5.1万有引力定律及引力常量的测定 同步练习 Word版含答案

第1节万有引力定律及引力常量的测定
一、行星运行的规律
开普勒三定律
定律
内容
公式或图示
开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
行星绕太阳运行轨道的半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比
公式：＝k，k是一个与行星质量无关的常量
二、万有引力定律
1．万有引力定律
内容
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比
公式
F＝，G＝6.67×10－11_m3/(kg·s2)，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离
条件
适用于两质点间的相互作用
2．“月－地”检验
证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有相同性质，遵循同样的规律。
三、引力常量的测定及其意义
1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量。
2．意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。
3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。
1．自主思考——判一判
(1)开普勒定律仅用于行星绕太阳的运动。(×)
(2)太阳系中所有行星的运动速率是不变的。(×)
(3)太阳系中轨道半径大的行星其运动周期也长。(√)
(4)一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略。(×)
(5)牛顿发现了万有引力定律，是第一个测出地球质量的人。(×)
(6)由万有引力定律F＝可知，r→0时，F→∞。(×)
2．合作探究——议一议
(1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动。那么，对于不同的系统，比例式＝k中的k是一样的吗？
提示：不一样。对于太阳系，常量k仅与太阳的质量有关，而与行星无关。这个规律推广到宇宙间其他的天体系统(如地—卫系统)，这时常量k仅与该系统的中心天体的质量有关，而与绕中心天体运行的星体无关。中心天体不同则k值不同，中心天体相同的系统中k值是相同的。
(2)万有引力定律指出，任何物体间都存在引力，为什么我们身边的人或物没有吸引在一起呢？
提示：任何物体间都存在引力，只是我们身边的人或物的质量比起天体的质量小得多，不易觉察而已。
(3)如图5-1-1为卡文迪许测定引力常量的实验装置。卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？
图5-1-1
提示：因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值。利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”。
开普勒定律的理解及应用
1．研究行星运动的近似处理
定律
近似处理
开普勒第一定律
大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心
开普勒第二定律
对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动
开普勒第三定律
所有行星轨道半径的立方跟它的公转周期的平方的比值都相等，即＝k
2．对开普勒行星运动定律的理解
(1)开普勒行星运动定律是根据行星运动的观察结果归纳总结出来的，它们都是经验定律，且开普勒行星运动定律只涉及运动学等方面的内容。
(2)圆周运动可看成椭圆运动的特例，所以在一般情况下，可把行星的运动当做圆周运动来处理，此时，r为圆周运动的轨道半径，T为圆周运动的周期。
(3)表达式＝k中的k仅由中心天体决定，与周围绕行的星体无关。
1．(多选)如图5-1-2所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是(　　)
图5-1-2
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是不变的
B．太阳系中的所有行星有一个共同的轨道焦点
C．一个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
解析：选BC　根据开普勒第一定律(轨道定律)的内容可以判定：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，行星有时远离太阳，有时靠近太阳，其轨道在某一确定平面内，运动方向并不总是与它和太阳的连线垂直。故A、D错误，B、C正确。
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解析：选C　火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，选项B错误；由开普勒第三定律可知，＝＝k ，即＝，选项C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积不相等，选项D错误。
3．地球到太阳的距离为水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比为多少？
解析：设地球绕太阳的运行周期为T1，水星绕太阳的运行周期为T2，根据开普勒第三定律有＝①
因地球和水星绕太阳做匀速圆周运动，故有
T1＝②
T2＝③
由①②③式联立求解得
＝＝＝＝＝。
答案：
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力的“四性”
四性
内容
普遍性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，总是满足大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与所在空间的运动性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
2．万有引力定律公式的适用条件
F＝G严格地说，只适用于计算两个质点间的相互作用，但对于下述几类情况，也可用该公式计算：
(1)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用公式计算，其中r是两个球体球心间的距离。
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，其中r为球心到质点间的距离。
