5.2 万有引力定律的应用——人类对太空的不懈追求 同步练习 Word版含答案

第2、3节万有引力定律的应用__人类对太空的不懈追求

一、人造卫星与宇宙速度
1．人造卫星
(1)牛顿的设想：如图5-2-1所示，当抛出速度足够大时，物体将会围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗绕地球转动的卫星。
图5-2-1
(2)原理：卫星绕地球转动时，万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2，其中r为卫星到地心的距离。
2．宇宙速度
(1)第一宇宙速度大小为7.9_km/s，也叫环绕速度。
(2)第二宇宙速度大小为11.2_km/s，也叫脱离速度。
(3)第三宇宙速度大小为16.7_km/s，也叫逃逸速度。
二、预测未知天体
1．海王星的发现
在观测天王星时，发现其实际轨道与万有引力计算的轨道不吻合，并由此预测存在另一行星，这就是后来发现的海王星。
2．意义
巩固了万有引力定律的地位，展现了科学理论超前的预见性。
三、人类对太空的探索
1．两种学说
内容
局限性
地心说
地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符
日心说
太阳是宇宙的中心，且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
2．牛顿的大综合
牛顿在前人研究的基础上，逐步建立了万有引力定律，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大运动定律为基础的力学体系。
1．自主思考——判一判
(1)地球的第一宇宙速度又叫脱离速度。(×)
(2)绕地球做圆周运动的人造卫星的速度可以是10 km/s。(×)
(3)第一宇宙速度跟地球的质量无关。(×)
(4)离地面越近的卫星线速度越大。(√)
(5)要发射一颗月球人造卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s。(×)
(6)美国是世界上第一个成功发射人造地球卫星的国家。(×)
2．合作探究——议一议
(1)1705年英国的哪位天文学家根据万有引力定律计算出了一颗著名的彗星，并正确预言了它的回归？
提示：哈雷。
(2)能否有发射轨道高度不同但具有相同周期的地球卫星？
提示：不能。根据万有引力提供地球卫星做匀速圆周运动的向心力G＝mr可知，周期T＝2π，所以当卫星轨道高度不同时，其周期一定不同，故不能发射在不同轨道高度但具有相同周期的地球卫星。
(3)人造卫星的发射速度和绕行速度有何区别？
提示：发射速度是指离开发射装置的速度，绕行速度是指进入轨道后做匀速圆周运动的线速度。
对宇宙速度的理解
数值
意义
说明
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9 km/s
发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
7.9 km/s是卫星的最小发射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，发射速度7.9 km/s＜v＜11.2 km/s，卫星在椭圆轨道上绕地球旋转
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2 km/s
发射物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度
当11.2 km/s≤v＜16.7 km/s时，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7 km/s
发射物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
当v≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空间中去
[典例]　(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(　　)
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
[思路点拨]　本题主要考查对三种宇宙速度的理解，要结合自己已经掌握的有关宇宙速度的知识进行分析。
[解析]　根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确。
[答案]　CD
(1)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的最小发射速度，不能理解成运行速度。
(2)第一宇宙速度的计算可由G＝m得v＝＝7.9 km/s，也可以由m＝mg得v＝＝7.9 km/s。
　　　　
1．在现实生活中，绕地球做圆周运动的卫星的线速度(　　)
A．一定等于7.9 km/s
B．一定小于7.9 km/s
C．大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s
D．只需大于7.9 km/s
解析：选B　卫星绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供向心力，G＝，得v＝ ，所以轨道半径r越大，卫星的环绕速度越小；实际生活中，做圆周运动的卫星的轨道半径大于地球的半径，所以环绕速度一定小于7.9 km/s。
2．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为(　　)
A．16 km/s　　　　　　　　 　B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
解析：选A　第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m，
解得v＝ 。
因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，故＝＝ ＝2，
即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s，A正确。
3．某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径为R，求该星球上的第一宇宙速度。
解析：第一宇宙速度在数值上等于卫星在该星球表面附近的环绕速度，本题求解的关键是先求得星球表面的重力加速度g。
由竖直上抛运动的规律可得，该星球表面的重力加速度g＝
该星球对卫星的万有引力提供向心力，而星球表面附近对卫星的万有引力又可近似认为和卫星重力相等，所以有mg＝
该星球表面的第一宇宙速度为v1＝ ＝ 。
答案： 
人造卫星的运行规律
1．发射速度与运行速度
(1)发射速度：发射速度是指卫星在地面附近离开发射装置的初速度，一旦发射后再无能量补充。三个宇宙速度都是发射速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。
(2)运行速度：运行速度是指卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度，当卫星的轨道半径大于地球半径时，由v＝ 得运行速度小于第一宇宙速度。
2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
(1)当卫星做椭圆轨道运动时，其运动遵循开普勒三定律。
(2)多数情况下，我们认为卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供。
卫星的线速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系与推导如下：
