3.1运动的合成与分解 同步练习 Word版含答案

第1节运动的合成与分解

一、运动的独立性
1．实验探究
如图3-1-1所示，同时由静止释放两个小铁球P和Q，轨道M、N是等高的，末端水平且在同一竖直线上。只改变轨道M整体的高度，P、Q两球总在水平面上相碰。
图3-1-1
结论：P球虽然在竖直方向有下落的运动，但P、Q两球在水平方向的运动是相同的。
2．合运动与分运动
如果一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动就叫作那几个运动的合运动，参与的那几个运动就叫作这个实际运动的分运动。
3．运动的独立性
一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动互不影响，各自独立，都遵守各自相应的规律。
二、运动合成与分解的方法
1．运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程。
2．运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程。
3．运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等运动量进行合成与分解。
4．运动的合成与分解遵从平行四边形定则。
(1)如果两个分运动方向在同一直线上，求合运动时直接进行代数加减。
(2)如果两个分运动方向不在同一条直线上，而是成一定夹角，根据平行四边形定则进行合成与分解。
1．自主思考——判一判
(1)合速度就是两分速度的代数和。(×)
(2)合速度不一定大于任一分速度。(√)
(3)合位移一定大于任意一个分位移。(×)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。(×)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。(×)
(6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。(√)
2．合作探究——议一议
(1)在忽略空气阻力的前提下，自由下落的物体受到水平风的吹力作用，下落的时间受影响吗？
提示：下落的时间不变，不受影响。
(2)在满足平行四边形定则的前提下，可以将物体的速度任意分解吗？
提示：对物体的速度分解既要遵循平行四边形定则，又要根据实际运动效果，不能脱离物体的实际运动效果任意分解。

合运动与分运动的理解
1．合运动与分运动的四个特性
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生、同时结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
2．合运动与分运动的判定方法
在一个具体运动中物体实际发生的运动往往是合运动。这个运动一般就是相对于地面发生的运动，或者说是相对于静止参考系的运动。
3．合运动与分运动的求解方法
不管是运动的合成还是分解，其实质是对运动的位移s、速度v和加速度a的合成与分解。因为位移、速度、加速度都是矢量，所以求解时遵循的原则是矢量运算的平行四边形定则(或三角形定则)。
4．分解运动的方法
(1)一般来说，在没有限制的情况下，一个合速度可以分解成无数组分速度。然而在实际问题中，分速度的大小、方向是客观的，不能随意确定。因此对速度进行分解应建立在对物体运动效果进行分析的基础上。
(2)正确地进行速度分解必须解决好两个问题：
①确认合速度，它应是物体的实际速度。
②确定合速度的实际运动效果，从而确定分速度的方向。常常根据产生的位移来确定运动效果。
1．对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的速度大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
解析：选C　根据平行四边形定则，合速度的大小和方向可由平行四边形的对角线表示，而两邻边表示两个分速度，由几何关系知，两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同，当两邻边长短不变，而夹角改变时，对角线的长短也将发生改变，即合速度也将变化，故A、B、D错误，C正确。
2.如图3-1-2所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　　)
图3-1-2
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
解析：选D　以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确。
3.如图3-1-3所示，竖直放置的玻璃管中注满清水，且其两端均封闭，玻璃管内有一个红蜡块能在水中以v1＝0.1 m/s的速度匀速上浮。红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得红蜡块的实际运动方向与水平方向的夹角为30°。则：
(1)玻璃管水平方向的移动速度v2约为________m/s。
(2)若玻璃管的长度为1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到顶端的过程中，玻璃管水平运动的距离约为________ m。
图3-1-3
解析：(1)由矢量关系得tan 30°＝，所以v2＝≈0.17 m/s。
(2)竖直方向有y＝1.0 m＝v1t1，又t1＝t2，水平方向有x＝v2t2，所以x＝ y＝1.7 m。
答案：(1)0.17　(2)1.7
小船过河问题分析
1．常见的几类渡河问题
垂直河岸渡河、以最短时间渡河和以最小位移渡河。
2．两种处理方法
方法1：根据运动的实际效果分析
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对水的运动(船在静水中的速度v船)，船的实际运动是合运动(船的合速度v合)。
(1)若小船要垂直于河岸过河，使过河路径最短，应将船头偏向上游，如图3-1-4甲所示，此时过河时间t＝＝(d为河宽)。
同时可以看出，若要能垂直于河岸过河，必须使v水、v船和v合能构成直角三角形，即满足v船＞v水，也就是船在静水中的速度要大于水速。
图3-1-4
(2)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图乙所示，此时过河时间t＝，且小船一定在对岸下游处靠岸。
