2.3.2能量守恒定律 同步练习 Word版含答案

第2课时　能量守恒定律

一、机械能守恒定律
1．机械能：物体的动能和势能之和。
图2-3-9
2．推导：如图2-3-9所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力做的功设为WG，由重力做功和重力势能的变化关系可知WG＝mg(h1－h2)＝Ep1－Ep2。①
由动能定理得
WG＝mv22－mv12②
①②联立可得mgh1－mgh2＝mv22－mv12，mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22，
由机械能的定义得Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
3．内容：在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能可以发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
4．条件：只有重力对物体做功，与运动方向和轨迹的曲、直无关。
5．表达式：
(1)mv12＋mgh1＝mv22＋mgh2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(2)mgh1－mgh2＝mv22－mv12
即ΔEp减＝ΔEk增。
二、能量守恒定律
1．机械能的变化：除重力以外的其他力对物体做功时，物体的机械能就会发生变化。
2．能量的转化：自然界中，能的表现形式是多种多样的，除了机械能外，还有电能、光能、内能、化学能、原子能等，这些能量间都可以相互转化。
3．能量守恒定律：能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量保持不变。
4．永动机：不消耗任何能量却能持续不断地对外做功的机器，它违背了能量守恒原理，是不可能制成的。
1．自主思考——判一判
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒。(×)
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒。(√)
(4)物体向上运动时，机械能也可能守恒。(√)
(5)任何能量之间的转化都遵循守恒定律。(√)
(6)能量永远不会增加或减少，只能转化或转移。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如图2-3-10所示，两位小朋友在蹦床上玩得非常开心，试思考以下问题。
图2-3-10
①右边的男孩离开蹦床后飞向空中的过程中，机械能守恒吗？
②左边的女孩若已落在蹦床上，使蹦床下陷，她的机械能守恒吗？
提示：①守恒。男孩离开蹦床后只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒。
②不守恒。因为她的动能减少，重力势能也减少，她的机械能在减少，机械能不守恒。
(2)用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动，铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？试试看，并解释原因。
图2-3-11
提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。

机械能守恒条件的理解
1．机械能守恒的条件
机械能守恒的条件为只有重力(或弹力)做功。
(1)从做功的角度看，只有重力(或弹力)做功，机械能守恒。
①只有重力做功，单个物体的动能和重力势能相互转化，物体的机械能守恒。
②只有弹力做功，物体的动能和弹簧的弹性势能相互转化，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。
③只有重力和弹力做功，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒。
(2)从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化，系统机械能守恒。
2．机械能守恒的判断
(1)对单个物体，一般从做功的角度去分析，即若只有重力做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则该物体的机械能守恒。
(2)对几个物体组成的系统，一般从能量转化的角度去分析，即若系统内不存在其他形式的能与机械能之间的相互转化，则该系统的机械能守恒。
1．(多选)如图中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)
解析：选CD　物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在固定斜面上在力F作用下上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住的小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒。选项C、D正确。
2．下列说法正确的是(　　)
A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合外力不为零时，其机械能可能守恒
D．物体机械能的变化等于合外力对物体做的功
解析：选C　机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，其他外力做功为零即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，所以B错；若物体做自由落体运动，只受重力作用，则机械能守恒，故C正确；若外力中仅有重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化，据功能关系知D错。
3. (多选)如图2-3-12所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中(　　)
图2-3-12
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能增加
C．a球和b球的总机械能守恒
D．a球和b球的总机械能不守恒
解析：选ABC　a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，选项C正确，D错误。其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，总的机械能减少，轻杆对b球做负功，选项A、B正确。