项目
推导式
关系式
结论
v与r的关系
G＝m
v＝
r越大，v越小
ω与r的关系
G＝mrω2
ω＝
r越大， ω越小
T与r的关系
G＝mr2
T＝2π 
r越大，T越大
a与r的关系
G＝ma
a＝
r越大，a越小
由上表可以看出：卫星离地面高度越高，其线速度越小，角速度越小，周期越大，向心加速度越小。
[典例]　如图5-2-2所示，是同一轨道平面内的三颗人造地球卫星，下列说法正确的是(　　)
图5-2-2
A．根据v＝，可知vA＜vB＜vC
B．根据万有引力定律，可知FA＞FB＞FC
C．角速度ωA＞ωB＞ωC
D．向心加速度aA＜aB＜aC
[思路点拨]　仔细观察卫星的运行轨道图，找出卫星所在的轨道位置，判断出轨道半径的大小，然后结合相应的公式比较各物理量的关系。
[解析]　同一轨道平面内的三颗人造地球卫星都绕同一中心天体(地球)做圆周运动，根据万有引力定律G＝m，得v＝ ，由题图可以看出卫星的轨道半径rC＞rB＞rA，故可以判断出vA＞vB＞vC，选项A错误。
因不知三颗人造地球卫星的质量关系，故无法根据F＝G判断它们与地球间的万有引力的大小关系，选项B错误。
由G＝mω2r得ω＝ ，又rC＞rB＞rA，所以ωA＞ωB＞ωC，选项C正确。
由G＝ma得a＝G，又rC＞rB＞rA，所以aA＞aB＞aC，选项D错误。
[答案]　C
天体运动规律的分析技巧
(1)建立模型：
不论是自然天体(如地球、月亮等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)列方程求解：
根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解。
F向＝F万＝ma＝mg＝G＝m＝mrω2＝mr。　
(3)巧用“黄金代换GM＝gR2”：
若不知天体的质量M，但知道其表面的重力加速度g，则可利用物体在天体表面的重力等于万有引力，列出方程mg＝G，继而GM＝gR2，用gR2替代GM，将问题简单化。
　　　　
1．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如卫星的线速度减小到原来的，卫星仍做匀速圆周运动，则(　　)
A．卫星的向心加速度减小到原来的
B．卫星的角速度减小到原来的
C．卫星的周期增大到原来的8倍
D．卫星的周期增大到原来的2倍
解析：选C　由公式＝m可知，R＝，线速度减为原来的时，其轨道半径R变为原来4倍，由＝mω2·R＝m·R＝ma可知，当R变为原来的4倍时，其向心加速度变为原来的，选项A错误；其角速度减小到原来的，选项B错误，其周期增大到原来的8倍，选项C正确，D错误。
2.如图5-2-3所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)
图5-2-3
A.＝　　　　 　B.＝
C.＝2 D.＝2
解析：选A　对人造卫星，根据万有引力提供向心力＝m，可得v＝ 。 所以对于a、b两颗人造卫星有＝，故选项A正确。
3．两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的
(1)线速度之比。
(2)角速度之比。
(3)向心加速度之比。
解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M，两卫星的质量分别为m1、m2，线速度分别为v1、v2，由＝得
＝＝ ＝。
(2)由角速度与线速度的关系ω＝，得两卫星的角速度之比为＝＝×＝。
(3)由向心加速度的公式a＝rω2，得两卫星的向心加速度之比为＝＝2×4＝。
答案：(1)1∶2　(2)1∶8　(3)1∶16
万有引力定律在天体运动中的综合应用
[典例]　(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器(　　)
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
[解析]　设月球表面的重力加速度为g月，则＝＝·＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2。
由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝＝ m/s≈3.7 m/s，选项A错误。悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103 N，选项B正确。从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误。设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则＝＝ ＝ <1，故v1[答案]　BD
运用万有引力定律分析求解相关综合问题时，首先必须明确问题涉及哪些知识内容，需要运用哪些物理规律，并注意把握以下几点。
(1)无论问题是涉及运动学规律，还是动力学规律，联系的桥梁都是重力加速度g，要注意重力加速度的变化，特别是明确星球表面上g0＝G，高度h处g＝G，即g随h增加而减小。
(2)在地球上运用的运动学规律和动力学规律，在其他星球上仍然适用，只是重力加速度g不同。
(3)轨道半径r确定后，与之对应的卫星的线速度v＝、角速度ω＝，周期T＝2π、向心加速度a＝也都是唯一确定的。
(4)当卫星在确定的轨道上运行时，如果卫星的质量是确定的，那么卫星的动能Ek、重力势能Ep和总机械能E机也是唯一确定的。
　　　　
1．(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图5-2-4中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则(　　)
图5-2-4
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大
D．s1的公转周期比s2的大
解析：选AC　由图像左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星的近地卫星：G＝ma，得行星的质量M＝，由a-r2图像可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，选项A正确；根据G＝得，行星的第一宇宙速度v＝ ，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，选项B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a-r2图像可知s1的向心加速度大，选项C正确；根据G＝m2r得，卫星的公转周期T＝2π ，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，选项D错误。
2．(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有(　　)
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
解析：选BD　探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G＝m，得v＝，则摆脱星球引力时的发射速度v＝，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G＝，比火星对探测器的引力F2＝G大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1＝＝，脱离火星时的发射速度v2＝，v2＜v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确。
3．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为(　　)