(3)如果v船＜v水，要使渡河位移最小，此时小船不能垂直河岸渡河。以水流速度矢量的末端A为圆心，以小船在静水中速度的大小为半径作圆，过O点作该圆的切线，交圆于B点，此时船速与半径AB平行，如图3-1-5所示。此时小船实际运动的速度(合速度v合)与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
图3-1-5
此时，v船与河岸的夹解θ满足cos θ＝。渡河时间t＝。
方法2：利用正交分解法
图3-1-6
将船在静水中的速度v船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图3-1-6所示，则(v水－v船cos θ)为船实际沿水流方向的运动速度，v船sin θ为船垂直于河岸方向的运动速度。
(1)要使船垂直河岸横渡，则应使v水－v船cos θ＝0，此时cos θ＝，即船头方向与上游河岸夹角的余弦值为，渡河位移最小为d。
(2)要使渡河时间最短，则应使v船sin θ最大，即当θ＝90°时(船头方向与河岸垂直)，渡河时间最短，为t＝。
[典例]　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求：
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)
[思路点拨]　解答本题可按以下思路进行：
[解析]　(1)因为小船垂直河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s，小船沿水流方向的位移l＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图所示，则
v合＝＝4 m/s
经历时间t＝＝ s＝50 s。
又cos θ＝＝＝0.6，所以θ＝53°。
即船头与岸的上游所成角度为53°。
[答案]　(1)40 s后　在正对岸下游120 m处靠岸
(2)船头与岸的上游所成角度为53°　50 s
分析小船渡河问题的关键
(1)利用运动的合成与分解作出正确的矢量平行四边形；
(2)挖掘几何关系；
(3)利用合运动与分运动的独立性和等时性建立联系。
　　　　
1．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是(　　)
A．水速小时，位移小，时间亦小
B．水速大时，位移大，时间亦大
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
解析：选C　小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间取决于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定；水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小，故C正确。
2．一条河宽为L＝900 m，水的流速为v＝50 m/s，并在下游形成壮观的瀑布。一艘游艇从距离瀑布水平距离为l＝1 200 m的上游渡河。
(1)为了不被冲进瀑布，游艇船头指向应如何航行速度最小，最小值为多少？
(2)在(1)的情况中游艇在河中航行的时间为多少？
解析：(1)为了不被冲进瀑布，而且速度最小，则游艇的临界航线OA如图所示。船头应与航线垂直，并偏向上游，最小速度等于水的流速沿垂直于航线方向的分量，由几何关系可得sin α＝，故α＝37°，船头与河岸成53°角并指向上游，vmin＝v⊥＝vsin α＝v＝30 m/s。
(2)在(1)中情况下，游艇在河中航行的时间为t＝＝＝37.5 s。
答案：(1)船头与河岸成53°角指向上游，vmin＝30 m/s　(2)37.5 s
绳斜拉物体问题分析
[典例]　如图3-1-7所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2。已知v1＝v，求：
图3-1-7
(1)两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小。
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？
[思路点拨]　解此题要注意两点：
(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。
(2)物体的速度v2等于绳子上的速度。
[解析]　(1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sin θ＝vsin θ。
(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝vsin θ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。
(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。
[答案]　(1)vsin θ　(2)加速上升　(3)F＞mg
1．在实际生活中，常见到物体斜拉绳或绳斜拉物体的问题，如图甲、乙所示。
2．速度分解的方法
物体的实际运动就是合运动。
(1)把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小相同列方程求解。
(2)以上所说的“速度”沿绳方向的分量指的是“瞬时速度”，而不是“平均速度”。
(3)甲、乙两图的速度分解如图丙、丁所示。
　　　　
1. (多选)如图3-1-8所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　)
图3-1-8
A．人拉绳行走的速度为vcos θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
解析：选AC　船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
2.如图3-1-9所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体的质量分别为m1和m2，且m1＜m2。若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，绳子与竖直方向的夹角为θ，则这时m1的速度大小v1等于(　　)
图3-1-9
A．v2sin θ　　　　　　　　 　B.
