4.4离心运动 同步练习 Word版含答案

第4节离心运动

一、 离心运动
1．定义
做圆周运动的物体，在受到合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，将远离圆心运动。
2．条件
合外力突然消失或合外力不足以提供向心力。
二、离心运动的应用和防止
1．应用
离心分离器、离心干燥器、脱水筒、离心水泵。
2．危害与防止
危害：如过荷太大时，飞行员会暂时失明，甚至昏厥。
防止：如车辆转弯时要限速。
1．自主思考——判一判
(1)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。(×)
(2)做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。(×)
(3)当半径方向的合外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体沿圆周与切线之间的曲线做离心运动。(√)
(4)做离心运动的物体一定不受外力作用。(×)
(5)离心运动就是物体在运动中逐渐远离圆心。(√)
2．合作探究——议一议
(1)雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出，你能说出其中的原因吗？
图4-4-1
提示：旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(2)高速转动的机械飞轮为什么不能超过允许的最大转速？
提示：飞轮转速过高，飞轮上各点都在做圆周运动，当它所需要的向心力超过周围各部分对该点的最大作用力时，会发生飞轮断裂的事故。
(3)有人说：“物体做离心运动是因为受到了离心力的作用”，这种说法对吗？
提示：这种说法是错误的。做离心运动的物体并没有受到所谓的“离心力”作用，“离心力”是不存在的，因为没有任何物体提供这种力，找不到施力物体。

对离心运动的理解
[典例]　下列关于离心运动的说法中正确的是(　　)
A．当物体所受的离心力大于向心力时将产生离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当合外力突然消失时，它将做背离圆心的运动
C．做匀速圆周运动的物体，当合外力突然消失时，它将沿切线方向飞出做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当合外力突然消失时，它将做曲线运动
[思路点拨]　根据离心运动的定义和离心运动产生的原因进行分析判断。
[解析]　向心力是根据力的作用效果命名的，物体做匀速圆周运动时所需的向心力是由物体所受的某个力或某几个力的合力提供的，物体做离心运动，是由于F合＜F向＝mω2r，选项A错误；物体做匀速圆周运动时，若合外力突然消失，物体将沿切线方向飞出做直线运动，故选项C正确，B、D错误。
[答案]　C
离心运动中合外力与向心力的关系
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mrω2或F合>，
物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若F合(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动。
　　　　
1．物体做离心运动时，运动轨迹的形状(　　)
A．一定是直线　　　　 　B．一定是曲线
C．可能是一个圆 D．可能是直线，也可能是曲线
解析：选D　若F合＝0，则物体沿切线飞出而做直线运动；若0＜F合＜F向，则物体做曲线运动，故D正确。
2．(多选)如图4-4-2甲所示，在光滑水平转台上放一木块A，用细绳的一端系住木块A，另一端穿过转台中心的光滑小孔O悬挂另一木块B。当转台以角速度ω匀速转动时，A恰能随转台一起做匀速圆周运动，图乙为其俯视图，则(　　)
图4-4-2
A．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的a方向运动
B．当转台的角速度变为1.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
C．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的b方向运动
D．当转台的角速度变为0.5ω时，木块A将沿图乙中的c方向运动
解析：选BD　木块A以角速度ω做匀速圆周运动时的向心力由细绳的拉力提供，大小等于木块B所受的重力，而木块B所受重力不变，所以转台角速度增大时，木块A需要的向心力大于B所受的重力，A做离心运动，故B正确；转台角速度减小时，木块A需要的向心力小于木块B所受的重力，故D正确。
离心现象的应用与防止
1．几种常见离心运动的对比图示
项目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水筒
当水滴受到物体的附着力F不足以提供向心力，即F汽车在水平路面上转弯　　
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
2．离心现象的防止
(1)防止方法：
①减小物体运动的速度，使物体做圆周运动时所需的向心力减小。
②增大合外力，使其达到物体做圆周运动时所需的向心力。
(2)常见实例：
汽车、火车在弯道要限速，转动砂轮、飞轮要限速。
[典例]　 (多选)离心干燥器的金属网笼(如图4-4-3所示)是利用离心运动把附着在物体上的水分甩掉的装置。以下关于离心干燥器的说法中正确的是(　　)
图4-4-3
A．水滴随物体一起做圆周运动时，水滴与物体间的附着力提供水滴所需的向心力
B．水滴随物体一起做圆周运动时，水滴的重力提供水滴所需的向心力
C．网笼转动越快，水滴做圆周运动所需的向心力越大
D．当水滴与物体间的附着力不足以提供水滴所需的向心力时，水滴将做离心运动
[思路点拨]　以水滴为研究对象，分析水滴做圆周运动所需向心力的来源。
[解析]　水滴随物体一起做圆周运动时，水滴与物体间的附着力提供水滴所需的向心力。当网笼转得较慢时，水滴与物体间的附着力足以提供所需的向心力，使水滴做圆周运动；网笼转动加快时，根据向心力公式F＝mω2r可知，水滴所需的向心力将增大，当水滴与物体间的附着力不足以提供水滴所需的向心力时，水滴做离心运动，穿过网孔，飞到网笼外面。故选项A、C、D正确。
[答案]　ACD
在分析实际的离心现象时，关键是找出向心力，抓住现象的本质，把实际运动抽象成一个理想化的圆周运动来处理。
　　　　
1．市内公共汽车在到达路口转弯前，车内广播中就会播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉好扶手。”这样做的目的是(　　)