A．GMm B．GMm
C. D.
解析：选C　卫星做匀速圆周运动，有＝m，变形得mv2＝，即卫星的动能Ek＝，结合题意，卫星的机械能E＝Ek＋Ep＝－。题述过程中因摩擦产生的热量等于卫星损失的机械能，即Q＝E1－E2＝－－＝。
1．关于宇宙速度的说法，正确的是(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星运行时的最大速度
B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度
C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
D．第三宇宙速度是物体逃离地球的最小速度
解析：选A　第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，同时也是人造地球卫星的最大运行速度，故A对，B、C错；第二宇宙速度是物体逃离地球的最小速度，D错。
2. (多选)如图1所示，三颗人造卫星正在围绕地球做匀速圆周运动，则下列有关说法中正确的是(　　)
图1
A．卫星可能的轨道为a、b、c
B．卫星可能的轨道为a、c
C．同步卫星可能的轨道为a、c
D．同步卫星可能的轨道为a
解析：选BD　卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必须与地心重合，所以卫星可能的轨道为a、c，选项A错误、B正确；同步卫星位于赤道的上方，可能的轨道为a，选项C错误、D正确。
3．据英国《每日邮报》2015年3月6日报道，“格利泽581d”行星大小约为地球的3倍，是人类在太阳系之外发现的第一个位于宜居带中的行星，被称为“超级地球”。若这颗行星围绕某恒星Q做匀速圆周运动。测得行星的公转周期为T，公转轨道半径为r，已知引力常量为G。则(　　)
A．恒星的质量约为
B．行星的质量约为
C．以7.9 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面
D．以11.2 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面
解析：选A　由于万有引力提供向心力，以行星为研究对象，有G＝mr，得M＝，选项A正确；根据万有引力提供向心力，只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出行星的质量，选项B错误；如果发射探测器到达该系外行星，需要克服太阳对探测器的万有引力，脱离太阳系的束缚，所以需要发射速度大于第三宇宙速度，选项C、D错误。
4．由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步卫星，这些卫星的(　　)
A．质量可以不同　　　　　　 B.轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D.速率可以不同
解析：选A　同步卫星的轨道平面与赤道平面重合，且具有确定的轨道半径、确定的速率、确定的周期，选项B、C、D错误。根据G＝mr，可得G＝r，所以卫星周期与卫星质量无关，同步卫星的质量是可以不同的，选项A正确。
5．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星，中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星的第一宇宙速度约为(　　)
A．6 km/s B．3×102 km/s
C．3×103 km/s D．6×104 km/s
解析：选D　根据v＝和M＝πR3·ρ可得v＝≈6×104 km/s，选项D正确。
6. “神舟十号”与“天宫一号”在对接前，在各自轨道上运行，它们的轨道如图2所示，假定它们都做匀速圆周运动，则(　　)
图2
A．宇航员在“神舟十号”上不受地球引力作用
B．“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长
C．“天宫一号”的加速度比“神舟十号”大
D．“神舟十号”运行速度较大，要减速才能与“天宫一号”对接
解析：选B　宇航员在“神舟十号”上也受地球引力作用，选项A错误；“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，“天宫一号”的轨道半径大于“神舟十号”的轨道半径，根据G＝mr可得：“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长，选项B正确；根据a＝G可得：“天宫一号”的加速度比“神舟十号”小，选项C错误；“神舟十号”若减速，将做向心运动，会远离“天宫一号”的轨道，选项D错误。
7. (多选)不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾。如图3所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此如下说法中正确的是(　　)
图3
A．离地越低的太空垃圾运行周期越小
B．离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C．由公式v＝得，离地越高的太空垃圾运行速率越大
D．太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
解析：选AB　太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，根据G＝m＝mω2r＝mr，可得：离地越低，周期越小，角速度越大，速度越大，选项A、B正确，C错误。太空垃圾与同一轨道上同向飞行的航天器速率相等，不会相撞，选项D错误。
8. (多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图4所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是(　　)
图4
A．飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
解析：选BC　飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，A错误；由开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B正确；由公式a＝G可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2π 可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误。
9．(多选)据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”。假设该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍。则该行星与地球的(　　)
