传播是不连续的
解析：选BC　普朗克提出了量子假说，他认为，物质辐射(或吸收)的能量都是不连续的，是一份一份进行的。量子假说不但解决了黑体辐射的理论困难，而且重要的是提出了“量子”概念，揭开了物理学上崭新的一页，B、C正确。
2．硅光电池是利用光电效应将光辐射的能量转化为电能的。若有N个频率为ν的光子打在硅光电池的极板上，这些光子的总能量为(h为普朗克常数)(　　)
A．hν　　　　　　　　　 　B.Nhν
C．Nhν D．2Nhν
解析：选C　根据普朗克量子假说，每个光子能量为ε＝hν，所以N个光子的总能量E＝Nε＝Nhν，故C正确。
3．试计算：
(1)波长为0.6 μm的可见光，其光子的能量为__________________________________；
(2)波长为0.01 nm的X光(即伦琴射线)，其光子的能量为______________。
解析：(1)该可见光的波长为λ＝0.6 μm＝0.6×10－6 m
所以，该光子的能量为
E＝h＝6.63×10－34× J
＝3.3×10－19 J。
(2)这种X光的波长为
λ＝0.01 nm＝1×10－11 m
故这种X光的能量为
E＝h＝6.63×10－34× J
＝1.99×10－14 J。
答案：(1)3.3×10－19 J　(2)1.99×10－14 J
波粒二象性的理解
1．光具有波粒二象性，但它不同于宏观观念的波，也不同于微观观念的粒子。
2．光(或物质)的粒子性与波动性是同时存在的，只是在条件不同时，二者表现出的优势不同。
3．光具有波粒二象性是在不同条件下表现的特性，大量光子表现为波动性，个别光子表现为粒子性。
4．由于宏观物体运动动量(p＝mv)较大，根据德布罗意波长与动量的关系λ＝，其波长非常小，很难观察到它们的干涉、衍射等波的现象，但它们仍然具有波动性。
1．下列关于光的波粒二象性的说法中，正确的是(　　)
A．有的光是波，有的光是粒子
B．光子与电子是同样一种粒子
C．光的波长越长，其波动性越显著；波长越短，其粒子性越显著
D．大量光子的行为往往显示出粒子性
解析：选C　一切光都具有波粒二象性，光的有些行为(如干涉、衍射)表现出波动性，有些行为(如光电效应)表现出粒子性，所以，不能说有的光是波，有的光是粒子，A错误；虽然光子与电子都是微观粒子，都具有波粒二象性，但电子是实物粒子，有静质量，光子不是实物粒子，没有静质量，电子是以实物形式存在的物质，光子是以场形式存在的物质，所以，不能说光子与电子是同样的一种粒子，B错误；光的波粒二象性的理论和实验表明，大量光子的行为表现出波动性，个别光子的行为表现出粒子性。光的波长越长，衍射现象越明显，即波动性越显著；光的波长越短，其光子能量越大，个别或少数光子的作用就足以引起光接收装置的反应，所以其粒子性就很显著，C正确，D错误。
2．物质波的波长公式为λ＝，其中p是物体运动的动量，大小为mv，h是普朗克常量。试估算运动员跑步时的德布罗意波长，说明为什么我们观察不到运动员的波动性？
解析：设运动员跑步时的速度v＝10 m/s，质量m＝60 kg，则动量p＝mv＝600 kg·m/s，相应的德布罗意波长为λ＝＝ m＝1.1×10－36 m
由于这个波长太小了，远远小于日常物体的尺寸，所以我们无法观察到运动员的德布罗意波的干涉和衍射等现象，也就是观察不到运动员的波动性。
答案：见解析
1．普朗克量子假说使得爱因斯坦深受启发，爱因斯坦在研究光电效应时猜测光具有粒子性，从而提出光子说，从科学研究的方法来说，这属于(　　)
A．等效替代　　　　　　　 　B．控制变量
C．科学假说 D．数学归纳
解析：选C　根据实验现象提出理论支持，物理学上把这种研究方法称为“科学假说”。
2．以下宏观概念，哪些是“量子化”的(　　)
A．木棒的长度 B．物体的质量
C．物体的动量 D．同学们的人数
解析：选D　同学们的人数只能是整数，是不连续的，是“量子化”的；其他如质量、长度、动量可取任意数值，不是“量子化”的，故D正确。
3．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．光与静止质量不为零的物质都具有波粒二象性
B．物质波是概率波
C．康普顿效应证明光具有波动性
D．电子的衍射现象证实了物质波的假设是正确的
解析：选ABD　任何物质都具有波粒二象性，选项A正确；物质波又称为概率波，选项B正确；康普顿效应证明光具有粒子性，而不是证明光具有波动性，选项C错误；电子的衍射现象证明了实物粒子也具有波动性，即物质波，选项D正确。
4．下列说法中正确的是(　　)
A．物质波属于机械波
B．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性
C．德布罗意认为，任何一个运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都有一种波和它对应，这种波叫物质波
D．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干涉现象，所以宏观物体运动时不具有波动性
