4.1匀速圆周运动快慢的描述 同步练习 Word版含答案

第1节匀速圆周运动快慢的描述

一、匀速圆周运动
1．定义
在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。
2．性质
匀速圆周运动速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动，也是最简单的一种圆周运动。
二、描述圆周运动的物理量
物理量
线速度(v)
角速度(ω)
周期(T)
频率(f)
转速(n)
定义
做匀速圆周运动的物体通过的弧长s与所用时间t的比值
做匀速圆周运动的物体，半径转过的角度φ与所用时间t的比值
做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间
单位时间内完成圆周运动的次数
单位时间内的转动次数
大小
v＝
ω＝
T＝＝
f＝
n＝f＝
单位
m/s
rad/s
s
Hz
r/s
方向
矢量，沿圆周的切线方向
矢量(其方向中学阶段不研究)
标量
标量
标量
1．自主思考——判一判
(1)匀速圆周运动是速度不变的运动。(×)
(2)匀速圆周运动的加速度等于零。(×)
(3)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。(×)
(4)角速度是标量，没有方向。(×)
(5)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。(√)
2．合作探究——议一议
(1)匀速圆周运动中的“匀速”与以前所学的匀速直线运动中的“匀速”含义相同吗？
提示：不相同。匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率”。
(2)“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝可得ω∝。”这样理解对吗？
提示：不对，应用控制变量方法讨论。
(3)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图4-1-1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
图4-1-1
提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。