(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体的大小可以忽略，公式也近似适用。
[典例]　已知地球的赤道半径rE＝6.37×103 km，地球的质量mE＝5.977×1024 kg。设地球为均匀球体。
(1)若两个质量都为1 kg的均匀球体相距1 m，求它们之间的万有引力；
(2)质量为1 kg的物体在地面上受到地球的万有引力为多大？
[思路点拨]　解此题的关键是理解公式F＝G中各符号的意义。
[解析]　(1)由万有引力定律的公式可得两个球体之间的引力为F＝G＝6.67×10－11× N＝6.67×10－11 N。
(2)将地球近似为一均匀球体，便可将地球看做一质量集中于地心的质点；而地面上的物体的大小与它到地心的距离(地球半径rE)相比甚小，也可视为质点。因此，可利用万有引力定律的公式求得地面上的物体受到地球的引力为
F′＝G＝6.67×10－11× N＝9.8 N。
[答案]　(1)6.67×10－11 N　(2)9.8 N
万有引力大小理解的两点注意
(1)物理公式有特定的适用情境及条件，不要单纯地从数学角度理解，如F＝G，当r→0时，从数学角度有F→∞，但对物理问题则无意义。
(2)两质点间的引力大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力，与各自质量大小
无关。
　　　　
1．关于万有引力定律的数学表达式F＝G，下列说法中正确的是(　　)
A．公式中G为引力常量，是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力
D．m1、m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
解析：选C　万有引力定律的数学表达式中的引力常量G是由实验测定的，而不是人为规定的，选项A错误；使用公式F＝G时，若两物体可以看成质点，则r为两质点间的距离，而认为r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大的纯数学思想是不正确的，选项B错误；两个物体间的万有引力是作用力与反作用力的关系，分别作用在相互作用的两个物体上，不可能是平衡力，所以选项C正确，D错误。
2．如图5-1-3所示，两个质量分布均匀的实心球，半径分别为r1＝0.40 m、r2＝0.60 m，质量分别为m1＝4.0 kg、m2＝1.0 kg，两球间距离为r＝2.0 m，则两球间相互引力的大小为(　　)
图5-1-3
A．6.67×10－11 N　　　　 　B．大于6.67×10－11 N
C．小于6.67×10－11 N D．不能确定
解析：选C　计算两均匀实心球间的相互作用，距离R可看成两球心的距离，即R＝r1＋r2＋r＝3.0 m，
由公式F＝G知F＝6.67×10－11× N<6.67×10－11 N，选项C正确。
3.如图5-1-4所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力。
图5-1-4
解析：设挖出空穴前铅球与小球的万有引力为F1，挖出的球形实体与小球的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球的万有引力为F，则有
F1＝F＋F2
根据万有引力定律可得
F1＝G，F2＝G
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
F＝F1－F2＝G－G
＝。
答案：
天体的质量和密度的估算
1．天体质量的计算
下面以计算地球的质量为例，介绍两种方法。
方法1：已知月球(地球的卫星)绕地球运动的周期T和轨道半径r，可计算出地球的质量M。由G＝m2r得M＝。
方法2：已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，可求得地球的质量。
不考虑地球自转，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，M＝g。
2．计算天体的密度
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝
将M＝代入上式得：ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
(2)已知天体表面上的重力加速度为g，则
ρ＝＝＝。
[典例]　已知引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)，日地中心的距离r＝1.49×1011 m。
(1)试估算太阳的质量；
(2)若万有引力常量未知，而已知地球质量m＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×106 m，地球表面重力加速度g＝9.8 m/s2，试求出太阳质量。
[思路点拨]　
(1)试分析地球绕太阳的运动满足的规律：
①地球绕太阳做匀速圆周运动。
②地球绕太阳的公转周期为1年。
(2)若不考虑地球自转，地面上的物体所受重力等于物体和地球间的万有引力。
[解析]　(1)由牛顿第二定律和万有引力定律，有
G＝m2r，可得M＝，
其中M是太阳的质量，r是地球绕太阳公转半径，T是地球公转周期，m是地球质量，
则M＝kg≈1.97×1030 kg。
(2)已知G＝m2r①
对地球表面的物体有m′g＝G，即Gm＝gR2②
由①②得
M＝＝ kg≈1.96×1030 kg。
[答案]　(1)1.97×1030 kg　(2)1.96×1030 kg
(1)只要知道某一环绕天体的轨道半径以及线速度、角速度、周期中的某一个参数，就可计算出吸引它做圆周运动的中心天体的质量。
(2)只有当卫星在天体表面时，天体的密度才等于。
　　　　
1．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A. B．1
C．5 D．10
解析：选B　行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝m r，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确。
2．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　)
A.　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选B　根据万有引力与重力的关系解题。物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，选项A、C、D错误。
3．地球半径R＝6 400 km，取地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，试估算地球的平均密度。