解析：选C　物质波是一切运动着的物体所具有的波，与机械波性质不同；宏观物体也具有波动性，只是波长太短，干涉、衍射现象极不明显，看不出来，故C正确。
5．下列说法中正确的是(　　)
A．光的波粒二象性学说是牛顿的微粒说和惠更斯的波动说组成的
B．光的波粒二象性彻底推翻了麦克斯韦的电磁场理论
C．光子学说并没有否定电磁说，在光子能量ε＝hν中，ν表示波的特性，ε表示粒子的特性
D．光波不同于宏观概念中的那种连续的波，它是反映光子运动规律的一种几率波
解析：选D　解答本题必须掌握一定的物理学史，了解波粒二象性学说的由来及与其他学说的区别与联系。现在人们对光的普遍认识为受波动规律支配的几率波。
6．下列关于物质波的说法中，正确的是(　　)
A．物质波是由近及远地进行传播的
B．某种实物粒子的物质波是没有一定规律的
C．一个光子的运动是受波动规律支配的
D．牛顿定律对高速运动的宏观物体不适用
解析：选D　物质波是几率波，不是由近及远地进行传播的，而是在空间出现的几率表现为波的性质，A错误；某种实物粒子的物质波波长为λ＝是有一定规律的，B错误；一个光子的波动性本质是几率波，其运动是不受波动规律支配的，C错误；牛顿定律是经典物理学的基础，它适用于低速物体，对高速运动的宏观物体不适用，D正确。
7．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．黑体看上去是黑的，因此称为黑体
B．德国物理学家普朗克提出了能量的量子化假说，解决了黑体辐射的理论困难，揭开了物理学崭新的一页
C．所谓量子或量子化，本质是不连续的，普朗克常数是微观现象量子特性的表征
D．能量子的值非常小，研究宏观世界时一般测不到能量子效应，因此在微观世界里，量子化是显著的
解析：选BCD　一个能完全吸收热辐射而不反射热辐射的物体，称之为黑体，黑体是一种理想化物理模型。
8．目前，许多手机都具有双频功能，若某款手机分别使用900 MHz或者1 800 MHz收发信号。如果用900 MHz收发信号，则一个光子携带的能量约为(h＝6.63×10－34 J·s)(　　)
A．2×10－25 J　　　　　 　B．4×10－28 J
C．6×10－25 J D．6×10－28 J
解析：选C　光子的能量为：ε＝hν＝6.63×10－34×900×106 J＝6×10－25 J，故C正确，A、B、D错误。
9．(多选)对于带电微粒辐射和吸收能量时的特点，下列说法正确的有(　　)
A．以某一个最小能量值一份一份地辐射或吸收
B．辐射和吸收的能量是某一最小值的整数倍
C．吸收的能量可以是连续的
D．辐射和吸收的能量是量子化的
解析：选ABD　根据普朗克的量子理论，能量是不连续的，其辐射和吸收的能量只能是某一最小能量单位的整数倍，故A、B、D均正确，C错误。
10．某些物质受到光照后能发出荧光，若入射光的波长为λ0，该物质发出荧光的可能波长为λ，则(　　)
A．一定只有λ＝λ0
B．一定只有λ＞λ0
C．λ为大于等于λ0的连续波长
D．λ为大于等于λ0的非连续波长
解析：选D　由能量守恒定律可知发射光能量小于或等于入射光能量，结合光子的能量与频率或波长的关系ε＝hν＝， 以及辐射能量量子化知识，物质所发出荧光的可能波长λ≥λ0。可知选项D正确。
11．某电视机显像管中电子的运动速率为4.0×107 m/s，质量为10 g的一颗子弹的运动速率为200 m/s，分别计算它们的物质波波长。(已知物质波波长公式为λ＝，me＝9.1×10－31 kg)
解析：对电子
λe＝＝ m
＝1.8×10－11 m
对子弹λ子＝＝ m
＝3.3×10－34 m。
答案：1.8×10－11 m　3.3×10－34 m
12．根据量子理论，光子的能量E0＝hν＝h，其中c为真空中的光速、ν为光的频率、λ为光的波长，普朗克常数取h＝6.6×10－34 J·s。已知太阳光垂直照射时，每平方米面积上的辐射功率约为P＝1.4 kW。假设太阳辐射的平均波长为＝6.6×10－7 m，则在垂直于太阳光的S＝1 m2面积上，每秒钟内可以接收到多少个光子？
解析：依题意，太阳光平均一个光子的能量为＝h
在1 m2面积上，1 s内得到的阳光总能量为E＝Pt，
得到的光子个数
N＝＝
＝
＝4.7×1021(个)。
答案：4.7×1021个

　　　　　　　　　　　　　　　第6章　相对论与量子论初步
(时间：50分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分。第1～5小题只有一个选项正确，第6～8小题有多个选项正确，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．首先提出量子理论的科学家是(　　)
A．普朗克　　　　　　　　 　B．迈克尔孙
C．爱因斯坦 D．德布罗意
解析：选A　为了解释黑体辐射，普朗克首先提出了能量的量子化，故A正确。
2．属于狭义相对论基本假设的是在不同的惯性系中(　　)
A．真空中光速不变
B．时间间隔具有相对性