机械能守恒定律的应用
1．对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统。因为重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统。另外，动能表达式中的v，也是相对于地面的速度。
(2)“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。在重力或弹力做功的过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做的功的代数和为零，就可以认为是“只有重力或弹力做功”。
(3)总的机械能保持不变，是指在动能和势能相互转化的整个过程中，任何时刻、任何位置的机械能的总量保持恒定不变。
2．机械能守恒定律的不同表达式和特点
表达式
特点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统中，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
[典例]　如图2-3-13所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
图2-3-13
[思路点拨]　解答本题时可按以下思路进行分析：
[解析]　设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m，开始时斜面上的那部分链条的重力势能为Ep1＝－·sin θ
竖直的那部分链条的重力势能为Ep2＝－·
则开始时的机械能为
E1＝Ep1＋Ep2＝－·sin θ＋＝－(1＋sin θ)
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为Ep＝－mg·
动能为Ek＝mv2，则机械能为
E2＝Ep＋Ek＝mv2＋＝mv2－mgL
因为只有重力做功，所以系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得E1＝E2，即－(1＋sin θ)＝mv2－mgL
解得v＝。
[答案]　
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象的运动过程的初状态和末状态的机械能(包括动能和势能)。
(4)根据机械能守恒定律列方程求解
1.如图2-3-14所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m的跳台上以v0＝5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中。若忽略运动员的身高和受到的阻力，取g＝10 m/s2，求：
图2-3-14
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小。
解析：(1)以水面为零重力势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5 000 J。
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s，则运动员起跳时的动能为Ek＝mv02＝625 J。
(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则mgh＋mv02＝mv2，即v＝15 m/s。
答案：(1)5 000 J　(2)625 J　(3)15 m/s
2．如图2-3-15所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
图2-3-15
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
解析：(1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mgh－mghsin θ＝(m＋m)v2
解得v＝。
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2＝mg(H－hsin θ)
解得H＝。
答案：(1)　(2)
对能量守恒定律的理解
1．功与能量的转化：不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)。因此，功是能量转化的量度。
2．功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下：
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
[典例]　 (多选)如图2-3-16所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的(　　)
图2-3-16
A．动能损失了2mgH　　 　B．动能损失了mgH
C．机械能损失了mgH D．机械能损失了mgH
[思路点拨]　解答本题时应把握以下两点：
(1)动能的损失量等于合外力做的功。
(2)机械能的损失量等于克服摩擦力做的功。
[解析]　由于上升过程中的加速度大小等于重力加速度，根据牛顿第二定律得mgsin 30°＋f＝mg，解得f＝mg。由动能定理可得ΔEk＝mgH＋f·＝2mgH，选项A正确，B错误；机械能的减少量在数值上等于克服摩擦力做的功，则Wf＝f·＝mgH，选项C正确，D错误。
[答案]　AC
分析能量转化守恒问题的四点技巧
(1)做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。
(2)物体动能的增量由合外力做的总功来量度。
(3)物体重力势能的增量由重力做的功来量度。
(4)在不涉及弹簧弹力的情况下，物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度。
　　　　
1. (多选)如图2-3-17所示，楔形木块固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M＞m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　　)
图2-3-17
A．两滑块组成的系统机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加量
