2018-2019学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷

2018-2019学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合P＝{x∈N|1≤x≤10}，集合Q＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，则P∩Q＝（　　）
A．{1，2，3} B．{2，3} C．{1，2} D．{2}
2．（5分）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）为了求函数f（x）＝2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
f（x）
﹣0.8716
﹣0.5788
﹣0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程2x+3x＝7的近似解（精确到0.1）可取为（　　）
A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3
4．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．第一象限角一定不是负角
B．﹣831°是第四象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．终边与始边均相同的角一定相等
5．（5分）如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），我们把叫做α的正割，记作secα；把叫做α的余割，记作cscα．则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．（5分）若asinθ+cosθ＝1，bsinθ﹣cosθ＝1，则ab的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．
7．（5分）如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，?的值（　　）
A．只与圆C的半径有关
B．只与弦AB的长度有关
C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关
D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值
8．（5分）设＜＜＜1，那么（　　）
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数f（x）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则下列结论中不正确的是（　　）
A．
B．是f（x）图象的一个对称中心
C．f（φ）＝﹣2
D．是f（x）图象的一条对称轴
10．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x）；
②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；
③函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称
则下列结论中正确的是（　　）
A．f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）
B．f （7）＜f （4.5）＜f （6.5）
C．f （7）＜f （6.5）＜f （4.5）
D．f （4.5）＜f （6.5）＜f （7）
11．（5分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（0，1）∪（1，2）
C． D．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2），若对任意x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣] B．[﹣] C．[﹣] D．[﹣]
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝　 　．
14．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝1，且（﹣）⊥（+），则与的夹角θ为　 　．
15．（5分）设定义在[﹣2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1﹣m）＜（m），则实数m的取值范围是　 　．
16．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若＝+（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）计算与化简：
（Ⅰ）2×（×）6+（）﹣4×（）﹣×80.25+（﹣1024）0；
（Ⅱ）log2.56.25+1g+ln（e）+log2（log216）；
（Ⅲ）．
18．（12分）已知函数 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求f（x）的解析式和周期．
（2）当 时，求f（x）的值域．
19．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）＝．
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
20．（12分）如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角θ取何值时的值最大？并求出这个最大值．
21．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．
22．（10分）已知函数h（x）＝（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g（x）＝h（x）+在x∈[0，]的值域．

2018-2019学年湖北省襄阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵P＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合Q＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}＝{2，﹣3}，
∴P∩Q＝{2}，
故选：D．
2．【解答】解：设扇形的圆心角为α，则
∵扇形的面积为、半径为1，
∴＝α?12，
∴α＝，
故选：B．
3．【解答】解：由图表可知，函数f（x）＝2x+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，
故方程2x+3x＝7的近似解也介于1.375到1.4375之间，
由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意，
故选：C．
4．【解答】解：例如﹣390°是第一象限的角，它是负角，所以A不正确；
﹣831°＝﹣3×360°+249°所以﹣831°是第三象限角，所以B不正确；
钝角一定是第二象限角，正确；
终边与始边均相同的角一定相等，不正确，因为终边相同，角的差值是360°的整数倍．
故选：C．
5．【解答】解：由题意可得secα＝，cscα＝，
∴＝＝tan＝﹣tan＝﹣，
故选：B．
6．【解答】解：∵asinθ+cosθ＝1，bsinθ﹣cosθ＝1，
∴a＝，b＝，
∴ab＝?＝＝1，
故选：B．
7．【解答】解：设与的夹角为A，
∴?＝||cosA═||＝||2，
∴?的值只与弦AB的长度有关，
故选：B．
8．【解答】解：∵＜＜＜1且y＝（）x在R上是减函数．
∴0＜a＜b＜1
∴指数函数y＝ax在R上是减函数
∴ab＜aa
∴幂函数y＝xa在R上是增函数
∴aa＜ba
∴ab＜aa＜ba
故选：C．
9．【解答】解：由题意可知，
故，
．
故选：C．
10．【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：
由①对于任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x），可知函数f（x）是周期T＝4的周期函数；