C．物体的质量不变
D．物体的能量与质量成正比
解析：选A　狭义相对论的两条假设分别是在任何惯性系中真空中的光速不变和一切物理规律相同，故A正确。
3.如图1所示，沿平直铁路线有间距相等的三座铁塔 A、B和 C。假想有一列车沿 AC 方向以接近光速行驶，当铁塔 B 发出一个闪光，列车上的观测者测得 A、C 两铁塔被照亮的顺序是(　　)
图1
A．同时被照亮 B．A 先被照亮
C．C先被照亮 D．无法判断
解析：选C　列车上的观测者看到的是由B发出后经过A和C反射的光，由于列车在这段时间内靠近C，而远离A，所以C的反射光先到达列车上的观测者，看到C先被照亮，故只有C正确。
4.如图2所示，一根10 m长的梭镖以相对论速度穿过一根10 m长的管子，它们的长度都是在静止状态下测量的。以下哪种叙述最好地描述了梭镖穿过管子的情况(　　)
图2
A．梭镖收缩变短，因此在某些位置上，管子能完全遮住它
B．管子收缩变短，因此在某些位置上，梭镖从管子的两端伸出来
C．两者都收缩，且收缩量相等，因此在某个位置，管子恰好遮住梭镖
D．所有这些都与观察者的运动情况有关
解析：选D　如果你是在相对于管子静止的参照系中观察运动着的梭镖，那么梭镖看起来就比管子短，在某些位置，梭镖会完全处在管子内部。然而当你和梭镖一起运动时，你看到的管子就缩短了；所以在某些位置，你可以看到梭镖两端都伸出管子。又如你在梭镖和管子之间运动，运动的速度是在梭镖运动的方向上，而大小是其一半；那么梭镖和管子都相对于你运动，且速度的大小一样；你看到这两样东西都缩短了，且缩短的量相同。所以你看到的一切都是相对的——依赖于你的参考系，故D正确。
5．下列对于光的波粒二象性的说法中，正确的是(　　)
A．一束传播的光，有的光是波，有的光是粒子
B．光子与电子是同样一种粒子，光波与机械波是同样一种波
C．光的波动性是由于光子间的相互作用而形成的
D．光是一种波，同时也是一种粒子，光子说并未否定电磁说，在光子能量ε＝hν中，仍表现出波的特性
解析：选D　光是一种波，同时也是一种粒子，粒子性和波动性是光子本身的一种属性，光子说并未否定电磁说，故D正确。
6．如图3，世界上有各式各样的钟：砂钟、电钟、机械钟和光钟。既然运动可以使某一种钟变慢，它一定会使所有的钟都一样变慢。这种说法(　　)
图3
A．正确
B．错误
C．若变慢，则变慢程度相同
D．若变慢，则与钟的种类有关系
解析：选AC　将不同类型的两架钟调整到时间相同，并将它们密封在一个盒子中，再让该盒子匀速运动。假设运动对一架钟的影响比另一架大，则坐在盒子里的人就能看到两架钟的差别，因而可以判定出盒子是怎样运动的，显然这违反了相对论的基本原理，即一个密闭在盒子中的人是无法辨认自己是处于静止状态，还是匀速运动状态的。所以一架钟变慢时，所有的钟必定都变慢，且变慢的程度一定严格相同。故A、C正确。
7．在引力可以忽略的空间里有一艘宇宙飞船在做匀加速直线运动，一束光垂直于运动方向在飞船内传播，则下列说法中正确的是(　　)
A．飞船外静止的观察者看到这束光是沿直线传播的
B．飞船外静止的观察者看到这束光是沿曲线传播的
C．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿直线传播的
D．航天员以飞船为参考系看到这束光是沿曲线传播的
解析：选AD　由相对论原理可知物理规律在一切惯性系中都相同，故A正确，B错误；由广义相对论原理可知C错误，D正确。
8．爱因斯坦提出了质能方程，揭示了质量与能量的关系，关于质能方程，下列说法不正确的是(　　)
A．质量就是能量
B．当物体向外释放能量时，其质量必定减少，且减少的质量Δm与释放的能量ΔE满足ΔE＝Δmc2
C．如果物体的能量增加了ΔE，那么它的质量相应减少了Δm，并且ΔE＝Δmc2
D．mc2是物体能够放出能量的总和
解析：选ACD　由质能方程可知，能量与质量之间存在着一种对应关系，而不能认为质量就是能量或能量就是质量，能量与质量是两个不同的概念，故选A、C、D。
二、计算题(本题共3小题，共52分)
9．(16分)长度测量与被测物体相对于观察者的运动有关，物体在运动方向上长度缩短了。一艘宇宙飞船的船身长度为L0＝90 m，相对地面以v＝0.8c的速度在一观测站的上空飞过。
(1)观测站的观测人员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？
(2)宇航员测得船身通过观测站的时间间隔为多少？
解析：(1)观测站测得船身的长度为
L＝L0＝90 m＝54 m
通过观测站的时间间隔为
Δt＝＝＝2.25×10－7 s。
(2)宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔为Δt＝＝＝3.75×10－7 s。
答案：(1)2.25×10－7 s　(2)3.75×10－7 s
10．(18分)研究高空宇宙射线时，发现了一种不稳定的基本粒子，称为介子，质量约为电子质量的273倍，它带有一个电子电荷量的正电荷或负电荷，称为π＋或π－。若参考系中π±介子处于静止，它们的平均寿命为τ＝2.56×10－8 s，设π±介子以0.9c的速率运动，求：
