2018-2019学年江苏省南通市如皋市、盐城市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案直接填写在答题卡相应位置上
1.(5分)已知复数z满足z?i=1+i(其中i是虚数单位),则z= .
2.(5分)过抛物线y2=4x的焦点且与对称轴垂直的弦长为 .
3.(5分)命题“?x>0,x2+3x+1>0“的否定为 .
4.(5分)点P(2,0)到双曲线﹣=1的渐近线的距离为 .
5.(5分)已知命题p为真命题,命题q为假命题,则在下列命题中:①¬q;②p∧q;③p∨q是真命题的有 个.
6.(5分)函数f(x)=的定义域为 .
7.(5分)函数f(x)=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为 .
8.(5分)已知直线a,b和平面α满足:①a∥b,②a⊥α,③b⊥α,若从其中选出两个作为条件,余下一个作为结论,可以得到 个真命题.
9.(5分)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是四条棱AB,BC,CD,DA上的中点,则四棱锥A1﹣EFGH体积为 .
10.(5分)平面几何中,有“边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值”,类比上述命题,棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 .
11.(5分)已知抛物线y2=16x上任意一点到双曲线=1右焦点的距离比到左准线的距离大1,则a2= .
12.(5分)已知圆x2+y2=4,过点P(1,1)的直线与圆交于A,B两点且AP=2PB,则弦AB的长为 .
13.(5分)已知函数f(x)=|x2﹣2x|在[0,m]上值域为[0,m],则实数m的值为 .
14.(5分)已知椭圆+=1的右焦点为F,A为椭圆在第一象限内的点,连接AF并延长交椭圆于点B,连接AO(O为坐原点)并延长交椭圆于点C,若S△ABC=3,则点A的坐标为 .
二、解答题:本大题共6小题,计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15.(14分)设f(x)=x2﹣2ax+1,a∈R.
(1)若a>0,解关于x的不等式:f(x)<3a2+1;
(2)若?x∈[﹣1,1],都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
16.(14分)如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,点M,N分别是AB,A1B1的中点.
(1)求证:BN∥平面A1MC;
(2)若A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C.
17.(14分)如图,已知圆O:x2+y2=1,过M(﹣2,0)的直线l与圆交于P,Q两点,点A(﹣1,0).
(1)若点O到直线l的距离为,求直线l的方程;
(2)若PA=,求S△MOQ.
18.(16分)某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传,设计方案如下:用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状,其中正方形ABCD的中心在展板圆心,正方形内部用宣传画装饰,若铜条价格为10元/米,宣传画价格为20元/平方米,展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和.
(1)设∠OPA=α,将展板所需总费用表示成α的函数;
(2)若班级预算为100元,试问上述设计方案是否会超出班级预算?
19.(16分)已知A,B分别为椭圆C:=1(a>b>0)右顶点和上顶点,且直线AB的斜率为﹣,右焦点F到直线AB的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(m>1)与椭圆交于M,N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1,求实数k的取值范围.
20.(16分)已知函数f(x)=x3+3|x﹣a|(a∈R),x∈[﹣2,2].
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调减区间;
(2)求函数y=f(x)的最大值.
2018-2019学年江苏省南通市如皋市、盐城市高二(上)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案直接填写在答题卡相应位置上
1.【解答】解:由z?i=1+i,
得.
故答案为:1﹣i.
2.【解答】解:抛物线y2=4x的焦点(1,0),
可得:y2=4,解得y=±2.
可得:对称轴垂直的弦长为:4.
故答案为:4.
3.【解答】解:∵命题“?x>0,x2+3x+1>0”,
∴命题“?x>0,x2+3x+1>0”的否定为:?x∈R,x2+3x+1≤0.
故答案为:?x∈R,x2+3x+1≤0.