解析：忽略地球自转的影响，地球对其表面物体的引力等于物体的重力，即G＝mg，所以地球的质量M＝，
地球的平均密度＝＝＝
＝ kg/m3
≈5.5×103 kg/m3。
答案：5.5×103 kg/m3
1．下列物理学史正确的是(　　)
A．开普勒提出行星运动规律，并发现了万有引力定律
B．牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出万有引力常量
C．万有引力常量是卡文迪许通过实验测量并计算得出的
D．伽利略发现万有引力定律并得出万有引力常量
解析：选C　由物理学史可知，开普勒提出行星运动规律，牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测量并计算得出万有引力常量，故选项C正确，A、B、D错误。
2．关于太阳与行星间引力的公式F＝G，下列说法正确的是(　　)
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
解析：选C　公式F＝G 中的G是一个比例系数，它与开普勒第三定律中k＝的常数k不同，G与太阳质量、行星质量都没有关系，而k与太阳质量有关，故C选项正确。
3．两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为(　　)
A．2F　　　　　　　　　　 　B．4F
C．8F D．16F
解析：选D　设小铁球的半径为R，则两小球间：F＝G＝G＝ Gπ2ρ2R4，同理，两大铁球之间：F′＝G＝Gπ2ρ2(2R)4＝16F。
4．2013年12月14日21时许，“嫦娥三号”携带“玉兔”探测车在月球虹湾成功软着陆，在实施软着陆过程中，“嫦娥三号”离月球表面4 m高时最后一次悬停，确认着陆点。若总质量为m的“嫦娥三号”在最后一次悬停时，反推力发动机对其提供的反推力为F，已知引力常量为G，月球半径为R，则月球的质量为(　　)
图1
A.　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选A　设月球的质量为m′，由G＝mg和F＝mg解得m′＝，选项A正确。
5．行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设＝k，则k的大小(　　)
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关
C．只与行星的质量有关
D．与恒星的质量及行星的速度有关
解析：选A　根据开普勒定律，所有行星绕同一恒星运动均满足＝k，故k值只和恒星的质量有关，A正确。
6．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g，则为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 　B.
C. D.
解析：选D　地球表面处的重力加速度和离地心距离4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：F＝G＝mg，所以＝2＝＝，故D正确。
7．两个质量均为m的星体，其连线的中垂线为MN，O为连线的中点，一质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受的万有引力将(　　)
A一直减小 B．一直增大
C．先减小再增大 D．先增大再减小
解析：选D　本题可以采用特殊点分析法，在O点受到的引力合力为0，在无穷远处受到的引力也为0，所以从O沿OM方向运动，引力先增大后减小，故D正确，A、B、C
错误。
8．(多选)利用下列哪种数据，可以算出地球的质量(引力常量G已知)(　　)
A．已知地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析：选BCD　在地面附近重力近似等于万有引力，即G＝mg，故M＝，若想计算地球的质量，需要知道g、R和G，故选项A错误；卫星绕地球运动时万有引力提供向心力，即G＝m＝mv＝mr，故M＝＝＝，选项B、C正确；由v＝得r＝，故M＝ ，选项D正确。
9．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4 h，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(　　)
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D.2.9×104 kg/m3
解析：选D　近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即G＝mR；密度、质量和体积关系为M＝ρπR3，由两式解得：ρ＝≈5.60×103 kg/m3。由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ′＝5.60×103× kg/m3≈2.9×104 kg/m3，选项D正确。
10．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是(　　)
A．4年 B.6年
C．8年 D.年
解析：选C　根据开普勒第三定律：＝得：＝，即T行＝T地＝×1年＝8年，故选项C正确。
11．火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？
解析：设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。
在地球表面人受到的引力F＝G
在火星表面人受到的引力F′＝G
所以＝，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。
答案：倍
12．经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020 m)，转动一周的时间约2亿年(约等于6.3×1015 s)。太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看成集中在银河系中心来处理问题。(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
(1)从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量；
(2)试求出太阳在圆周运动轨道上的加速度。
解析：(1)设太阳轨道内侧星体的总质量为M，太阳质量为m，轨道半径为R，周期为T，太阳做圆周运动的向心力来自星体的万有引力。由牛顿第二定律得：
G＝m·R
所以M＝
＝ kg＝3.3×1041 kg。
(2)据a＝Rω2有：a＝·R
＝ m/s2＝2.8×10－10 m/s2。
答案：(1)3.3×1041 kg　(2)2.8×10－10 m/s2