2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(解析版)

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3a2＝a6 B．（﹣3a2）3＝﹣27a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．2a+3a＝5a2
3．（3分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+2顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
5．（3分）如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）

A． B．
C． D．
6．（3分）方程解是（ ）
A． B．x＝4 C．x＝3 D．x＝﹣4
7．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（ ）

A．3 B．4 C．3 D．4
8．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．（3分）已知A、B两地相距4km，上午8：00时，亮亮从A地步行到B地，8：20时芳芳从B地出发骑自行车到A地，亮亮和芳芳两人离A地的距离S（km）与亮亮所用时间t（min）之间的函数关系如图所示，芳芳到达A地时间为（ ）

A．8：30 B．8：35 C．8：40 D．8：45
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）将0.00000516用科学记数法表示为 ．
12．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）代数式a2b﹣2ab+b分解因式为 ．
14．（3分）计算﹣9的结果是 ．
15．（3分）反比例函数过点A（m，2），则m的值是 ．
16．（3分）不等式组的解集是 ．
17．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是 ．

18．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为 ．
19．（3分）在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝ ．
20．（3分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长 ．

三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题10分）
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝tan60°．
22．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在格点上．
（1）在方格纸中画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在格点上，且三角形ABC的面积为．
（2）在方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为3，连接CE，请直接写出线段CE的长．

23．（8分）某学校为了增强学生体质，决定开放以下球类活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．排球、D．足球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图①，图②），请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有多少人？
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生1900人，请你估计该校喜欢D项目的人数．

24．（8分）在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点，
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段．

25．（10分）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生用电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．
（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？
（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？
26．（10分）如图：AD是正△ABC的高，O是AD上一点，⊙O经过点D，分别交AB、AC于E、F
（1）求∠EDF的度数；
（2）若AD＝6，求△AEF的周长；
（3）设EF、AD相较于N，若AE＝3，EF＝7，求DN的长．

27．（10分）如图，二次函数y＝ax2﹣4ax（a≠0）的图象与直线y＝kx+3交于点A（﹣1，）、点C两点．
（1）求a，k的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t，连接PC、PA，设△PCA的面积为S，求S关于t的函数关系式：（直接写出t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，作CE⊥x轴于E，点P直线y＝kx+3下方时，连接OP、BC交于D，连接ED，当∠ODE＝90°时，求t和S的值．


2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市松北区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：C．
2．【解答】解：A、a3a2＝a5，错误；
B、（﹣3a2）3＝﹣27a6，正确；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；
D、2a+3a＝5a，错误；
故选：B．
3．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
5．【解答】解：从正面看可得到左边第一竖列为3个正方形，第二竖列为1个正方形，第三竖列为1个正方形，第四竖列为2个正方形，
故选：D．
6．【解答】解：两边都乘以（x﹣1）（x+2），得：2（x﹣1）＝x+2，
解得：x＝4，
检验：x＝4时，（x﹣1）（x+2）＝3×6＝18≠0，
∴原分式方程的解为x＝4，
故选：B．
7．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3
故选：C．

8．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，
∴sinA＝＝，
故选：B．
9．【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，
∴，，，
A，B，D正确，
故选：C．
10．【解答】解：由题意可知：
设亮亮S与t的函数关系式为：S＝mt（0≤t≤60），
把t＝60，S＝4代入S＝mt，
∴4＝60m，
∴m＝，
∴S＝t，
当S＝2时，
此时t＝30，
设芳芳S与t的函数关系式为：S＝at+b（t≥20），
把t＝30，S＝2和t＝20，S＝4代入S＝at+b，
，
解得：，
∴S＝﹣t+8，
令S＝0代入S＝﹣t+8，
∴t＝40，
故芳芳到达A地的时间为8点40分
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．【解答】解：0.00000516＝5.6×10﹣6．
故答案为：5.6×10﹣6．
12．【解答】解：函数y＝中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1，
故答案为：x≠1．
13．【解答】解：a2b﹣2ab+b
＝b（a2﹣2a+1）
＝b（a﹣1）2．
故答案为：b（a﹣1）2．
14．【解答】解：原式＝2﹣9×
＝2﹣3
＝﹣．
故答案为：﹣．
15．【解答】解：∵反比例函数过点A（m，2），
∴代入得：2＝﹣，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．【解答】解：解不等式x﹣1≥0得：x≥1，
解不等式2x﹣5＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
17．【解答】解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对，
∴∠AOC＝2∠ABC，又∠ABC＝25°，
则∠AOC＝50°．
故答案为：50°．
18．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x＝1，
则，解方程组可得．
故答案为：﹣2．
19．【解答】解：①如图1，在?ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝4，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，
∴AB＝7；
②如图2，在?ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝4，
∴BC＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为7或3．
故答案为：7或3．


20．【解答】解：连接AE，过点A作AH⊥BC于H点，在Rt△ABH中，
∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．
利用勾股定理可得BH＝3，
根据等腰三角形性质可知CH＝BH＝3，BC＝6．
∴CE＝BC＝2．
∴HE＝CH﹣CE＝．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．
所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，
所以∠AEB＝60°＝∠ADC．
∴点A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．
∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．
过点A作AM⊥DE于M点，
则AM＝AE＝．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，
∴AD＝2AM＝．
故答案为2．