4.【解答】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0,
则点(2,0)到4x﹣3y=0的距离d==,
故答案为:
5.【解答】解:若命题p为真命题,命题q为假命题,
则¬q是真命题,p∧q是假命题,p∨q是真命题,
则真命题的是①③,有2个,
故答案为:2
6.【解答】解:要使函数有意义,则,
即,即x>2且x≠3,
即函数的定义域为{x|x>2且x≠3},
故答案为:{x|x>2且x≠3}
7.【解答】解:函数f(x)=ex+2x的导数为f′(x)=ex+2,
可得f(x)的图象在点(0,1)处的切线斜率为k=e0+2=3,
即有图象在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.
故答案为:y=3x+1.
8.【解答】解:构成的命题有①②?③,①③?②,②③?①,
若a∥b,a⊥α,则b⊥α成立,即①②?③是真命题,
若a∥b,b⊥α,则a⊥α成立,即①③?②是真命题
若a⊥α,b⊥α,则a∥b成立,即②③?①是真命题,
故可以得到3个真命题,
故答案为:3
9.【解答】解:∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
E,F,G,H分别是四条棱AB,BC,CD,DA上的中点,
∴EFGH是边长为的正方形,
点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,
∴四棱锥A1﹣EFGH体积为:
V=
=
=.
故答案为:.
10.【解答】解:类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,
在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和,
如图:
由棱长为a可以得到BF=,BO=AO=a﹣OE,
在直角三角形中,根据勾股定理可以得到
BO2=BE2+OE2,
把数据代入得到OE=a,
∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=.
故答案为:.
11.【解答】解:抛物线y2=16x中,p=8,焦点为F(4,0),准线方程为x=﹣4;
由题意知双曲线=1的右焦点为F(4,0),左准线方程为x=﹣3,
∴c=4,且﹣=﹣3,
解得a2=12.
故答案为:12.
12.【解答】解:如图:取AB的中点M,则由AP=2PB可得MP=AB,MP=AB,
在直角三角形OMB中有:OB2﹣MB2=OM2,即4﹣AB2=OM2,①
在直角三角形OMP中有:OP2﹣MP2=OM2,即2﹣AB2=OM2②
联立①②解得AB=3,
故答案为:3.
13.【解答】解:f(x)=,
∵f(0)=0,
∴函数f(x)的最大值为m,
若0<m≤1,此时函数的为增函数,
则f(m)=﹣m2+2m=m,得m2=m,得m=1,
若m>2,
∵当0≤x≤2时,函数的f(x)=﹣x2+2x的最大值为f(1)=1,
∴此时f(m)=m2﹣2m=m,得m2=3m,得m=3,
综上m=1或m=3,
故答案为:1或3
14.【解答】解:由题意可得F(1,0),设AB的方程为x=my+1,
联立椭圆方程可得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得y1+y2=﹣,y1y2=﹣,
|y1﹣y2|2=(y1+y2)2﹣4y1y2=+,
由O为AC的中点,且△ABC的面积为3,
可得△ABO的面积为,
S△ABO=S△AOF+S△BOF=?|OF|?|y1﹣y2|=,
即有|y1﹣y2|=3,
可得+=9,
化为9m4+m2=0,即m=0,
则AB⊥x轴,可得A(1,),
故答案为:(1,).
二、解答题:本大题共6小题,计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
15.【解答】解:(1)∵a>0
∴﹣a<3a…(2分)
解f(x)=x2﹣2ax+1=3a2+1得:
x=﹣a,或x=3a…(4分)
∴不等式f(x)<3a2+1的解集为(﹣a,3a)…(6分)
(2)当a≤﹣1时,f(x)在[﹣1,1]上单调递增,
若f(x)≥0恒成立,
∴f(﹣1)=2+2a≥0,
解得:a≥﹣1
∴a=﹣1…(8分)
当﹣1<a<1时,△=4a2﹣4<0
f(x)≥0恒成立,
∴﹣1<a<1…(10分)
当a≥1时,f(x)在[﹣1,1]上单调递减,
若f(x)≥0恒成立,
∴f(1)=2﹣2a≥0,
解得:a≤1
∴a=1…(12分)
综上:a∈[﹣1,1]…(14分)
注:第一问不写成解集扣(1分)
16.【解答】证明:(1)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1,
又点M,N分别是AB、A1B1的中点,所以MB=A1N,且MB∥A1N.