(1)在实验室参考系中观测到该粒子的平均寿命。
(2)在实验室参考系中观测到该粒子运动的平均距离。
(3)该粒子运动时的动能。
解析：(1)粒子运动时，在和粒子相对静止的参考系中，粒子的寿命仍为τ＝2.56×10－8 s，而此时在实验室中观察到的寿命τ′应比τ大，满足
τ′＝＝ s≈5.87×10－8 s。
(2)平均距离
d＝vτ′＝0.9×3×108×5.87×10－8 m
＝15.849 m。
(3)粒子的静止质量
m0＝273×9.1×10－31 kg＝2.484 3×10－28 kg
粒子的动能为
Ek＝mc2－m0c2＝c2
≈2.898×10－11 J。
答案：(1)5.87×10－8 s　(2)15.849 m
(3)2.898×10－11 J
11．(18分)太阳在不断地辐射能量，因而其质量也不断地减少。若太阳每秒钟辐射的总能量为4×1026 J，试计算太阳在一秒内失去的质量。估算5 000年内总共减少了多少质量，并求5 000年内减少的质量与太阳的总质量2×1027 t的比值。
解析：由太阳每秒钟辐射的能量ΔE可得其每秒内失去的质量为Δm＝＝ kg
＝×1010 kg≈4.4×109 kg。
在5 000年内太阳总共减少的质量为
ΔM＝Δm·t＝5 000×365×24×3 600××1010 kg≈7×1020 kg。
与太阳的总质量比值为
k＝＝＝3.5×10－10。
答案：4.4×109 kg　7×1020 kg　3.5×10－10
(时间：90分钟　满分：110分)
一、选择题(本题共14小题，每小题4分，共56分。第1～8小题只有一个选项正确，第9～14小题有多个选项正确，全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．在力学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是(　　)
A．伽利略发现了行星运动的规律
B．牛顿通过实验测出了引力常量
C．牛顿最早指出力不是维持物体运动的原因
D．笛卡尔对牛顿第一定律的建立做出了贡献
解析：选D　发现行星运动规律的科学家是开普勒，A错；在牛顿发现万有引力定律一百多年后，卡文迪许通过实验测出了引力常量，B错；最早指出力不是维持物体运动的原因的科学家是伽利略，C错；与伽利略同时代的笛卡尔补充和完善了伽利略“力和运动关系”的论点，对牛顿第一定律的建立做出了贡献，D对。
2．设某人在以速度0.5c飞行的飞船上打开一个光源，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船正前方地面上的观察者看到这一光速为1.5c
B．飞船正后方地面上的观察者看到这一光速为0.5c
C．在垂直飞船前进方向地面上的观察者看到这一光速是0.5c
D．在地面上任何地方的观察者看到的光速都是c
解析：选D　根据光速不变原理知，在任何惯性系中测得的真空中的光速都相同，都为c，故D正确。
3.如图1所示，棒MN在夹角为30°的导轨上以3 m/s的速度向左滑动，在滑动过程中棒MN始终垂直于AB边。MN与AC边的交点是P，则P沿AC滑动的速度大小为(　　)
图1
A．2 m/s　　　　　 　B. m/s
C. m/s D. m/s
解析：选A　如图所示，对P点速度进行分解，则vP＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确。
4．如图2所示，倾角30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板的力是(　　)
图2
A．0.5mg　　　　　　 　B．mg
C．1.5mg D．2mg
解析：选B　质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，由机械能守恒定律可得，到达水平面时速度的二次方v2＝gR，小球在挡板弹力作用下做匀速圆周运动，F＝ ，由牛顿第三定律，小球沿挡板运动时对挡板的力F′＝F，联立解得F′＝mg，B正确。
5．质量为m的物体以v0的速度水平抛出，经过一段时间速度大小变为v0，不计空气阻力，重力加速度为g，以下说法正确的是(　　)
A．该过程平均速度大小为v0
B．速度大小变为v0时，重力的瞬时功率为mgv0
C．运动位移的大小为
D．运动时间为
解析：选C　运动时间为t＝，水平位移为x＝，竖直位移y＝gt2＝，运动位移的大小为s＝＝，D错误，C正确。该过程平均速度大小为v＝＝v0，A错误。速度大小变为v0时，重力的瞬时功率为P＝mgv0cos 45°＝mgv0，B错误。
6．据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是(　　)
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的线速度的大小
