1.1 机械功 同步练习 Word版含答案

第1节机械功
一、机械功的含义
1．功的含义
如果作用于物体的恒力大小为F，该物体沿力的方向运动，经过位移s，则F和s的乘积叫机械功，简称功。
2．做功的两个要素
作用在物体上的力F和物体在力的方向上发生的位移s。
3．功的一般公式
W＝Fscos_α，式中的α是力的方向与位移方向的夹角。
4．功的单位
在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。
二、机械功的计算
1．功是标量
只有大小，没有方向，但功有正负之分。
2．正功和负功
由功的计算公式：W＝Fscos α有：
(1)当0°≤α＜90°时，W＞0，力对物体做正功。
(2)当90°＜α≤180°时，W＜0，力对物体做负功或称物体克服这个力做功(取正值)。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功。
3．总功的计算
(1)方法一：一个物体同时受到几个力的作用发生位移时，这几个力做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋W4＋…。
(2)方法二：在计算几个力的总功时，也可先求合力，再根据功的公式W总＝F合scos_α求解。
1．自主思考——判一判
(1)有力作用在物体上，并且物体也发生了位移时，力对物体一定做了功。(×)
(2)用手提起一桶水后，沿水平方向向前移动一段位移的过程中，手对水桶没有做功。(√)
(3)用力推汽车，汽车没动，但推车者累得出汗时，可以说推车者对汽车做功了。(×)
(4)功有正、负值，所以功是矢量。(×)
(5)总功就是所有外力做功的代数和。(√)
(6)合外力对物体做的功等于总功。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如图1-1-1甲所示，运动员举重时举着杠铃不动，举杠铃的力对杠铃做功了吗？
图1-1-1
提示：举着杠铃不动，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。
(2)如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做功了吗？
提示：足球在水平地面上滚动，重力方向竖直向下，球的位移方向水平，重力对球没有做功。
(3)高速列车出站时加速，进站后减速，这两个过程合外力分别做什么功？
提示：加速出站时，合外力方向与位移方向一致，合外力做正功，减速进站时，合外力方向与位移方向相反，合外力是阻力，所以合外力做负功。

做功条件的应用
[典例]　如图所示的人，没有对物体做功的是(　　)
[思路点拨]　判断力对物体是否做功，要抓住做功的两个条件：力及力的方向上的位移。
[解析]　根据功的定义可知，力对物体是否做功关键是看力及力的方向上的位移两个因素，上述情景中，A项在力的方向上没有位移，故人对墙没做功，应选A项。
[答案]　A
(1)力和物体在力的方向上发生的位移，这两个因素对做功而言，缺一不可。其中力是指在位移方向上的力，位移是指在力的方向上的位移。
(2)功是描述力在空间位移上积累作用的物理量，是过程量，反映了物体受力并运动的
效果。
　　　　
1．下列关于做功的说法中，正确的是(　　)
A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功
D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功
解析：选D　做功的两个不可缺少的因素是：力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故选项A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故选项C错误，选项D正确。
2．如图所示的四幅图是小明提包回家的情景，小明提包的力不做功的是(　　)
解析：选B　据功的概念及做功的两个因素可知，只有同时满足力及在力的方向上有位移两个条件时，力对物体才做功，A、C、D做功，B没有做功，选B。
正、负功的判断
1．对正功、负功的理解
(1)正功、负功的物理意义。
功的正、负由力和位移之间的夹角决定，所以功的正负不表示方向，而只能说明做功的力对物体来说是动力还是阻力。
(2)功是标量。
功是标量，只有量值，没有方向。功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果。
2．正、负功的判断方法
(1)根据力F的方向与位移s方向的夹角α判断：0≤α＜时，力对物体做正功；α＝时，力对物体不做功；＜α≤π时，力对物体做负功。此方法一般用于物体做直线运动的情况。
(2)根据力F的方向与物体运动速度v的方向的夹角α判断：0≤α＜时，力对物体做正功；α＝时，力对物体不做功；＜α≤π时，力对物体做负功。此方法一般用于物体做曲线运动的情况。
(3)看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，此力做正功，反之做负功，此方法一般应用于力的方向不明确的变速运动。
1．如图1-1-2甲为一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼，如图乙为一男士站立在乘履带式自动人行道上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是(　　)