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加量
D．两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
解析：选CD　由于M与ab面之间存在滑动摩擦力，故两滑块组成的系统机械能不守恒，选项A错误；合外力对M做的功等于M动能的增加量，选项B错误；对于m，除了重力对其做功外，只有轻绳对其做功，故轻绳对m做的功等于m机械能的增加量，选项C正确；对于两滑块组成的系统，在运动过程中克服摩擦阻力做功，系统的机械能转化为内能，故该系统机械能的损失等于M克服摩擦力做的功，选项D正确。
2．风沿水平方向以速度v垂直吹向一直径为d的风车叶轮上，设空气密度为ρ，假设风的动能有50%转化为风车的动能，风车带动水车将水提高h的高度，效率为80%，求单位时间内最多可提升的水的质量。
解析：单位时间内转化为风车的动能ΔEk＝ρ××v×v2×50%＝，由能量守恒定律可知×80%＝mgh，解得m＝。
答案：
1．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(　　)
解析：选C　图A、图B中，除重力外，力F对木块做功，机械能不守恒。图C中只有重力做功，机械能守恒。图D中除重力外，摩擦力对木块做功，机械能不守恒，故只有C项正确。
2．(多选)一物体在做自由落体运动过程中，重力做了2 J的功，则(　　)
A．该物体重力势能减少2 J
B．该物体重力势能增加2 J
C．该物体动能减少2 J
D．该物体动能增加2 J
解析：选AD　在自由下落过程中，重力做了2 J的功，重力势能减少2 J。通过重力做功，重力势能转化为动能，则物体动能增加了2 J，故A、D正确，B、C错误。
3．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)(　　)
A．0 J，－5 J　　　　　　　　 B.0 J，－10 J
C．10 J,5 J D.20 J，－10 J
解析：选A　物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin 30°＝－5 J。故选项A正确。
4.伽利略曾设计如图1所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点，如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点，这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小(　　)
图1
A．只与斜面的倾角有关 B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关 D．只与物体的质量有关
解析：选C　由题意知物体在运动过程中不受阻力，满足机械能守恒的条件，设下落的高度为H，则有mgH＝mv2，v＝，只与高度有关，C正确。
5．如图2所示的滑轮光滑轻质，阻力不计，M1＝2 kg, M2＝1 kg，M1离地高度为H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为(　　)
图2
A. m/s B.3 m/s
C．2 m/s D.1 m/s
解析：选A　对系统运用机械能守恒定律得，(M1－M2)gh＝ (M1＋M2)v2，代入数据解得v＝  m/s，故A正确，B、C、D错误。
6．小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
解析：选A　由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为E，小球离地面高度为x时速度为v，则有mgx＋mv2＝E，可变形为x＝－＋，由此方程可知图像为开口向左、顶点在的抛物线，故选项A正确。
7. (多选)如图3所示，同一物体沿倾角不同的光滑斜面AB和AC的顶端A点分别由静止开始下滑到底端，斜面固定，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．两次运动重力对物体做功相同
B．滑到底端时，两次重力的瞬时功率相同
C．滑到底端时，两次物体的速度相同
D．滑到底端时，两次物体的动能相同
解析：选AD　根据重力做功的公式W＝mgh，可得两次运动中重力对物体做的功相同，A正确。根据机械能守恒：mgh＝mv2，所以滑到底端时，两次物体的动能相同，速度大小相等，但方向不同。故D正确，C错误。根据公式P＝Fvcos α，两次重力瞬时功率不同，故B错误。
8.如图4所示，质量为m的物块从A点由静止开始下落，加速度是g，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，在由A运动到C的过程中，空气阻力恒定，则(　　)
图4
A．物块机械能守恒
B．物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块机械能减少mg(H＋h)
D．物块和弹簧组成的系统机械能减少mg(H＋h)
解析：选D　物块在未接触弹簧时加速度为，那么受空气的阻力为重力的一半，故机械能不守恒，选项A、B错；物块机械能减少量为弹簧弹力与空气阻力做功之和，应为mg(H＋h)，选项C错；物块与弹簧组成的系统机械能的减少量为空气阻力所做的功，为mg(H＋h)，选项D正确。
9.如图5所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
图5
A．物体到达海平面时的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为－mgh
C．物体在海平面上的动能为mv02 ＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv02
解析：选C　物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错；根据机械能守恒定律mgh＋mv02＝mv2，即物体在海平面上的机械能E2＝mv2＝mgh＋mv02，C对，D错。
10.如图6所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则(　　)
图6
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球损失的重力势能较多
解析：选B　A球下摆过程中，因机械能守恒，有mgL＝mvA2 ①