A．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向前倾倒
B．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手，以免车辆转弯时可能向后倾倒
C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的外侧倾倒
D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转弯时可能向转弯的内侧倾倒
解析：选C　汽车转弯时，车内的乘客也随之做圆周运动，坐着的乘客受到座椅的摩擦力和弹力 ，一般足够提供向心力；站着的乘客若不拉好扶手，则受到的力不足以提供向心力，乘客将做离心运动，实际表现就是向转弯的外侧倾倒。故选项C正确。
2.试管中装了血液，封住管口后，将此管固定在转盘上，如图4-4-4所示，当转盘以一定角速度转动时(　　)
图4-4-4
A．血液中密度大的物质将聚集在管的外侧
B．血液中密度大的物质将聚集在管的内侧
C．血液中密度大的物质将聚集在管的中央
D．血液中的各物质仍均匀分布在管中
解析：选A　血液中密度大的物质在试管中间位置处做圆周运动所需的向心力大于血液中密度小的物质做圆周运动所需的向心力，故试管中密度大的物质会因做离心运动而聚集在管的外侧，A正确。
3．某游乐场中的赛车场地为圆形，半径为r＝100 m，一赛车和乘客的总质量为m＝100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为fm＝600 N。
(1)若赛车的速度达到v＝72 km/h，则赛车在运动过程中会不会发生侧滑？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为θ＝30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？(g取10 m/s2)
解析：(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为F＝m＝400 N＜600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。
(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力f的合力提供，如图所示为赛车做圆周运动的后视图
(赛车正垂直纸面向里运动)。赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力，由牛顿第二定律可知水平方向：Nsin θ＋fmcos θ＝m
竖直方向：Ncos θ－fmsin θ－mg＝0
由以上两式解得vm＝＝35.6 m/s。
答案：(1)不会　(2)35.6 m/s
1．关于离心运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动
B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时，将做离心运动
C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心
运动
D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动
解析：选D　物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，当合外力大于其所需要的向心力时，物体向着圆心运动；当合外力小于所需要的向心力时，物体做离心运动，故D正确。
2．在水平面上转弯的摩托车，向心力是(　　)
A．重力和支持力的合力
B．静摩擦力
C．滑动摩擦力
D．重力、支持力、牵引力的合力
解析：选B　摩托车转弯时，摩托车受重力、地面支持力和地面对它的摩擦力三个力的作用，重力和地面支持力沿竖直方向，二力平衡，由于轮胎不打滑，摩擦力为静摩擦力，来充当向心力。综上所述，选项B正确。
3. (多选)如图1所示，洗衣机的甩干筒在转动时有一衣服附在筒壁上，则此时(　　)
图1
A．衣服受重力、筒壁的弹力和摩擦力
B．衣服随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力
C．筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大
D．筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
解析：选AC　衣服受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用，故A正确；衣服随筒壁在水平面内做圆周运动，筒壁的弹力提供向心力，故B错误；因N＝mrω2，所以筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大，故C正确；衣服在竖直方向的合外力等于零，所以筒壁对衣服的摩擦力大小始终等于重力，不随转速变化，故D错误。
4．(多选)在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了(　　)
A．减轻火车轮子对外轨的挤压
B．减轻火车轮子对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D．限制火车向外脱轨
解析：选ACD　铁路转弯处，若内外轨一样高，重力和轨道的支持力沿竖直方向，不能提供水平拐弯所需的向心力，是靠挤压外轨获得外轨指向弯道内侧的侧压力提供向心力，所以可使外轨略高于内轨，利用重力和支持力的合力提供向心力，减轻对外轨的挤压，也一定程度上限制了火车向外脱轨，A、C、D对。
5．(多选)有一水平的转盘在水平面内匀速转动，在转盘上放一质量为m的物块恰能随转盘一起匀速转动，则下列关于物块的运动正确的是(　　)
A．如果将转盘的角速度增大，则物块可能沿切线方向飞出
B．如果将转盘的角速度增大，物块将沿曲线逐渐远离圆心
C．如果将转盘的角速度减小，物块将沿曲线逐渐靠近圆心
D．如果将转盘的角速度减小，物块仍做匀速圆周运动
解析：选BD　物块恰能随转盘一起转动，说明此时充当向心力的摩擦力恰好能够保证物块做圆周运动。如果增大角速度ω，则需要的向心力要增大，而摩擦力不能再增大了，因此，物块就会逐渐远离圆心，A错误，B正确；若减小角速度ω，则需要的向心力减小，而摩擦力也可以减小，因此物块仍做匀速圆周运动，C错误，D正确。
6.如图2所示，小物块从半球形碗边的A点下滑到B点，碗内壁粗糙。物块下滑过程中速率不变，下列说法中正确的是 (　　)
图2
A．物块下滑过程中，所受的合外力为零
B．物块下滑过程中，所受的合外力越来越大
C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变