图1-1-2
A．甲图中支持力对人做正功
B．乙图中支持力对人做正功
C．甲图中摩擦力对人做负功
D．乙图中摩擦力对人做负功
解析：选A　甲图中，人匀速上楼，不受静摩擦力，摩擦力不做功，支持力向上，与速度方向为锐角，即W＝Fscos α＞0，所以支持力做正功。故A正确，C错误。乙图中，支持力与速度方向垂直，支持力不做功，摩擦力沿斜面向上即与速度方向相同，做正功。故B、D错误。
2.大力士比赛在国外比较盛行，首次世界大力士比赛始于1977年，如图1-1-3所示为某选手将20多吨的汽车在水平路面上拖行了20 m，下列说法正确的是(　　)
图1-1-3
A．汽车受到的重力做了正功
B．汽车受到的地面的摩擦力做了负功
C．汽车受到的拉力不做功
D．汽车受到地面的支持力做了正功
解析：选B　汽车所受重力的方向竖直向下，而位移的方向为水平方向，重力与位移方向垂直，故重力不做功，A项错误；汽车受到的地面的摩擦力与位移方向夹角为180°，W＝Fscos 180°＝－Fs，故地面对汽车的摩擦力做负功，B项正确；汽车受到的拉力与位移方向夹角为锐角，拉力做正功，故C项错误；汽车受到地面的支持力与位移方向垂直，不做功，D项错误。
3．(多选)如图1-1-4所示，在匀加速运动的车厢内，一个人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则以下结论中正确的是(　　)
图1-1-4
A．人对车厢的推力不做功
B．人对车厢的摩擦力做负功
C．人对车厢的作用力不做功
D．人对车厢的作用力做负功
解析：选BD　在水平方向上，人对车厢的作用力有两个：对车厢向右的推力和对车厢地板向左的摩擦力，车厢的运动方向向右，所以人对车厢的推力做正功，人对车厢的摩擦力做负功，选项A错误，B正确；由于人随车厢向右做匀加速运动，故车厢对人的作用力(即车厢对人的推力和摩擦力的合力)向右，人对车厢的作用力向左，所以人对车厢的作用力做负功，选项C错误，D正确。
功的计算
1．某一恒力做功可直接应用公式W＝Fscos α计算。
2．总功的计算有两种方法：
(1)先由W＝Fscos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合scos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角。
[典例]　如图1-1-5所示，一质量为m的物体在与水平方向成α角斜向上的拉力F作用下，沿动摩擦因数为μ的水平地面向右移动位移l，则：
图1-1-5
(1)物体受到的各个力做的功是多少？各个力对物体所做功的代数和是多少？
(2)物体所受的合力是多少？合力所做的功是多少？
[思路点拨]
(1)物体运动过程中所受拉力F、重力、支持力、摩擦力皆为恒力。
(2)重力、支持力的方向与物体位移方向垂直，不做功。
[解析]　(1)因重力、支持力与位移夹角为90°，故WG＝0，WN＝0，拉力F所做的功W1＝Flcos α，
滑动摩擦力的大小f＝μN，又N＋Fsin α＝mg，
故滑动摩擦力所做的功W2＝μNlcos 180°＝μ(Fsin α－mg)l。
各个力对物体所做功的代数和W＝W1＋W2＝(Fcos α＋μFsin α－μmg)l。
(2)根据正交分解法求得物体所受的合力F合＝Fcos α－f，
则F合＝Fcos α＋μFsin α－μmg，合力方向向右，与位移同向。合力所做的功W＝F合l＝(Fcos α＋μFsin α－μmg)l。
可见，各个力对物体所做功的代数和与物体所受合力做的功是相等的。
[答案]　见解析
计算功的三点技巧
(1)计算功时，一定要明确哪个力对物体做了功。
(2)做功的数值与物体的运动状态是匀速还是变速无关，只取决于F、s及两者方向的夹角α。
(3)计算总功两种方法的选取
①物体处于平衡状态或某一方向平衡或做匀变速直线运动时，用W＝F合scos α更简捷。
②物体运动过程中受力变化或有些力不做功，应选取W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
　　　　
1．如图1-1-6所示，物体在力F作用下沿水平面运动一段位移，设在甲、乙、丙所示的三种情况下力F和位移s的大小都相同，即F＝10 N，s＝1 m，则在三种情况下力F对物体所做的功分别为W1＝________J，W2＝________J，W3＝________J。
图1-1-6
解析：根据功的计算公式W＝Fscos α，分别代入题给条件得
W1＝Fscos 30°＝10×1× J＝5 J
W2＝Fscos 150°＝－10×1× J＝－5 J
W3＝Fscos 30°＝10×1× J＝5 J。
答案：5　－5　5
2．如图1-1-7所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l。试求：
图1-1-7
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
解析：物体受力情况如图所示，物体受到重力mg、摩擦力f和支持力N的作用。物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动距离l，这些力均是恒力，故可用W＝Flcos α计算各力的功。
根据物体的平衡条件，可得f＝mgsin θ，N＝mgcos θ。
(1)Wf＝flcos(180°－θ)＝－mglsin θ·cos θ；
(2)WN＝Nlcos(90°－θ)＝mglsin θ·cos θ；
(3)WG＝mglcos 90°＝0；