A．轨道半径之比为 B．轨道半径之比为
C．线速度之比为 D.线速度之比为
解析：选AC　行星公转的向心力由万有引力提供，根据牛顿第二定律，有：G＝mR，解得：R＝，该行星与地球绕恒星均做匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，故：＝＝，故A正确，B错误；根据v＝，有：＝·＝·＝，故C正确，D错误。
10．我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的，“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T1＝12 h；“风云二号”是同步卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T2＝24 h；两颗卫星相比(　　)
A．“风云一号”离地面较高
B．“风云一号”每个时刻可观察到的地球表面范围较大
C．“风云一号”线速度较大
D．若某时刻“风云一号”和“风云二号”正好同时在赤道上某个小岛的上空，那么再过12小时，它们又将同时到达该小岛的上空
解析：选C　因T1v2，C正确；由于T1＝12 h，T2＝24 h，则需再经过24 h才能再次同时到达该小岛的上空，D错。
11．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响。
(1)求地球的质量M；
(2)求地球的第一宇宙速度v；
(3)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星距离地面的高度h。
解析：(1)若不考虑地球自转的影响，则G＝mg，所以，地球的质量M＝；
(2)若不考虑地球自转的影响，则G＝mg＝m，
所以，第一宇宙速度v＝；
(3)卫星绕地球做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，即G＝m(R＋h)，
不考虑地球自转的影响，G＝mg，
由以上两式解得：h＝－R。
答案：(1)　(2)　(3)－R
12．两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则
(1)a、b两卫星运行的线速度大小之比va∶vb是多少？
(2)a、b两卫星的周期之比Ta∶Tb是多少？
(3)a、b两卫星所在轨道处的重力加速度大小之比ga∶gb是多少？
解析：选设地球的质量为M，a、b卫星的质量分别为ma、mb。
(1)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星：G＝
对b卫星：G＝
解以上两式得va∶vb＝∶1。
(2)由圆周运动的规律T＝可得
Ta＝
Tb＝
解以上两式得Ta∶Tb＝1∶2。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星：G＝ma·ga
对b卫星：G＝mb·gb
解以上两式得ga∶gb＝4∶1。
答案：(1)∶1　(2)1∶2　(3)4∶1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　双星模型＋卫星变轨问题
1．(多选)甲、乙两恒星相距为L，质量之比＝，它们离其他天体都很遥远，我们观察到它们的距离始终保持不变，由此可知(　　)
A．两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动
B．甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3
C．甲、乙两恒星的线速度之比为∶
D．甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2
解析：选AD　根据题目描述的这两颗恒星的特点可知，它们符合双星的运动规律，即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动，A正确。它们的角速度相等，B错误。由m甲a甲＝m乙a乙，所以＝＝，D正确。由m甲ω甲v甲＝m乙ω乙v乙，所以＝＝，C错误。
2．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　　　　　 　B.T
C.T D.T
解析：选B　设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。
3．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图1所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动器做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为(　　)
图1
A．与v的方向相反
B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右
D．垂直v的方向向左
解析：选B　要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，因此B正确。
4.如图2所示，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的空间站B输送物资，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是(　　)
图2
A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变小
B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变大
C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后运行周期变大
D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后运行周期变小
解析：选B　飞船由低轨道向高轨道运行时，需要提高在轨道上的运行速度，增加轨道高度才能使宇宙飞船A到达更高轨道与空间站B对接；由G＝mr可知，r增大，T变大，故B正确。
5．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比(　　)
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
解析：选D　卫星在圆形轨道上运动时，万有引力提供其做圆周运动的向心力，由G＝m＝mr，得r＝ ，v＝。因为在变轨过程中，卫星周期T增大，所以轨道半径r增大，速率v减小，即卫星动能减小，又因为卫星在变轨前后机械能增大，因而引力势能增大，故D正确。
6．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　)
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