C．v2cos θ D.
解析：选C　m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动。m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，合速度v2可分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳的分速度。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小为v1＝v2cos θ，故C正确。
1．一个物体做曲线运动，在某时刻物体的速度v和合外力F的方向可能正确的是(　　)

解析：选A　物体做曲线运动时，速度沿该点的切线方向，合外力与速度不共线，且指向轨迹弯曲方向的凹侧，故选项A正确。
2．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的两个分运动是直线运动，则他们的合运动一定是直线运动
B．若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C．合运动与分运动具有等时性
D．速度、加速度和位移的合成都遵从平行四边形定则
解析：选BCD　物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动。
3．(多选)如果两个不在同一直线上的分运动都是匀变速直线运动，关于它们的合运动的描述，正确的是(　　)
A．合运动一定是匀变速运动
B．合运动可能是曲线运动
C．只有当两个分运动的速度垂直时，合运动才为直线运动
D．以上说法都不对
解析：选AB　两个分运动都是匀变速直线运动，则物体所受合力恒定不变，故一定是匀变速运动，但因合力的方向与速度的方向不一定在同一直线上，物体可能做曲线运动，故A、B正确。
4．船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为(　　)
解析：选C　根据运动的合成与分解的知识可知，要使船垂直到达对岸即要船的合速度指向正对岸。根据平行四边形定则可知，C正确。
5.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
图1
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力有关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：选B　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落运动和水平方向随风飘动，两个分运动同时发生，相互独立，因而，水平风速越大，落地的合速度越大，但落地时间不变。
6．(多选)在光滑的水平面上有一质量为2 kg的物体，在几个共点力的作用下做匀速直线运动。现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则下列关于物体运动情况的叙述正确的是(　　)
A．物体做速度大小不变的曲线运动
B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动
C．物体做速度越来越大的曲线运动
D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大
解析：选BC　物体原来所受的合外力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力相当于如图所示，其中F是Fx、Fy的合力，因Fx＝Fy＝2 N，故F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2。又因为F与v的夹角θ＜90°，所以物体做速度越来越大、加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故B、C正确。
7．如图2所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)
图2
A．vsin α　　　　　　　　 B.
C．vcos α D.
解析：选C　对v分解如图所示，v1＝vcos α，所以船的速率为vcos α，故选C。
8．(多选)(全国乙卷)一质点做匀速直线运动。现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则(　　 )
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
解析：选BC　质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，选项B、C正确。
9.如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
图3
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
解析：选A　橡皮在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀速直线运动，其合运动仍是匀速直线运动，其速度大小和方向均不变。选项A符合题意，故选A。
10．有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选B　设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡河所用时间t2＝。由题知＝k，联立以上各式得v0＝。选项B正确，选项A、C、D错误。
11．飞机在航行测量时，它的航线要严格地从东到西，如果飞机的速度是80 km/h，风从南面吹来，风的速度为40 km/h，那么：
(1)飞机应朝哪个方向飞行？
(2)如果所测地区长达80 km，所需时间是多少？
解析：(1)如图所示，飞机飞行速度方向与正西方向夹角θ的正弦值为(v1为风速，v2是飞机速度)sin θ＝＝＝，得θ＝30°。
(2)飞机的合速度
v＝v2cos 30°＝40 km/h
据x＝vt得t＝＝ h＝2 h。
答案：(1)与正西成夹角30°偏南
(2)2 h
12．质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图4所示。求：
图4
(1)物体受到的合外力和初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移；
(4)物体的运动轨迹方程。
解析：(1)物体在x轴方向有ax＝0，y轴方向有ay＝ m/s2，由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；
由图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度
v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，
所以vt＝ ＝5 m/s，
设速度与x轴的夹角为θ，则tan θ＝＝。
(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移s＝＝4 m，
设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝＝。
(4)由x＝v0xt＝3t，y＝ayt2＝t2，消去t得y＝。
答案：见解析