(4)斜面对物体做的功为斜面对物体施的力做功的代数和；W斜＝Wf＋WN＝0。
各个力对物体所做的总功等于各个力做功的代数和。
即W总＝Wf＋WN＋WG＝0。
答案：见解析
变力做功的计算
[典例]　用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm。问击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功相等)
[思路点拨]　根据阻力与深度成正比的关系，将变力求功转化为平均力求功。达到化变力为恒力的目的。
[解析]　法一：铁锤每次击打都用来克服铁钉阻力做力，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F＝kx，可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力1＝kx1，做功为W1＝1x1＝kx12。
第二次击入深度为x1到x2，平均阻力2＝k(x2＋x1)，位移为x2－x1，做功为W2＝2(x2－x1)＝k(x22－x12)。
两次做功相等，W1＝W2，
可解得：x2＝x1≈1.41 cm，
Δx＝x2－x1＝0.41 cm。
法二：(图像法)因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F-x图像(如图所示)，图线与横轴所围成的面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有：
S1＝S2(面积)，即：
kx12＝k(x2＋x1)(x2－x1)，
所以Δx＝x2－x1≈0.41 cm。
[答案]　0.41 cm
求变力做功的四种常用方法
1．平均值法：当力F的大小发生变化，且F、l成线性关系时，F的平均值＝，用计算F做的功。
2．图像法：变力做的功W可用F-l图线与l轴所围成的面积表示。l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少。
3．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。
4．等效替换法：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。
　　　　
1.如图1-1-8所示，在水平面上，有一弯曲的槽道，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F所做的功为(　　)
图1-1-8
A．0　　　　　　　　 　B．FR
C.πFR D．2πFR
解析：选C　在拉动的过程中，力F的方向总是与速度同向，用微元法的思想，在很小的一段位移内力F可以看成恒力，小球路程为，由此得W＝πFR，C正确。
2．如图1-1-9所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角变为β。已知图中的高度h，求绳的拉力T对物体所做的功。(绳的质量、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦不计)
图1-1-9
解析：设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由题意知T＝F，WT＝WF
在绳与水平面间的夹角由α变为β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为Δs＝l1－l2。由W＝Fs，得
WF＝FΔs＝Fh，
故绳子的拉力T对物体做的功
WT＝WF＝Fh。
答案：Fh
1．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．功是矢量，正负表示其方向
B．功是标量，正负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD　功是标量，是过程量，功的正负不代表其大小，也不代表其方向，只说明做功的力是动力还是阻力。
2．关于力对物体做功的说法中，正确的是(　　)
A．力作用到物体上，力一定对物体做功
B．只要物体通过一段位移，就一定有力对物体做了功
C．只要物体受到力的作用，而且还通过了一段位移，则此力一定对物体做了功
D．物体受到力的作用，而且有位移发生，则力有可能对物体做功，也可能没有做功
解析：选D　做功的两个必备条件是：物体受力和在力的方向上发生位移。物体受力而且有位移，不一定有力做功。如物体沿光滑水平面做匀速运动时，所受的两个力(重力和支持力)都不做功，A、B、C错。再如沿粗糙斜面下滑的物体，重力和摩擦力做功，支持力不做功，D正确。
3．2015年8月1日至9日，东亚杯足球赛在中国武汉进行，比赛时某足球运动员用20 N的力，把重为5 N的足球踢出10 m远，在这一过程中运动员对足球做的功为(　　)
A．200 J　　　　　　　　 B.50 J
C.98 J D.无法确定
解析：选D　足球运动员用20 N的力作用在足球上，一瞬间就能把足球踢出去，足球在这个力的作用下的位移不知道，所以无法计算运动员对足球所做的功，故D正确。
4．关于两物体间的作用力和反作用力的做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．作用力做功，反作用力一定做功
B．作用力做正功，反作用力一定做负功
C．作用力和反作用力可能都做负功
D．作用力和反作用力做的功代数和为零