三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题10分）
21．【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝tan60°＝时，原式＝．
22．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；

（2）如图所示：菱形ABDE即为所求，
EC＝．

23．【解答】解：（1）根据题意得：20÷＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；

（2）喜欢排球的人数是：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），补全图形如图所示：


（3）1900×＝380，
答：该校喜欢D项目的人数约为380人．
24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，AD∥BC
∴∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；

（2）∵△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BF，
∴与DE相等的所有线段为：BE，EF，BF，DF．
25．【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，
依题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意．
答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元；

（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m﹣90）台，
依题意得：0.19m+0.3×（m﹣90）≤438，
解得m≤1860．
所以m﹣90＝×1860﹣90＝282（台）．
答：至多能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台．
26．【解答】解：（1）如图1中，作OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，连接OE，OF．

∵AD是正△ABC的高，
∴∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵OI⊥AB于I，OJ⊥AC于J，
∴∠AIO＝∠AJO＝90°，
∴∠IOJ＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝120°，OI＝OJ，
∵OE＝OF，
∴Rt△OIE≌△Rt△OJF（HL），
∴∠IOE＝∠JOF，
∴∠EOF＝∠EOJ+∠FOJ＝∠EOJ+∠IOE＝∠IOJ＝120°，
∴∠EDF＝∠EOF＝60°．

（2）如图1中，作DK⊥AB于K，DL⊥AC于L，DM⊥EF于M，连接FG．

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B＝60°，BD＝CD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠B，
∵∠EDC＝∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，
∴∠BED＝∠CDF，
∵GD是圆O的直径，
∴∠ADC＝90°，∠GFD＝90°，
∴∠FGD+∠FDG＝90°，∠FDC+∠FDG＝90°，
∴∠FDC＝∠FGD＝∠DEF，
∵DK⊥EB，DM⊥EF，
∴∠EKD＝∠EMD＝90°，DK＝DM，
∴Rt△DEK≌Rt△DEM（HL），
∴∴EK＝EM，
同法可证：DK＝DL，
∴DM＝CL，
∵DM⊥FE，DL⊥FC，
∴∠FMD＝∠FLD＝90°，
∴Rt△DFM≌Rt△DFL（HL），
∴FM＝FL，
∵AD＝AD，DK＝DF，
∴Rt△ADK≌Rt△ADL（HL），
∴AK＝AL，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EK+AF+FL＝2AL，
∵AD＝6，
∴AL＝AD?cos30°＝9，
∴△AEF的周长＝18．

（3）如图3中，作FP⊥AB于P，作EM⊥AC于M，作NQ⊥AB于Q，DL⊥AC于L．

在Rt△AEM中，∵AE＝3，∠EAM＝60°，
∴AM＝AE＝，EM＝，
在Rt△EFM中，EF＝＝＝，
∴AF＝AM+MF＝8，
∵△AEF的周长＝18，
由（2）可知2AL＝18，
∴AJ＝9，AD＝＝6，
∴AP＝AF＝4，FP＝4，
∵NQ∥FP，
∵△EQN∽△EPF，
∴＝＝，
∵∠BAD＝30°，
∴AQ＝√3NQ，设EQ＝x，则QN＝4x，AQ＝12x，
∴AE＝11x＝3，
∴x＝，
∴AN＝2NQ＝，
∴DN＝AD﹣AN＝．
27．【解答】解：（1）把点A坐标代入直线表达式得：﹣k+3＝，解得：k＝，
把点A坐标代入二次函数表达式得：a+4a＝，解得：a＝，
则函数的表达式为：y＝x2﹣2x，则点B的坐标为（4，0）；
（2）当点P在直线AC上方时，
过点P作y轴的平行线交直线AC于点H，

设：点P坐标为（t，t2﹣2t），点H坐标为（t，t+3），
则：PH＝t2﹣2t﹣（t+3）＝t2﹣﹣3，
S△PCA＝S△APH﹣S△PHC＝PH（t+1﹣t+6）＝PH＝t2﹣t﹣，（t＞6），
同理，当点P在直线AC下方时（在点B的右侧），
S△PCA＝﹣t2+t+，（4＜t≤6），
故：S关于t的函数关系式为：S＝
（3）过点D作x轴的平行线，交y轴于点N，交直线CE与点M，
当∠ODE＝90°时，则：∠NDO＝∠DEM＝α，

点B、E的坐标分别为：（4，0）、（6，0），
则BE＝2，tan∠CBE＝＝3，
设：DM＝m，
则：CM＝DM?tan∠CBE＝3m，EM＝6﹣3m＝ON，DN＝6﹣m，
tan∠NDO＝tan∠DEM，
即：，，
化简得：5m2﹣21m+18＝0，
解得：m＝或3（舍去m＝3），
则：ON＝，DN＝，tan∠NOB＝＝，
即：OP直线表达式的k值为，
点P坐标为（t，t2﹣2t），
则：，
解得：t＝5或0（舍去t＝0），
把t＝5代入S关于t的函数关系式（点P在直线AC下方）得：s＝，
答：t＝5，S＝．