所以四边形A1NBM是平行四边形,从而A1M∥BN.
又BN?平面A1MC,A1M?平面A1MC,所以BN∥平面A1MC;
(2)因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥底面ABC,而AA1?侧面ABB1A1,
所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.
又CA=CB,且M是AB的中点,所以CM⊥AB.
则由侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,
CM⊥AB,且CM?底面ABC,得CM⊥侧面ABB1A1.
又AB1?侧面ABB1A1,所以AB1⊥CM.
又AB1⊥A1M,A1M、MC平面A1MC,且A1M∩MC=M,
所以AB1⊥平面A1MC.
又A1C?平面A1MC,所以AB⊥A1C.
17.【解答】解:(1)根据题意,圆O:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,
若点O到直线l的距离为,则设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x+2),即kx﹣y+2k=0,
则有=,解可得k=±,
直线l的方程为y=±(x+2),即x±y+2=0;
(2)根据题意,PA=,则O到AP的距离d==,
设AP的方程为y=k(x+1),则有=,解可得k=,
则AP的方程为y=(x+1),
与圆O的方程联立,可得15(x+1)2+x2=1,
解可得x=﹣1或﹣,
则xP=﹣,则yp=,则P的坐标为(﹣,),
直线MP的方程为y=(x+2),与圆O的方程联立可得(x+2)2+x2=1,
解可得x=﹣或,
则xQ=,yQ=,即Q的坐标为(,),
则|MQ|==,O到直线MP的距离d=
故S△MOQ=d|MQ|=.
18.【解答】解:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,则PH=cosα,OH=sinα,
∵正方形ABCD的中心在展板圆心,
∴铜条长为相等,每根铜条长2cosα,
∴AD=2OH=2sinα,
∴展板所需总费用为y=80cosα+80sin2α(0<α<).
(2)y=80cosα+80sin2α=﹣80cos2α+80cosα+80=﹣80(cosα﹣)2+100≤100.
∴上述设计方案是不会超出班级预算.
19.【解答】解:(1)∵,∴,则b=c,直线AB:bx+ay﹣ab=0,
∴,∴,b=1.
因此,椭圆C的方程为;
(2)设点M(x1,y1)、N(x2,y2),
将直线l的方程与椭圆C的方程联立,消去y并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∴△>0,由韦达定理得,.
∵,
∴(2k﹣1)x1x2+(m﹣1)(x1+x2)=0,
∴2k=m+1>2,∴k>1,
又∵△>0,
∴2k2>m2﹣1,综上所述,0<k<2.
因此,实数k的取值范围是(0,2).
20.【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=,
1≤x≤2,f(x)单调递增;
﹣2≤x<1,f′(x)=3(x2﹣1)…(4分)
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<1,
∴f(x)的单调减区间为(﹣1,1)…(6分)
(2)∵f(x)=,
当a≤﹣1,f(x)在(﹣2,2)递增,
∴f(x)max=f(2)=14﹣3a…(8分)
当﹣1<a≤2,f(x)在(﹣2,﹣1)和(a,2)递增,在(﹣1,a)递减,
f(﹣1)=3a+2,f(2)=14﹣3a,
∵3a+2<14﹣3a,
∴f(x)max=f(2)=14﹣3a…(12分)
当a≥2时,f(x)在(﹣2,﹣1)和(1,2)递增,在(﹣1,1)递减,
f(﹣1)=f(2)=3a+2,
故f(x)max=2+3a…(14分)
综上:…(16分)
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日期:2019/3/15 20:28:08;用户:领导;邮箱:ldcd@xyh.com;学号:21801192