解析：选A　探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，由G＝mr，得周期T＝2π，当周期变小时，轨道半径r变小，选项A正确；由G＝ma＝m＝mrω2，得向心加速度a＝G，线速度v＝，角速度ω＝，可见，轨道半径r变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项B、C、D均错误。
7.如图3所示 ，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器(　　)
图3
A．变轨后将沿轨道2运动
B．相对于变轨前运行周期变长
C．变轨前、后在两轨道上经P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经P点的加速度大小相等
解析：选D　推进器短时间向前喷气，飞行器将被减速，故选项C错误；此时有G＞m，所以飞行器将做向心运动，即变轨后将沿较低轨道3运动，故选项A错误；根据开普勒第三定律可知，公转周期将变短，故选项B错误；由于变轨前、后在两轨道上经P点时，所受万有引力不变，因此加速度大小不变，故选项D正确。
8．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍，假设宇宙空间中由甲、乙两星构成的双星系统，正以相同的周期T绕它们的连线上某点做匀速圆周运动，双星中心相距为R，甲星的质量大于乙星的质量。若采取措施将乙星上的物质，搬走质量Δm到甲星上去，保持距离R不变，设它们做匀速圆周运动的周期为T′，引力常量为G。则下列结论正确的是(　　)
A．利用上述数据可求出双星的总质量
B．圆周运动的圆心将向乙星移动
C．周期T′将小于T
D．甲、乙两星运动的线速度均增大
解析：选A　设甲、乙两星质量分别为M1和M2，甲、乙到圆心的距离分别为l1和l2。由万有引力提供向心力得
对M1有G＝M12l1
对M2有G＝M22l2
两式相加整理得M1＋M2＝(l1＋l2)＝
所以，可求出双星的总质量。由质量和的表达式知，周期T只与二者间的距离R以及二者质量和有关，则T′＝T。由M1ω2l1＝M2ω2l2知，若将乙星上的物质搬到甲星上去，乙的半径l2将增大，圆周运动的圆心将向甲星移动。因周期不变，则角速度不变，甲的半径l1减小，甲的线速度减小，综上所述，本题答案为A。
9．银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G。由此可求出S2的质量为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿定律得：
对S1有G＝m12r1，
解之可得m2＝。
所以正确选项是D。
10.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图4所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R。求：
图4
(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大？
(2)远地点B距地面的高度h2为多少？
解析：(1)设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点飞船受到的地球引力为F＝G，地球表面的重力加速度g＝G
由牛顿第二定律得aA＝＝＝。
(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T＝
由牛顿第二定律得G＝m2(R＋h2)
解得h2＝－R。
答案：(1)　(2) －R
11．质量分别为m1和m2的两个天体，相距r。其他天体离它们很远，以至可以认为这两个天体除相互之间的万有引力外不受其他外力作用，这两个天体被称为双星，双星能够保持距离r不变，是由于它们绕着共同的中心(质心)做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，试分析、计算：
(1)共同中心(质心)在何处？两个天体到共同中心O的距离r1、r2各为多大？
(2)两个天体绕共同中心O转动的角速度、线速度、周期各多大？
解析：(1)由于两个天体(视作质点)间相互作用的万有引力方向均沿两个天体的连线，所以共同中心(质心)O一定位于连线上(如图所示)。
两个天体绕O以角速度ω做匀速圆周运动，据此可列出两个天体的运动方程：
m1ω2r1＝G①
m2ω2r2＝G②
联立①②解得m1r1＝m2r2
根据题意r1＋r2＝r，可得r1＝r，r2＝r。
(2)由方程①②及r1、r2的表达式，经简单推演，即可得角速度、线速度、周期表达式如下
ω＝；v1＝ωr1＝m2
v2＝ωr2＝m1；
T＝＝2πr。
答案：见解析
12．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕二者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
图5
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′的表达式(用m1、m2表示)。
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T及质量m1之间的关系式。
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量mS的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6mS，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，mS＝2.0×1030 kg)
解析：(1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω0，根据牛顿运动定律，有FA＝m1ω02r1，FB＝m2ω02r2，FA＝FB
设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2
由上述各式得r＝r1①
由万有引力定律，有FA＝G
将①式代入得FA＝G
又FA＝G
可得m′＝。②
(2)根据牛顿第二定律，有G＝m1③
又可见星A的轨道半径r1＝④
由②③④式可得＝。⑤
(3)将m1＝6mS代入⑤式得＝
代入数据，得＝6.9×1030 kg＝3.45mS⑥
设m2＝nmS(n＞0)，将其代入⑥式，得
＝mS＝3.45mS⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n＝2，得
mS＝0.125mS＜3.45mS
若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2mS，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
答案：见解析