D．卫星绕月运行的加速度的大小
解析：选B　由题意知“嫦娥一号”卫星的轨道半径由r＝R月＋h可确定，周期T已知，故线速度大小v＝，向心加速度a＝ω2r＝r；“嫦娥一号”卫星绕月球转动的向心力由万有引力提供，则G＝mr，而月球表面的重力加速度g＝，联立解得：g＝；因为卫星的质量m未知，所以无法确定月球对卫星的吸引力，故选B。
7．某科技创新小组设计制作出一种全自动升降机模型，用电动机通过钢丝绳拉着升降机由静止开始匀加速上升，已知升降机的质量为m，当升降机的速度为v1时，电动机的电功率达到最大值P，此后电动机保持该功率不变，直到升降机以最大速度v2匀速上升为止，整个过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g。有关此过程，下列说法错误的是(　　)
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度v2＝
C．钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功
D．升降机的速度由v1增大至v2的过程中，钢丝绳的拉力不断减小
解析：选C　匀加速上升阶段，钢丝绳拉力最大，F＝，A正确；匀速运动时升降机有最大速度v2＝，B正确；钢丝绳的拉力对升降机所做的功等于升降机克服重力所做的功与动能增量的和，C错；升降机速度由v1增大至v2的过程中，钢丝绳的拉力不断减小，最终等于重力，D正确。
8.如图3，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则(　　)
图3
A．t1C．t1>t2 D．无法比较t1、t2的大小
解析：选A　在滑道AB段上取任意一点E，比较从A点到E点的速度v1和从C点到E点的速度v2易知，v1>v2。因E点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由A滑到C比由C滑到A在AB段上的摩擦力小，因摩擦造成的动能损失也小。同理，在滑道BC段的“凹”形轨道上，小滑块速度越小，其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小，从C处开始滑动时，小滑块损失的动能更大。故综上所述，从A滑到C比从C滑到A在轨道上因摩擦造成的动能损失要小，整个过程中从A滑到C平均速度要更大一些，故t19．关于功和能，下列说法正确的是(　　)
A．内燃机做功的过程是内能转化为机械能的过程
B．用电动机抽水时，若消耗100 J的电能，一定转化为100 J的水的机械能
C．人走路时，没有力做功，所以没有能量转化
D．人骑自行车做功时，自行车和人增加的机械能是由人体内的化学能转化来的
解析：选AD　做功过程是一个能量转化的过程，内燃机燃料燃烧推动活塞对外做功转化为机械能，故A正确；用电动机抽水时，电动机会发热，若消耗100 J的电能时转化为水的机械能一定小于100 J，故B错误；人走路时，人的重力要上下波动，需克服重力做功，所以是化学能转化为机械能的过程，故C错误；人骑自行车做功时，是消耗体内的化学能转化为自行车与人的机械能的过程，故D正确。
10．质量为m的汽车在平直的公路上行驶，当速度为v0时开始加速，经过时间t前进了s，速度达到最大值vmax，设在加速过程中，汽车发动机的功率恒为P，汽车所受阻力大小恒为f，则在这段时间内，汽车发动机所做的功为(　　)
A．Pt B．fvmaxt
C．fs D.mvmax2＋fs－mv02
解析：选ABD　由于汽车以恒定功率P行驶了时间t，则有W＝Pt，A正确；由功率的公式P＝Fv得，额定功率下车辆获得最大速度vmax，牵引力F和阻力f相等，P＝Fvmax＝fvmax，所以W＝Pt＝fvmaxt，B正确；由动能定理得：W－fs＝ΔEk，所以W＝fs＋mvmax2－mv02，D正确。
11．我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器。舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定。要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s。弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则(　　)
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
解析：选ABD　对舰载机应用运动学公式v2－02＝2ax，即802＝2·a·100，得加速度a＝32 m/s2，选项D正确；设总推力为F，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106 N，而发动机的推力为1.0×105N，则弹射器的推力为F推＝(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106 N，选项A正确；弹射器对舰载机所做的功为W＝F推·l＝1.1×108 J，选项B正确；弹射过程所用的时间为t＝＝ s＝2.5 s，平均功率P＝＝ W＝4.4×107 W，选项C错误。
