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2．1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
考 点 考纲要求 要求 题型
数、式中的归纳推理 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理. i'i 选择，填空
类比推理的应用 了解合情推理在数学发现中的作用. i'i 选择，填空
知识梳理
一、归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理
定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理(简称类比)
特征 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理
二、合情推理
含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
过程 ―→―→―→
典例解析
考向一 数、式中的归纳推理
[典例1] (1)若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，则通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，可推测出f(n)为( )
A. B.
C. D.
(2)观察下列等式：
13＝12，
13＋23＝32，
13＋23＋33＝62，
13＋23＋33＋43＝102，
……
照此规律，第n个等式为________．
[解析] (1)∵an＝，
∴a1＝，a2＝，a3＝.
∴f(1)＝1－a1＝＝，
f(2)＝＝＝，
f(3)＝××＝＝.
∴推测f(n)＝.
(2)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数
1→1，
1,2→3，
1,2,3→6，
1,2,3,4→10，
……
由左、右两边各项幂的底数之间的关系：
1＝1，
1＋2＝3，
1＋2＋3＝6，
1＋2＋3＋4＝10，
……
照此规律，可得第n个等式为：
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，
即13＋23＋33＋…＋n3＝2.
[答案] (1)B
(2)13＋23＋33＋…＋n3＝2
1．归纳推理的一般模式：
2．归纳推理的思维过程：
→→
3．由已知数、式进行归纳推理的方法：
(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果．
1．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
(2)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；
……
照此规律，第n个等式可为________________．
解析：(1)因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝＝.
所以猜想an＝，故应选B.
(2)观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，
故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
答案：(1)B (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
考向二 几何中的归纳推理
[典例2] 根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
[解析] 解法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4……
故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
解法二：第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；
第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；
第(4)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；
第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；
由上述的变化规律，可猜测第(n)个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．
求解几何中的归纳推理问题：
2．如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图(1)所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图(2)所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图(3)和(4)所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝．
解析：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,6＝2×3,15＝3×5,28＝4×7,45＝5×9，归纳猜想第6件首饰上的珠宝数为6×11＝66(颗)，第n件首饰上的珠宝数为n(2n－1)＝2n2－n.
答案：66 2n2－n
考向三 类比推理的应用
[典例3] 在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
[解析]如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
1．类比推理的一般模式：
A类事物具有性质a，b，c，d，
B类事物具有性质a′，b′，c′(a，b，c与a′，b′，c′相似或相同)，所以猜想：B类事物可能具有性质d′.
2．类比推理的思维过程：
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．
3．运用类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
①如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么由类比得出的结论就越可靠．
②事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互联系，相互制约的，如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么它们在另一些性质上也可能相同或相似，因而类比的结论可能是真的，类比也可能具有必然性．
③类比的结论具有偶然性，即可能真，也可能假．
3.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．
解析：如图所示，在四面体P?ABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面积，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想将射影定理类比推理到四面体中，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
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1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
答案：C
2．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
答案：B
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28 B．32
C．33 D．27
解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.
答案：B
4．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．
答案：A
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，
记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.
答案：D
6．n个连续自然数按规律排列如下表：
01234567891011…
根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→，故应选C.
答案：C
7．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
解析：观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第七个三角形数为＝28.
答案：B
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P?ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P?ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
解析：将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P?ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.
证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V.
∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，
∴r＝.
答案：C
9．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
10．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．
解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2.
答案：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2
11．在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．
解析：根据平面几何与立体几何中的类比规律，边类比成面，三角形类比成四面体，所以正三角形类比成正四面体．故类比猜想在空间中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．
答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
12．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量②，
请你写出类似于①的式子：___________________________________________，
②式可以用语言叙述为：_______________________________________________.
解析：半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，则(πR3)′＝4πR2.
答案：(πR3)′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
13．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，∴第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)．
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)
14．设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案：
15．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an＝.
16．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，
2cos＝，
2cos＝ ，
2cos＝ ，
……
证明：2cos＝2·＝，
2cos＝2＝2＝ ，
2cos＝2＝2
＝
…
观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos＝
17．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？
解析：点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．
18．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
解析：根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3)．
∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)．
18..如图，设有双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
(2)若∠F1MF2＝60°，
△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
解析：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)．
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，
即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，所以r1r2＝36.
求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.
同理可求得若∠F1MF2＝120°，
S△F1MF2＝3.
(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝r1·r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理，有
②－①得r1·r2＝，
所以S△F1MF2＝
＝，
因为0<θ<π，0<<，
在(0，)内，tan 是增函数．
因此当θ增大时，S△F1MF2＝将减小.
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2．1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
考 点 考纲要求 要求 题型
数、式中的归纳推理 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理. i'i 选择，填空
类比推理的应用 了解合情推理在数学发现中的作用. i'i 选择，填空
知识梳理
一、归纳推理和类比推理
归纳推理 类比推理
定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理(简称类比)
特征 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理
二、合情推理
含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
过程 ―→―→―→
典例解析
考向一 数、式中的归纳推理
[典例1] (1)若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，则通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，可推测出f(n)为( )
A. B. C. D.
(2)观察下列等式：
13＝12，
13＋23＝32，
13＋23＋33＝62，
13＋23＋33＋43＝102，
……
照此规律，第n个等式为________．
1．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
(2)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1；
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；
……
照此规律，第n个等式可为________________．
考向二 几何中的归纳推理
[典例2] 根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
2．如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图(1)所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图(2)所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图(3)和(4)所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n件首饰上应有________颗珠宝．
考向三 类比推理的应用
[典例3] 在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
3.如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a、b、c依次为角A、B、C的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．
过关检测
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2
2．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28 B．32C．33 D．27
4．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )
A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，
记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)
6．n个连续自然数按规律排列如下表：
01234567891011…
根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓
7．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第七个三角形数是( )
A．27 B．28C．29 D．30
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P?ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P?ABC的体积为V，则r＝( )
A. B.
C. D.
9．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．
10．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．
11．在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有________．
12．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量②，
请你写出类似于①的式子：___________________________________________，
②式可以用语言叙述为：_______________________________________________.
13．观察下列等式：
12＝1；
12－22＝－3；
12－22＋32＝6；
12－22＋32－42＝－10；
……
照此规律，第n个等式可为________．
14．设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
15．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
16．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，
2cos＝，
2cos＝ ，
2cos＝ ，
……
17．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？
18．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
18..如图，设有双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
(2)若∠F1MF2＝60°，
△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积又是多少？
(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．
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