②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），可得函数f（x）在[0，2]上单调递增；
③函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，可得函数f（x）的图象关于直线x＝2对称．
∴f（4.5）＝f（0.5），f（7）＝f（3）＝f（1），f（6.5）＝f（2.5）＝f（1.5）．
∵f（0.5）＜f（1）＜f（1.5），
∴f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）．
故选：A．
11．【解答】解：已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，
则f（x）＝logax，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝（logax）2+（loga2﹣1）logax．
当a＞1时，
若y＝g（x）在区间上是增函数，y＝logax为增函数，
令t＝logax，t∈[，loga2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若y＝g（x）在区间上是增函数，y＝logax为减函数，
令t＝logax，t∈[loga2，]，要求对称轴，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故选：D．
12．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝（|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2）
∴当0＜x≤a2时，f（x）＝（a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2）＝（﹣2x）＝﹣x；
当a2＜x≤3a2时，f（x）＝（x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2）＝（﹣2a2）＝﹣a2．
当x＞3a2时，f（x）＝（x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2）＝（2x﹣8a2）＝x﹣4a2，
即f（x）＝，
画出其图象如下，
要使对任意x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1），
则将f（x）向右平移一个单位得到的f（x﹣1）的图象，
将f（x）向左平移一个单位得到的f（x+1）的图象，
此时f（x﹣1）的图象都在f（x+1）的图象的下方，
此时只需要A点在B点的左侧即可，
A点的横坐标为4a2﹣1，B点的横坐标为﹣4a2+1，
即4a2﹣1≤﹣4a2+1，
即8a2≤2，即a2≤，
得≤a≤，
即实数a的取值范围是[﹣]，
故选：C．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．【解答】解：∵g（x）＝，
∴g（）＝ln＝﹣ln2＜0，
∴g（g（））＝g（﹣ln2）
＝e﹣ln2
＝
＝2﹣1
＝．
故答案为：．
14．【解答】解：由题意可得（﹣）?（+）＝﹣﹣＝4﹣﹣＝0，
解得?＝1，∴2×1×cosθ＝1，∴cosθ＝，求得θ＝，
故答案为：．
15．【解答】解：∵函数是偶函数，
∴f（1﹣m）＝f（|1﹣m|），
f（m）＝f（|m|），
∵定义在[﹣2，2]上的偶函数
f（x）在区间[0，2]上单调递减，
f（1﹣m）＜f（m），
∴0≤|m|＜|1﹣m|≤2，
得﹣1≤m＜．
故答案为：﹣1≤m＜．
16．【解答】解：因为点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ取最大值1，
当P与G重合时，λ+μ最小，此时，＝＝，
所以，所以，
故，
故答案为：（，1）
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解答】解：（Ⅰ）2×（×）6+（）﹣4×（）﹣×80.25+（﹣1024）0
＝
＝2×22×33+2﹣7﹣2+1
＝210；
（Ⅱ）log2.56.25+1g+ln（e）+log2（log216）
＝
＝
＝；
（Ⅲ）
＝．
18．【解答】解：（1）由题意可得T＝＝2×，∴ω＝2．
根据图象上一个最低点为，可得A＝2，2sin（2?+φ）＝﹣2，0＜φ＜，
可得φ＝，∴f（x）＝2sin（2x+），故它的周期为＝π．
（2）当 时，2x+∈[，]，故当2x+＝时，函数取得最小值为﹣1；
当2x+＝时，函数取得最大值为2，故函数的值域为[﹣1，2]．
19．【解答】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2．
此时f（x）＝44.21sin（x）+0.21．
当x＝时，即x＝时，函数f（x）取得最大值为ymax＝44.21+0.21＝44.42，
故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x＞2，
由54.27e﹣0.3x+10.18＜20，得e﹣0.3x＜，
两边取自然对数得lne﹣0.3x＜ln，
即﹣0.3x＜ln9.82﹣ln54.27，
∴x＞＝5.7，
故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．
20．【解答】解：如下图所示：
解法一：∵，∴．
∵，
∴
＝
＝
＝﹣
＝﹣a2+a2cosθ．
故当cosθ＝1，即θ＝0（与方向相同）时，最大．其最大值为0．
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|＝c|AC|＝b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|＝2a，|BC|＝a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（﹣x，﹣y）．
∴，
．
∴
＝﹣（x2+y2）+cx﹣by．
∵cosθ＝．
∴cx﹣by＝a2cosθ．
∴．
故当cosθ＝1，
即θ＝0（与方向相同）时，
最大，其最大值为0．
21．【解答】解：（1）当x∈[﹣2，0）时，
g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]＝x2+2x
g（x）＝
（2）设1≤a＜b≤2，
∵g（x）在x∈[1，2]上递减，
∴
整理得，
解得．
∴g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]．
（3）∵g（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，其中a≠b，a、b≠0，
∴，
∴a、b同号．只考虑0＜a＜b≤2或﹣2≤a＜b＜0
当0＜a＜b≤2时，根据g（x）的图象知，g（x）最大值为1，≤1，a∈[1，2），
∴1≤a＜b≤2，
由（Ⅱ）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；
当﹣2≤a＜b＜0时间，g（x）最小值为﹣1，≥﹣1，b∈（﹣2，﹣1]，
∴﹣2≤a＜b≤﹣1，
同理知g（x）在[﹣2，﹣1]内的“倒域区间”为[，﹣1]．
h（x）＝
依题意：抛物线与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程x2+m＝﹣x2+2x，
在[1，]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝x2+2x，在[，﹣1]内恰有一个实数
由方程2x﹣2x2＝m在[1，]内恰有一根知﹣2≤m≤0；
由方程x2+m＝x2+2x在[，﹣1]内恰有一根知﹣1﹣≤m≤﹣2，
综上：m＝﹣2．
22．【解答】解：（1）∵函数h（x）＝（m2﹣5m+1）xm+1为幂函数，
∴m2﹣5m+1＝1，
∴m＝5或m＝0，
当m＝5时，h（x）＝x6是偶函数，不满足题意，
当m＝0时，h（x）＝x是奇函数，满足题意；
∴m＝0，
（2）∵g（x）＝x+，
∴g′（x）＝1﹣，
令g′（x）＝0，解得x＝0，
当g′（x）＜0时，即x＞0时，函数为减函数，
∴函数g（x）在[0，]为减函数，
∴g（）≤g（x）≤g（0）
即≤g（x）≤1
故函数g（x）的值域为[，1]