B球下摆过程中，因机械能守恒，有mgL＝Ep弹＋mvB2②
由①②得mvA2＝Ep弹＋mvB2，可见mvA2＞mvB2，故B正确。
11.如图7所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑l距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。
图7
解析：设细线断时A、B的速度为v，由机械能守恒得：
4mglsin 30°＝mgl＋mv2＋·4mv2
解得v＝ 
细线断后，B上升的高度为h
由机械能守恒得mgh＝mv2
可得h＝
B物体上升的最大高度
H＝l＋＝l。
答案：l
12.长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的。垂在桌边，如图8所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能面。
图8
(1)开始时两部分链条重力势能之和为多少？
(2)刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
(3)链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
解析：(1)开始时链条的重力势能
Ep1＝×＝－。 ①
(2)刚滑离桌面时，链条的重力势能
Ep2＝mg×＝－。②
(3)设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v，根据机械能守恒定律Ep1＝Ep2＋mv2③
联立①②③得v＝。
答案：(1)－　(2)－　(3) 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　功能关系和能量守恒问题
1．(多选)质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m 后速度达到1 m/s，则下列判断正确的是(　　)
A．人对物体做的功为12 J
B．合外力对物体做的功为2 J
C．物体克服重力做的功为10 J
D．人对物体做的功等于物体增加的动能
解析：选ABC　人对物体做的功等于物体机械能的增加量，即W人＝mgh＋mv2＝12 J，选项A正确，D错误；合外力对物体做的功等于物体动能的增加量，即W合＝mv2＝2 J，选项B正确；物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量，即W＝mgh＝10 J，选项C正确。
2．(多选)竖直向上的恒力F作用在质量为m的物体上，使物体从静止开始运动升高h，速度达到v，在这个过程中，设阻力恒为F阻，则下列表述正确的是(　　)
A．F对物体做的功等于物体动能的增量，即Fh＝mv2
B．F对物体做的功等于物体机械能的增量，即Fh＝mv2＋mgh
C．F与F阻对物体做的功等于物体机械能的增量，即(F－F阻)h＝mv2＋mgh
D．物体所受合外力做的功，等于物体动能的增量，即(F－F阻－mg)h＝mv2
解析：选CD　施加恒力F的物体是所述过程能量的总来源。加速运动过程终结时，物体的动能、重力势能均得到增加。除此之外，在所述过程中，因为有阻力的存在，还将有内能产生，其值为F阻h，可见Fh＞ mv2，同时，Fh＞mv2＋mgh，Fh＝mgh＋mv2＋F阻h，经变形后，可得C、D正确。C的含义为：除重力、弹簧弹力以外，物体所受力对物体做的功等于物体机械能的增量。D是动能定理的具体表述，虽说表述各有不同，但都是能量守恒的具体反映。
3.如图1所示，木块m放在光滑的水平面上，一颗子弹水平射入木块中，子弹受到的平均作用力为f，射入深度为d，此过程中木块移动了s，则(　　)
图1
A．子弹损失的动能为fs
B．木块增加的动能为f(s＋d)
C．子弹动能的减少量等于木块动能的增加量
D．子弹、木块组成的系统总机械能的损失为fd
解析：选D　以子弹为研究对象，所受合力为f，从射入木块到两者相对静止，子弹的位移为(s＋d)，合外力做功W1＝－f(s＋d)，由动能定理，子弹动能的增量为ΔEk弹＝－f(s＋d) ，即动能减少f(s＋d)，以木块为研究对象，在整个过程中木块所受合力也为f，由动能定理可知，W2＝fs＝ΔEk木，即木块的动能增加fs，对于子弹和木块整体，机械能的变化ΔE＝ΔEk弹＋ΔEk末＝－fd，即损失的机械能为fd，故A、B、C错误，D正确。
4．质量为M的物体，其初动能为100 J，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点向上匀减速滑行，到达斜面上的B点时物体的动能减少了80 J，机械能减少了32 J，若μ＜tan θ，则当物体回到A点时具有的动能为(　　)
A．60 J　　　　　　　　 　B．20 J
C．50 J D．40 J
解析：选B　机械能的减少量等于物体克服摩擦力所做的功，当物体上滑到最高点时动能减少了100 J，机械能减少了×32 J＝40 J，因物体沿斜面上滑和下滑过程中克服摩擦力做的功相等，由能量守恒定律可知物体回到A点时，具有的动能为100 J－2×40 J＝20 J。故选项B正确。
5.如图2所示，竖直向下的拉力F通过定滑轮拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动。在移动过程中，下列说法正确的是(　　)
图2
A．木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能
B．F做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．F做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
D．F做的功等于木箱增加的重力势能与木箱克服摩擦力做的功之和
解析：选A　根据功能关系可知，木箱重力势能的增加量在数值上等于木箱克服重力所做的功，因此，选项A正确；木箱沿斜面做加速运动，其动能增加，据动能定理可知，木箱动能的增加量等于合外力所做的功，木箱合外力所做的功等于力F、重力及摩擦力做功的和，力F做正功，重力和摩擦力都做负功，因此，力F所做的正功大于重力和摩擦力所做负功的代数和，故选项B、C、D都不正确。
6.如图3所示，一物体从高为H的斜面顶端由静止开始滑下，滑上与该斜面相连的一光滑曲面后又返回斜面，在斜面上能上升到的最大高度为。若不考虑物体经过斜面底端转折处的能量损失，当物体再一次滑回斜面时上升的最大高度为(　　)
图3
A．0 B.H
C．H与H之间 D．0与H之间
