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导数及其应用章末检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝xex－1在点(1,1) 处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：由y＝xex－1得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e1－1＋1×e1－1＝2.故选C.
答案：C
2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限
C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.
答案：A
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(x)＝li
＝li ＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案：C
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2.
答案：C
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，
f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.
答案：A
6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos 2x，x∈(0，π)，
∴f′(x)＝－2sin 2x.
令f′(x)>0，则sin 2x<0.
又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.
∴π<2x<2π，即答案：C
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，
f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.
答案：D
8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D．9
解析：解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．
如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积
S＝ －3(－x2)dx－ －3(2x－3)dx
＝－x3－(x2－3x)＝.
答案：B
9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
解析：对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )
A．偶函数且图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且图象关于点(，0)对称
C．奇函数且图象关于点(，0)对称
D．奇函数且图象关于点(π，0)对称
解析：∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(0)＝
f()，∴－b＝a，
∴f(x)＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝asin(x＋)，
∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asin x.
显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.
答案：D
11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，
设g(x)＝f(x)－x，
由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式?g(x)＜g(1)，故x＞1.
答案：A
12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )
解析：在[－π，π]上，
∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝(1－cos x)
(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，排除B.
取x＝，则f()＝(1－cos)sin＝1＞0，排除A.
∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin x·sin x＋(1－cos x)cos x
＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1.
令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.
结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即
f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.
答案：2
14．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
解析：因为y＝e－5x＋2，所以y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.
答案：y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0
15．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)>0，得－1又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，所以解得－1答案：(－1,0]
16．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______．
解析：设矩形的长为x，则宽为10－x(0V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3，∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0得x＝0(舍去)，x＝，且当x∈(0，)时，V′(x)>0，当x∈(，10)时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.
答案：π cm3
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解析：因为f′(3)＝li ＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×54＝54.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
解析：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．
又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即为8x＋y＋14＝0.
(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2，－1) －1 (－1，) (，1) 1
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 2 ? － ? ?
则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．
解析：(1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.
因为0所以S(t)＝ [3tx－(3x2－3x)]dx＋ [(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋
＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，则
h′(x)＝3(x＋1)2－6.
因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．
过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，
则切线方程为：y－y0＝[3(x0＋1)2－6](x－x0)，
所以
消去y0，化简整理得2x－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．
设g(x0)＝2x－6x0＋m，则g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；
当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．
因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是
即即－4故实数m的取值范围是(－4,4)．
21．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈[0，]．
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<解析：(1)证明：由f(x)＝xcos x－sin x得
f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
因为在区间(0，)上f′(x)＝－xsin x<0，所以f(x)在区间[0，]上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
(2)当x>0时，“>a”等价于“sin x－ax>0”；“令g(x)＝sin x－cx，则g′(x)＝cos x－c.
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间[0，]上单调递减．从而对
g(x)当0g(x)与g′(x)在区间(0，)上的情况如下：
x (0，x0) x0 (x0，)
g′(x) ＋ 0 －
g(x) ? ?
因为g(x)在区间[0，x0]上是增函数，所以g(x0)>g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立”当且仅当g()＝1－c≥0，即0综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0，)恒成立．
所以，若a<22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
解析：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，
f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为
f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
g(x)与g′(x)的情况如下：
x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ t＋3 ↘ t＋1 ↗
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是
g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间
(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间
(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)>0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝
f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
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时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．曲线y＝xex－1在点(1,1) 处切线的斜率等于( )
A．2e B．eC．2 D．1
2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2C．3 D．－3
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29C．－5 D．－11
6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( )
A. B.C. D.
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )
A. B. C. D．9
9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos xC．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )
A．偶函数且图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且图象关于点(，0)对称
C．奇函数且图象关于点(，0)对称
D．奇函数且图象关于点(π，0)对称
11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )
A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
14．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
15．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．
16．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______．
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈[0，]．
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
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