D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变
解析：选C　物块下滑过程中做匀速圆周运动，所受合外力大小(即向心力)和加速度的大小均不变，方向时刻改变，A、B错误，C正确；物块下滑到C点时的受力分析如图所示，为保证速率不变，切线方向应有f＝mgsin θ，由于θ是变化的，所以摩擦力的大小也是变化的，D错误。
7．铁路转弯处的弯道半径r及其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率v。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h。
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内、外轨高度差h/m
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v。(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α)
解析：(1)分析表中数据得，每组的h与r的乘积均等于常数，即C＝660×0.05 m2＝33 m2，因此hr＝33；当r＝440 m时，有h＝ m＝0.075 m＝75 mm。
(2)转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力示意图如图所示。
由牛顿第二定律得mgtan α＝m ①
因为α很小，则有tan α＝sin α＝②
由①②得v＝≈15 m/s＝54 km/h，即我国火车的转弯速率为54 km/h。
答案：(1)hr＝33　75 mm　(2)54 km/h
8. (多选)乘坐游乐场的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，如图3所示，下列说法正确的是 (　　)
图3
A．车在最高点时，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住， 若没有保险带，人一定会掉下去
B．人在最高点时，对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时，处于超重状态
D．人在最低点时，对座位的压力大于mg
解析：选CD　由圆周运动的临界条件知，人在最高点时，若v＝，则人对底座和保险带都无作用力；若v＜，则保险带对人有拉力作用；若v＞，则人对底座有压力，且当v＞，压力大于mg，故A、B错误；人在最低点时有N－mg＝m，则N＞mg，故C、D正确。
9．(多选)如图4所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形轨道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是(　　)
图4
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁有作用力
D．如果小球在最高点时的速度大小为，则小球通过最高点时与管道间无相互作
用力
解析：选ACD　因为管道内壁可以提供支持力，故小球在最高点的最小速度可以为零。若在最高点v>0且较小时，球做圆周运动所需的向心力由球的重力跟管道内壁对球向上的力FN1的合力提供，即mg－FN1＝m，当FN1＝0时，v＝ ，此时只有重力提供向心力。由此知，速度在0时，球的向心力由重力跟管道外壁对球的向下的弹力FN2共同提供，综上所述，选项A、C、D正确。
10．一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
解析：(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
由向心力公式得mg－FN＝m
故桥面的支持力大小
FN＝mg－m＝N＝1.78×104 N
根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力
F′＝mg－FN′＝0.5mg，
而F′＝m，
所以此时轿车的速度大小
v′＝＝ m/s＝15 m/s
答案：(1)1.78×104 N　(2)15 m/s
11．(全国丙卷)如图5所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
图5
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg②
由①②式得＝5。③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m⑥
由机械能守恒定律得mg＝mvC2⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
答案：(1)5　(2)能沿轨道运动到C点
　　　　　　　　　　　　　　　　　第4章　匀速圆周运动
(时间：50分钟　满分：100分)
一、选择题(本题共8小题，每小题6分，共48分。第1～5小题只有一个选项正确，第6～8小题有多个选项正确，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．对于做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是(　　)
A．速度不变
B．受到平衡力作用
C．除受到重力、弹力、摩擦力之外，还受到向心力的作用
D．所受合力大小不变，方向始终与线速度垂直并指向圆心
解析：选D　做匀速圆周运动的物体速度方向不断变化，A错误。又因为做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，所以所受合力不为零，B错误。向心力是效果力，受力分析时不考虑，C错误。做匀速圆周运动的物体，合力充当向心力，所以其大小不变，方向始终与线速度垂直并指向圆心，D正确。
2．建造在公路上的桥梁大多是凸桥，较少是水平桥，更少有凹桥，其主要原因是(　　)
A．为了节省建筑材料，以减少建桥成本
B．汽车以同样的速度通过凹桥时对桥面的压力要比对水平桥或凸桥压力大，故凹桥易损坏
C．建造凹桥的技术特别困难
D．无法确定
解析：选B　汽车通过水平桥时，对桥的压力大小等于车的重力，汽车通过凸桥时，在最高点时，对桥的压力F1＝mg－m，而汽车通过凹桥的最低点时，汽车对桥的压力F2＝mg＋m。综上可知，汽车通过凹桥时，对桥面的压力较大，因此对桥的损坏程度较大。这是不建凹桥的原因。
3．(全国甲卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图1所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，(　　)