解析：选C　比较功时，不要只看到力的大小和方向，还要分析两力对应的物体的位移情况，作用力和反作用力分别对各自的受力物体做功，没有必然的联系，故只有C正确。
5．如图1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的是(　　)
图1
A．摩擦力对物体做正功 B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体做正功 D.合外力对物体做正功
解析：选A　摩擦力方向平行皮带向上，与物体运动方向相同，故摩擦力做正功，A对，B错；支持力始终垂直速度方向，不做功，C错；合力为零，不做功，D错。
6.如图2所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　)
图2
A．摩擦力做的功为fs B.力F做的功为Fscos θ
C．力F做的功为Fssin θ D.重力做的功为mgs
解析：选C　物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，由功的公式可得W＝－fs，所以A错误。力F与竖直方向成θ角，所以在水平方向的分力为Fsin θ，所以F做的功为Fssin θ，所以B错误，C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力的功为零，所以D错误。
7.以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　)
A．0 B.－fh
C．－2fh D．－4fh
解析：选C　上升阶段，空气阻力做功W1＝－fh。下落阶段空气阻力做功W2＝－fh，整个过程中空气阻力做功W＝W1＋W2＝－2fh，故C选项正确。
8.力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段位移，如果力F1对物体做功为6 J，物体克服力F2做功为9 J，则F1、F2的合力对物体所做的功为(　　)
A．3 J B.－3 J
C.15 J D.－15 J
解析：选B　F1、F2做的功分别为W1＝6 J，W2＝－9 J，则它们的合力做功W＝W1＋W2＝－3 J，B正确。
9．(多选)质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速运动，拉力F作用2 s后撤去，物体运动的速度图像如图3所示，则下列说法正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)
图3
A．拉力F做功150 J
B．拉力F做功350 J
C．物体克服摩擦力做功100 J
D．物体克服摩擦力做功175 J
解析：选AD　由题图可以求出0～2 s内的加速度a1＝2.5 m/s2,2～6 s内的加速度a2＝－2.5 m/s2，由F＋f＝ma1，f＝ma2，得F＝10 N，f＝－5 N，由题图还可求出前2 s内的位移s1＝15 m,2～6 s内的位移s2＝20 m。所以拉力做功WF＝Fs1＝10×15 J＝150 J；摩擦力做功Wf＝f(s1＋s2)＝－5×(15＋20)J＝－175 J，即物体克服摩擦力做功175 J，故A、D正确。
10.如图4所示，在光滑水平面上，物体受两个相互垂直的大小分别为F1＝3 N和F2＝4 N的恒力，其合力在水平方向上，从静止开始运动10 m，求：
图4
(1)F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？
(2)F1和F2合力为多大？合力做功是多少？
解析：(1)力F1做的功
W1＝F1scos θ1＝3×10× J＝18 J
力F2做的功
W2＝F2scos θ2＝4×10× J＝32 J
W1与W2的代数和
W＝W1＋W2＝18 J＋32 J＝50 J。
(2)F1与F2的合力F＝ ＝5 N
合力F做的功W′＝Fs＝5×10 J＝50 J。
答案：(1)18 J　32 J　50 J　(2)5 N　50 J
11.质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中：
图5
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)
解析：(1)重力做的功
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J。
(2)运动员所受合力：
F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N
方向沿斜坡向下，沿合力方向位移s＝50 m，合力做的功W合＝F合·s＝260×50 J＝1.3×104 J。
答案：(1)1.5×104 J　(2)1.3×104 J
12．一辆汽车质量为105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F＝103s＋f，f是车所受的阻力。当车前进100 m时，牵引力做的功是多少？(g＝10 m/s2)。
解析：由于车的牵引力和位移的关系为F＝103s＋f，是线性关系，故前进100 m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知
f＝0.05×105×10 N＝5×104 N
所以前进100 m过程中的平均牵引力为
＝ N＝1×105 N
故W＝s＝1×105×100 J＝1×107 J。
答案：1×107 J