12．土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以通过测量环中各层的线速度大小v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断(　　)
A．若v与R成正比，则该层是土星的一部分
B．若v2与R成正比，则该层是土星的卫星群
C．若v与R成反比，则该层是土星的卫星群
D．若v2与R成反比，则该层是土星的卫星群
解析：选AD　若是土星的一部分，则环中各点的角速度与土星相同，对应的线速度v＝ωR，v与R成正比，故A正确；若是卫星群，则对环中任一颗卫星有G＝m，v2＝，即v2与R成反比，故D正确。
13.用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示。则下列说法正确的是(　　)
图4
A．小球通过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球通过最高点时的最小速度是零
C．小球刚好通过最高点时的速度是
D．小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反
解析：选AC　设小球通过最高点时的速度为v。由合外力提供向心力及牛顿第二定律得F合＝mg＋T，又F＝m，则mg＋T＝m。当T＝0时，v＝，故A正确；当v<时，T<0，而绳子只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、D错误；当v>时，T>0，小球能沿圆弧通过最高点。可见，v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件。
14.如图5，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)
图5
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
解析：选BD　由题意知，系统机械能守恒。设某时刻a、b的速度分别为va、vb。此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v∥′是相等的，即vacos θ＝vb sin θ。当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mva2，解得va＝，选项B正确。同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误。杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误。b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确。正确选项为B、D。
二、实验题(本题共2小题，共16分)
15. (8分)物体在空中下落的过程中，重力做正功，物体的动能越来越大，为了“探究重力做功和物体动能变化间的定量关系”，某实验小组用图6所示的实验装置。
图6
(1)某同学根据所学的知识，结合图设计了一个本实验情景的命题：如图所示，设质量为m(已测定)的小球在重力mg作用下从开始端自由下落至光电门处发生的位移为s，通过光电门时的速度为v，试探究外力做的功mgs与小球动能变化量的定量关系。
(2)某同学根据上述命题进行如下操作并测出如下数据。
①用天平测定小球的质量为0.50 kg；
②用游标尺测出小球的直径为10.0 mm；
③用刻度尺测出电磁铁下端到光电门的距离为80.40 cm；
④电磁铁先通电，让小球____________________________________________________；
⑤________________________________________________________________________，小球自由下落；
⑥在小球经过光电门时间内，计时装置记下小球经过光电门所用时间为2.50×10－3 s，由此可算得小球经过光电门时的速度为________m/s；
⑦计算得出重力做的功为________J，小球动能变化量为________J。(取g＝10 m/s2，结果保留三位有效数字)
(3)试根据(2)中条件得出本实验的结论：______________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(2)④电磁铁先通电，让小球吸在开始端。⑤电磁铁断电，小球自由下落。⑥小球经过光电门时的速度为v＝＝4.00 m/s。⑦重力做的功为mgs＝0.50×10×0.804 0 J＝4.02 J；小球动能变化量为mv2＝×0.50×4.002 J＝4.00 J。