解析：选B　设斜面长为l，根据能量守恒定律知，机械能的减少量等于内能的增加量，因此mg×＝f·，f＝mg。设再一次滑回斜面时的高度为h，则有mg＝f，即h＝。选项B正确，其他选项均错。
7．(多选)(全国甲卷)如图4所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中，(　　)
图4
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析：选BCD　在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误。在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确。弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确。由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确。
8．(多选)水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带上。设工件初速度为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为μ，则在工件相对传送带滑动的过程中(　　)
A．滑动摩擦力对工件做的功为
B．工件的机械能增量为
C．工件相对于传送带滑动的路程大小为
D．传送带对工件做功为零
解析：选ABC　工件相对传送带滑动的过程中，受到的合外力就是传送带施加的摩擦力，根据动能定理可知，摩擦力做的功等于工件增加的动能，工件的初速度为零，末速度为v，其动能增加为，则工件受到的滑动摩擦力对工件做的功为，选项A正确，而选项D错误；根据功能关系知，除了重力和弹力以外的其他力所做的功等于工件机械能的改变量，选项B正确；由动能定理可得μmgs1＝mv2，则s1＝，s1是工件相对地面的位移，该过程中，传送带相对地面的位移为s2＝vt＝v·＝2s1，则工件相对于传送带的位移为s＝s2－s1＝，选项C正确。
9．蹦极是一项既惊险又刺激的运动，深受年轻人的喜爱。如图5所示，原长L＝16 m的橡皮绳一端固定在塔架的P点，另一端系在蹦极者的腰部。蹦极者从P点由静止跳下，到达A处时绳刚好伸直，继续下降到最低点B处，BP相距h＝20 m。又知蹦极者的质量m＝60 kg，所受空气阻力f恒为体重的，蹦极者可视为质点，g＝10 m/s2。
图5
(1)求蹦极者到达A点时的速度。
(2)求橡皮绳的弹性势能的最大值。
(3)蹦极者从P下降到A、再从A下降到B机械能的变化量分别记为ΔE1、ΔE2，则求ΔE1∶ΔE2。
解析：(1)到达A点时，绳子刚好被拉直，因此，从开始下落到落至A点的过程中，根据动能定理得
(mg－f)L＝mvA2，则vA＝16 m/s。
(2)当蹦极者下降到最低点B处时，橡皮绳的形变量最大，橡皮绳的弹性势能最大。根据能量守恒可知，蹦极者减少的机械能等于橡皮绳增加的机械能和克服空气阻力所做的功之和，则mgh＝fh＋Epmax，因此，橡皮绳的最大弹性势能为ΔEpmax＝9 600 J。
(3)蹦极者从P下降到A的过程中，减少的机械能为ΔE1＝fL，再从A下降到B的过程中减少的机械能为ΔE2＝mgh－fL，因此，ΔE1∶ΔE2＝fL∶(mgh－fL)＝4：21。
答案：(1)16 m/s　(2)9 600 J　(3)4：21
10．如图6所示为一种摆式摩擦因数测量仪，可测量轮胎与地面间动摩擦因数，其主要部件有：底部固定有轮胎橡胶片的摆锤和连接摆锤的轻质细杆。摆锤的质量为m，细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动，摆锤重心到O点的距离为L。测量时，测量仪固定于水平地面，将摆锤从与O等高的位置处静止释放。摆锤到最低点附近时，橡胶片紧压地面擦过一小段距离s(s?L)，之后继续摆至与竖直方向成θ角的最高位置。若摆锤对地面的压力可视为大小为F的恒力，重力加速度为g，求：
图6
(1)摆锤在上述过程中损失的机械能；
(2)在上述过程中摩擦力对摆锤所做的功；
(3)橡胶片与地面之间的动摩擦因数。
解析：(1)取水平地面为零势能面，则摆锤在与O等高的位置时的机械能为E1＝mgL，摆锤摆至与竖直方向成θ角位置时的机械能为E2＝mgL(1－cos θ)
故此过程中损失的机械能为
ΔE＝E1－E2＝mgLcos θ。
(2)设摩擦力对摆锤做的功为Wf，根据功能关系有Wf＝－ΔE
故摩擦力对摆锤做的功为Wf＝－mgLcos θ。
(3)摩擦力对摆锤做的功Wf＝－μFs＝－mgLcos θ
解得动摩擦因数μ＝。
答案：(1)mgLcos θ　(2)－mgLcos θ　(3)
11.如图7所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻质滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时，各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一个质量为m3的物体C，并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为(m1＋m3)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则B刚离地时D的速度大小是多少？(已知重力加速度为g)
图7
解析：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1＝m1g①
挂上物体C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有kx2＝m2g②
B不再上升，此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。此过程系统机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为ΔE＝m3g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2)③
C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，B的速度为零，由能量关系得(m1＋m3)v2＋m1v2＝(m1＋m3)g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2)－ΔE④
由③④得(2m1＋m3)v2＝m1g(x1＋x2)⑤
由①②⑤得v＝ 。
答案：