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2.1.2 演绎推理
考 点 考纲要求 要求 题型
用“三段论”表述演绎推理 .1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. i 选择，填空
演绎推理在代数问题中的应用 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. ii 选择，填空，解答题
知识梳理
一、演绎推理
定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特征 由一般到特殊的推理
二、三段论
一般模式 常用格式
大前提 已知的一般原理 M是P
小前提 所研究的特殊情况 S是M
结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是P
典例解析
考向一 用“三段论”表述演绎推理
[典例1] 把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
[解析] (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan α是三角函数，小前提
y＝tan α是周期函数．结论
用“三段论”表述演绎推理：
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可以省略小前提，有时甚至也可以把大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件．
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
解析：(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形的对角线互相平分．结论
(2)等腰三角形两底角相等，大前提
∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提
∠A＝∠B.结论
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an} 为等差数列．结论
考向二 用“三段论”证明几何问题
[典例2] 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
[证明] (1)连接AC.(图略)
(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，大前提
△ABC和△CDA的三边对应相等，小前提
则这两个三角形全等．结论
符号表示为：?△ABC≌△CDA.
(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，大前提
△ABC和△CDA全等，小前提
则它们的对应角相等，结论
用符号表示为：△ABC≌△CDA?∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，大前提
直线AB、DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，小前提(已证)
则AB∥DC.结论
同理有：BC∥AD.
(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，大前提
四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提
则四边形ABCD是平行四边形．结论
用符号表示为：AB∥DC且AD∥BC?四边形ABCD为平行四边形．
1．用三段论证明命题的步骤：
(1)理清楚证明命题的一般思路．
(2)找出每一个结论得出的原因．
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．三段论中的三个判断：
三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论．
第一个判断是提供性质的一般判断，叫作大前提，通常是已知的公理、定理、定义等；
第二个判断是和大前提有联系的特殊情况，叫作小前提，通常是已知条件或前面证明过程中推理的第三个判断；
第三个判断为结论．
在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式．
2.如图，△ABC中 ，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA.求证ED＝AF，写出“三段论”形式的演绎推理．
证明：因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
考向三 演绎推理在代数问题中的应用
[典例3] 设f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间；
(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．
[解析] (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin(2×＋φ)＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin(2x－)．
由题意，得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数y＝sin(2x－)的单调递增区间为
[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(3)证明：∵|y′|＝|[sin(2x－)]′|
＝|2cos(2x－)|≤2，
∴曲线y＝f(x)的切线斜率取值范围为[－2,2]．
而直线5x－2y＋c＝0的斜率为＞2，
∴直线5x－2y＋c＝0与函数y＝sin(2x－)的图象不相切．
怎样用“三段论”解答代数问题？
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图象与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明．
3．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值，写出
g(a)的表达式．
解析：f(x)＝(x－a)的定义域为[0，＋∞)．
(1)f′(x)＝()′(x－a)＋(x－a)′＝.
当a≤0时，
∵x≥0，∴f′(x)≥0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上递增．
当a>0时，
当x∈(0，)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，)上递减．
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(，＋∞)上递增．
综上得，当a≤0时，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)①当a≤0时，f(x)在[0,2]上递增，
∴g(a)＝0.
②当0<≤2，即0
f(x)在[0，]上递减，在[，2]上递增，
所以g(a)＝(－a)·
＝－ ＝－.
③当>2，即a>6时，f(x)在[0,2]上递减，
∴g(a)＝f(2)＝(2－a)．
综上：g(a)＝.
过关检测
1．演绎推理中的“一般性原理”包括( )
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”、“定义、定理、公理等”．
答案：A
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
解析：A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．
答案：A
3．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是( )
A．实数分为有理数和无理数
B．无理数是无限不循环小数
C．无限不循环小数都是无理数
D．有理数都是有限循环小数
解析：由三段论的知识可知，其大前提是：无限不循环小数都是无理数．
答案：C
4．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①②
解析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
答案：B
5．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．
答案：A
6．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：推理形式不符合三段论推理的形式．三段论的形式是：M是P，S是M，则S是P，而上面的推理形式则是：M是P，S是P，则S是M.故选C.
答案：C
7．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
8．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
答案：D
9．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
答案：C
10．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市．
丙说：我们三个去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
11．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.
解析：令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)②
由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)，
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)，
∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期为6，
∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)，
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)，
∴f(0)＝即，f(2 010)＝.
答案：
12．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：题中推理的依据是勾股定理的逆定理．
答案：一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．
7．以下推理中，错误的序号为________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
解析：当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
答案：①
13．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
14．判断下列几个推理是否正确？为什么？
(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
解析：(1)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．
(2)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．
15..如图所示，从A地出发到河边饮完马再到B地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？
解析：如图，先作点A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明如下：
如图所示，在MN上任取一点P′(异于点P)，连接AP′、A′P′、BP′，则AP′＝P′A′，AP＝PA′，从而AP′＋P′B＝A′P′＋P′B＞A′P＋PB＝AP＋PB.由此可知：A到B经P点距离最短．
16．计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果的输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到.
②从A输入整数n(n≥2)时，在B得到的结果f(n)是将前一结果f(n－1)先乘奇数2n－3，再除以奇数2n＋1.
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)；
(2)由(1)推测出f(n)的表达式，并给出证明．
解析：(1)由题设条件知，f(1)＝，f(n)＝f(n－1)，
∴当n＝2时，f(2)＝×＝；
当n＝3时，f(3)＝×＝；
当n＝4时，f(4)＝×＝.
(2)猜想f(n)＝.
∵＝，
∴f(n)＝··…··f(1)
＝···…····＝.
17..(2014·高考江西卷)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.
证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
证明：(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，
直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2，
因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上．
(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.
故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
分别令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐标为
N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，
则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
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2.1.2 演绎推理
考 点 考纲要求 要求 题型
用“三段论”表述演绎推理 .1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. i 选择，填空
演绎推理在代数问题中的应用 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. ii 选择，填空，解答题
知识梳理
一、演绎推理
定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特征 由一般到特殊的推理
二、三段论
一般模式 常用格式
大前提 已知的一般原理 M是P
小前提 所研究的特殊情况 S是M
结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是P
典例解析
考向一 用“三段论”表述演绎推理
[典例1] 把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
考向二 用“三段论”证明几何问题
[典例2] 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．
2.如图，△ABC中 ，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA.求证ED＝AF，写出“三段论”形式的演绎推理．
考向三 演绎推理在代数问题中的应用
[典例3] 设f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求y＝f(x)的单调递增区间；
(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．
3．已知a是实数，函数f(x)＝(x－a)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值，写出
g(a)的表达式．
过关检测
1．演绎推理中的“一般性原理”包括( )
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
3．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是( )
A．实数分为有理数和无理数
B．无理数是无限不循环小数
C．无限不循环小数都是无理数
D．有理数都是有限循环小数
4．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①②
5．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
6．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”．结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
7．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
8．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
9．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
10．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市．
丙说：我们三个去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
11．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.
12．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
7．以下推理中，错误的序号为________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
13．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
14．判断下列几个推理是否正确？为什么？
(1)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”
(2)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”
15..如图所示，从A地出发到河边饮完马再到B地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？
16．计算机装置有一个数据输入口A和一个运算结果的输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到.
②从A输入整数n(n≥2)时，在B得到的结果f(n)是将前一结果f(n－1)先乘奇数2n－3，再除以奇数2n＋1.
(1)求出f(2)，f(3)，f(4)；
(2)由(1)推测出f(n)的表达式，并给出证明．
17..(2014·高考江西卷)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.
证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
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