(3)由4.02 J与4.00 J近似相等可知，在误差范围内，重力做的功与物体动能的变化量相等。
答案：(2)④吸在开始端　⑤电磁铁断电　⑥4
⑦4.02　4.00
(3)在误差范围内，重力做的功与物体动能的变化量相等
16．(8分)某次“验证机械能守恒定律”的实验中，用6 V、50 Hz的打点计时器打出的一条无漏点的纸带，如图7所示，O点为重锤下落的起点，选取的计数点为A、B、C、D，各计数点到O点的长度已在图上标出，单位为毫米，重力加速度取9.8 m/s2，若重锤质量为1 kg。
(1)打点计时器打出B点时，重锤下落的速度vB＝____ m/s，重锤的动能EkB＝________ J。
图7
(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量为________ J。
(3)根据纸带提供的数据，在误差允许的范围内，重锤从静止开始到打出B点的过程中，得到的结论是_________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)重锤下落的速度
vB＝＝ m/s＝1.17 m/s
重锤在打出B点时的动能
Ek＝mvB2＝×1×1.172 J＝0.68 J。
(2)打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量
ΔEp减＝mghOB＝1×9.8×70.5×10－3 J＝0.69 J
(3)由(1)、(2)计算结果可知，重锤下落过程中，在实验允许的误差范围内，动能的增加量等于其重力势能的减少量，机械能守恒。
答案：(1)1.17　0.68　(2)0.69　(3)机械能守恒
三、计算题(本题共3小题，共38分)
17．(10分)以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面上竖直向上抛出，若忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，则：
(1)物体上升的最大高度是多少？
(2)上升过程中何处的动能和重力势能相等？
解析：(1)物体运动过程中只有重力做功，机械能守恒，取地面为零势能面，则E1＝mv2，最高点时动能为零，E2＝mgh，由机械能守恒定律得E1＝E2，即mv2＝mgh，所以h＝＝ m＝5 m。
(2)设重力势能与动能相等时在距地面h1高处，则E2＝mgh1＋mv12＝2mgh1，由机械能守恒定律得mv2＝2mgh1，所以h1＝＝2.5 m。
答案：(1)5 m　(2)2.5 m
18．(12分)某星球“一天”的时间T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上测重力时，比在“两极”处测得的读数小10%。设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？
解析：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处时重力为G2。
在“赤道”上G－G1＝mRω2①
在“两极”处G＝G2②
依题意得G2－G1＝0.1G2 ③
设该星球自转的角速度增大到ωx时，赤道上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球表面与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，则有G＝mRωx2④
又ωx＝，ω＝⑤
由①～⑤得Tx＝ h≈1.9 h，
即赤道上的物体自动飘起来时，这时星球的“一天”是1.9 h。
答案：1.9 h
19．(16分)(全国甲卷)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图8所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
图8
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl①
设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝MvB2＋μMg·4l②
联立①②式，取M＝m并代入题给数据得
vB＝③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得
mvB2＝mvD2＋mg·2l⑤
联立③⑤式得
vD＝⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l。⑨
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知
5mgl＞μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有
MvB2≤Mgl?
联立①②⑩?式得
m≤M＜m。?
答案：(1)　2l　(2)m≤M＜m