描述圆周运动的各物理量的关系
1．描述圆周运动的各物理量间的关系
2．物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确
定了。
(2)线速度与角速度关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
[特别提醒]
(1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系。
(2)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T∝ 适用于具有周期性运动的情况。
[典例]　做匀速圆周运动的物体，在10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
[思路点拨]　明确线速度的定义及线速度与角速度、角速度与周期的关系是解决本题的关键。
[解析]　(1)由线速度的定义式得v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)由v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)由ω＝得T＝＝ s＝4π s。
[答案]　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
物体在做匀速圆周运动时(设其轨道半径为r)，我们可以用多个物理量如线速度v(速率)、角速度ω、周期T等来描述物体运动的快慢。这些物理量之间有如下关系：v＝ωr，ω＝＝2πf。
　　　　
1．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是(　　)
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
解析：选D　由v＝ωr得ω＝，故只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。
2．(多选)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，则下列说法正确的是(　　)
A．它们的半径之比rA∶rB＝2∶3
B．它们的半径之比rA∶rB＝4∶9
C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3
D．它们的频率之比fA∶fB＝2∶3
解析：选BC　A、B两个质点，在相同的时间内通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3；相同的时间内转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，由ω＝，得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝rω，所以rA∶rB＝∶＝×＝×＝4∶9，故A错误，B正确；由T＝，得TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，故C正确；又T＝，所以fA∶fB＝TB∶TA＝3∶2，故D错误。
3．地球绕太阳公转的运动可以近似地看做匀速圆周运动。地球距太阳约1.5×108 km，地球绕太阳公转的角速度是多大？线速度是多大？
解析：地球绕太阳公转周期为
T＝1年＝1×365×24×3 600 s≈3×107 s
故角速度ω＝＝ rad≈2×10－7 rad/s
线速度v＝ω·r＝2×10－7×1.5×1011 m/s＝3×104 m/s。
答案：2×10－7 rad/s　3×104 m/s
常见三种转动装置
装置
特点
同轴转动
(1)角速度相同，即ωA＝ωB
(2)周期相同，即TA＝TB
(3)线速度与半径成正比，即＝
皮带传动
(1)线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即＝
(3)角速度与半径成反比，即＝
齿轮传动
(1)线速度大小相等，即vA＝vB
(2)周期与半径成正比，即＝
(3)角速度与半径成反比，即＝
[典例]　如图4-1-2所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A、B、C的线速度之比、角速度之比、周期之比。
图4-1-2
[思路点拨]　解答本题时应注意以下两点：
(1)皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等；
(2)同轴转动的两轮上所有点的角速度相等。
[解析]　由题意可知，A、B两轮由皮带传动，皮带不打滑，故vA＝vB，B、C在同一轮轴上，同轴转动，故ωB＝ωC。由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶2；由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝可知，周期与角速度成反比，即TA∶TB∶TC＝4∶3∶3。
[答案]　vA∶vB∶vC＝1∶1∶2　ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4　TA∶TB∶TC＝4∶3∶3
求解传动问题的方法
(1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点。
①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)；
②同轴转动(各点角速度相等)；
③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。
(3)用“通式”表达比例关系。
①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r；
②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝；
③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点。
　　　　
1．(多选)如图4-1-3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是(　　)
图4-1-3
A．从动轮做顺时针转动　　 　B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n
解析：选BC　由于皮带是交叉传动，所以主动轮做顺时针转动时，从动轮做逆时针转动，选项A错误，B正确；皮带轮边缘上各点的线速度大小相等，又v1＝ω1r1＝2nπr1，v2＝ω2r2＝2n′πr2，则由v1＝v2得n′＝n，选项C正确，D错误。
2.图4-1-4是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)
图4-1-4
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析：选B　a、b、c三点为共轴转动，故角速度相等，B正确，C错误；又由题图知，三点的转动半径ra＝rb＞rc，根据v＝rω知，va＝v b＞vc，故A、D错误。
3．如图4-1-5所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
图4-1-5
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
解析：(1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即＝，所以n2＝。
答案：(1)r1∶r2＝z1∶z2　(2)n2＝
1．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 (　　)
A．速度　　　　　　　　　 B.速率
C.角速度 D.周期
解析：选BCD　物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项B、C、D正确。
2．关于匀速圆周运动的线速度v、角速度ω和半径r，下列说法正确的是(　　)
A．若r一定，则v与ω成正比
B．若r一定，则v与ω成反比
C．若ω一定，则v与r成反比
D．若v一定，则ω与r成正比
解析：选A　根据v＝ωr知，若r一定，则v与ω成正比；若ω一定，则v与r成正比；若v一定，则ω与r成反比。故只有选项A正确。
3．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的线速度之比为(　　)
A．1∶4 B．2∶3
C．4∶9 D．9∶16
解析：选B　由题意知甲、乙两物体的角速度之比ω1∶ω2＝60°∶45°＝4∶3，故两物体的线速度之比v1∶v2＝(ω1r)∶(ω2·2r)＝2∶3，B项正确。
4．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是(　　)
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
解析：选A　如图所示，地球绕自转轴转动时，地球上所有点的周期及角速度都是相同的(除极点外)。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处的物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相等，方向也各不相同。
5.如图1所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半径RA＝2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的是(　　)
图1
A．va＝2vb B.ωb＝2ωa
C．vc＝va D．ωb＝ωc
解析：选B　由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮边缘的线速度大小相同，故va＝vb，故A错误。根据v＝ωR可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，又由于a与c在同一个圆上，故ωa＝ωc，则ωb＝2ωc，由v＝ωR得va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，故B正确，C、D错误。
6．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上行驶时，速率计的指针指在120 km/h上，可估算此时该车车轮的转速为(　　)
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
解析：选B　由题意得v＝120 km/h＝ m/s，r＝0.3 m，又v＝2πnr，得n＝≈18 r/s≈1 000 r/min。
7．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图2是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则(　　)
图2
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换五种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4　
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1　
解析：选C　由题意知，A轮通过链条分别与C、D连接，自行车可有两种速度，B轮分别与C、D连接，又可有两种速度，所以该车可变换四种挡位；当A与D组合时，两轮边缘线速度大小相等，A转一圈，D转4圈，即＝，选项C对。
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图3所示。则该子弹的速度可能是(　　)
图3
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
解析：选C　子弹从A盘运动到B盘的过程中，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s；n＝1时，v≈110.77 m/s；n＝2时，v＝57.6 m/s；…故C正确。
9.两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图4所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为(　　)
图4
A. B.
C. D.
解析：选B　设小球1、2做圆周运动的半径分别为r1、r2，则v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到转轴O的距离r2＝，B正确。
10．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则(　　)
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
解析：选C　由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1＜v2，由v＝rω，得ω＝，ω1＝＝，ω2＝，ω1＝ω2，故C正确。
11．一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m点的线速度。
解析：(1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)，周期T＝ s；而每转一周为2π rad，因此曲轴转动的角速度ω＝2π×40 rad/s ＝80π rad/s。
(2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度v＝ωr ＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。
答案：(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s
12.如图5所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
图5
(1)B球抛出时的水平初速度。
(2)A球运动的线速度最小值。
解析：(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②
由①②得v0＝＝R。
(2)设相碰时，A球转了n圈，则A球的线速度
vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度有最小值，即
vmin＝2πR。
答案：(1)R　(2)2πR