图1
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
解析：选C　两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LP＜LQ，则vP＜vQ，又mP＞mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，则F＝3mg，因mP＞mQ，则FP＞FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
4.如图2所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员(　　)
图2
A．受到的拉力为G　　　 B.受到的拉力为2G
C．向心加速度为3g D．向心加速度为2g
解析：选B　如图所示，F1＝Fcos 30°，F2＝Fsin 30°，F2＝G，F1＝ma，所以a＝g，F＝2G。选项B正确。
5．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，取g＝10 m/s2。那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的(　　)
A．1倍　　　　　　　　　　 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析：选C　游客乘过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示。由牛顿第二定律得N－mg＝ma，则N＝mg＋ma＝3mg，即＝3。
6.如图3所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是(　　)
图3
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析：选BD　设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，则在最高点F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错。当v1＝ 时，F1＝0，B对。v1＝ 为小球经过最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错。在最低点，F2－mg＝m，F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D对。
7.公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图4所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　)
图4
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
解析：选AC　抓住临界点分析汽车转弯的受力特点及不侧滑的原因，结合圆周运动规律可判断。汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误。当v＜v0时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v＞v0时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确。
8.如图5所示，小球P用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆转动。若转动角速度为ω，则下列说法正确的是 (　　)
图5
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力
解析：选ABC　小球P的重力、绳子BP的张力及绳子AP中可能存在的张力的合力提供P做匀速圆周运动的向心力。用正交分解法求出小球P分别在水平、竖直两个方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛顿运动定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析讨论可知A、B、C正确，D错误。
二、计算题(本题共3小题，共52分)
9．(12分)如图6所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
图6
解析：设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2
对球1有：F1－F2＝mlω2，由以上两式得：F1＝3mlω2
故F1∶F2＝3∶2 。
答案：3∶2
10．(18分)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
解析：(1)72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有N＝m＝ N＝105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则
mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1。
答案：(1)105 N　(2)0.1
11. (22分)如图7所示为某游乐场的过山车的轨道，竖直圆形轨道的半径为R。现有一节车厢(可视为质点)从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力。
图7
(1)要使过山车通过圆形轨道的最高点，过山车开始下滑时的高度至少应多高？
(2)若车厢的质量为m，重力加速度为g，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力大小是多少？
解析：(1)设过山车的质量为m，开始下滑时的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v。要使过山车通过圆形轨道的最高点，应有mg＝m。
过山车在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒。选取轨道最低点所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得mv2＋mg·2R＝mgh，联立以上两式得h＝R。
(2)设过山车到达轨道最低点时的速度为v′，受到的支持力大小为F，则由机械能守恒定律得mv′2＝mgh，
再由牛顿第二定律得F－mg＝，
联立以上两式得F＝6mg，
由牛顿第三定律知，过山车对轨道的压力F′＝F＝6mg。
答案：(1)R　(2)6mg