2018-2019学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科）

2018-2019学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）
1．（5分）命题“若a＞b，则a+1＞b”的逆否命题是（　　）
A．若a+1≤b，则a＞b B．若a+1＜b，则a＞b
C．若a+1≤b，则a≤b D．若a+1＜b，则a＜b
2．（5分）某中学初中部共有120名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）
A．128 B．144 C．174 D．167
3．（5分）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
4．（5分）函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）在x＝a处的导数为（　　）
A．ab B．﹣a（a﹣b） C．0 D．a﹣b
5．（5分）已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（　　）
A．a＝b，b＝a B．a＝c，b＝a，c＝b
C．a＝c，b＝a，c＝a D．c＝a，a＝b，b＝c
6．（5分）随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（　　）
A．2， B．4，3 C．4， D．2，1
8．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知椭圆：+＝1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b的值是（　　）
A．1 B． C． D．
11．（5分）已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（2）＝0，当x＞0时，xf′（x）＞2f（x），则使得f（x）＞0的x的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
12．（5分）过抛物线x2＝8y的焦点做直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（　　）
A．y＝﹣2 B．y＝﹣1 C．y＝x﹣1 D．y＝﹣x﹣1
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．（5分）执行程序框图，输出的T＝　 　．
14．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为　 　．
15．（5分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是　 　．
16．（5分）若实数a，b，c，d满足|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+1|＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）x3456y2.5344.5
17．（10分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
18．（12分）小李在做一份调查问卷，共有4道题，其中有两种题型，一种是选择题，共2道，另一种是填空题，共2道．
（1）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），求所选的题不是同一种题型的概率；
（2）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），求所选的题不是同一种题型的概率．
19．（12分）设两个命题：p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）＝﹣（4﹣2a）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，若命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围是多少？
20．（12分）某物流公司购买了一块长AM＝90米，宽AN＝30米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）
21．（12分）已知M（x1，y1）是椭圆+＝1（a＞b＞0）上任意一点，F为椭圆的右焦点．
（1）若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；
（2）已知直线m与圆x2+y2＝b2相切，并与椭圆交于A、B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴右侧，若a＝4，求△ABF的周长．
22．（12分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：且n＞1）

2018-2019学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）
1．【解答】解：∵命题“若a＞b，则a+1＞b”的逆否命题
“若a+1≤b，则a≤b”
故选：C．
2．【解答】解：初中部女教师有120×70%＝84人，
高中部女教师有150×（1﹣60%）＝150×40%＝60人，
则女教师共有84+60＝144人，
故选：B．
3．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
故选：C．
4．【解答】解：∵f（x）＝（x﹣a）（x﹣b），
∴f′（x）＝2x﹣（a+b），
∴f′（a）＝2a﹣（a+b）＝a﹣b，
故选：D．
5．【解答】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下
c＝a
a＝b
b＝c
故选：D．
6．【解答】解：随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，
两道选择题至少猜对一道以上的概率约为：
p＝＝．
故选：A．
7．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10．
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′＝[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]＝[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4，
S′2＝×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，
＝×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3．
故选：B．
8．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），
且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，
∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；
当x＝﹣2时，f′（x）＝0；
当x＜﹣2时，f′（x）＜0．
∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；
当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；
当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．
故选：A．
9．【解答】
解：设随机地取出两个数为x、y，则x，y∈（0，1），
记“两数之和小于”为事件A，
即“x+y“为事件A，
由几何概型中的面积型公式可得：
P（A）＝＝1﹣＝，
故选：A．
10．【解答】解：由题意：+|AB|＝4a＝8
∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3
当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）
代入椭圆方程可得：
∵c2＝4﹣b2
∴
∴b＝
故选：D．
11．【解答】解：在xf′（x）＞2f（x）中，
令x＝2，得2f′（2）＞2f（2）＝0，
∴f′（2）＞0，
可知f（x）在x＝2处是递增趋势，
故使f（x）＞0的x＞2，
根据偶函数的对称性，
可知当x＜0时，x＜﹣2，
故选：B．
12．【解答】解：由抛物线x2＝8y得其焦点坐标为F（0，2）．
设A（x1，x12），B（x2，x22）
直线l：y＝kx+2，
联立，得：x2﹣4kx﹣8＝0．
∴x1x2＝﹣8…①．
又抛物线方程为：y＝x2，
求导得y′＝x，
∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为y﹣x12＝x1（x﹣x1）…②
抛物线过点B的切线的斜率为y﹣x22＝x2（x﹣x2）…③
由①②③得：y＝﹣2．
∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y＝﹣2．
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．【解答】解：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；
S＝10，n＝4，T＝2+4＝6；S＝15，n＝6，T＝6+6＝12；
S＝20，n＝8，T＝12+8＝20；S＝25，n＝10，T＝20+10＝30＞S，输出T＝30．
故答案为：30．
14．【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，
知“x＜a”可以推出“x2＞1”，
反之不成立．
则a的最大值为﹣1．
故答案为﹣1．
15．【解答】解：设|AF1|＝x，|AF2|＝y，
∵点A为椭圆上的点，
∴2a＝4，b＝1，c＝；
∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴，
即x2+y2＝（2c）2＝12，②
由①②得，
解得x＝2﹣，y＝2+，
设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2c′＝2，
∴C2的离心率是e＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：由|b+a2﹣4lna|+|2c﹣d+1|＝0，
得：b+a2﹣4lna＝0，2c﹣d+1＝0，
则A（a，b）的轨迹方程为：b＝﹣a2+4lna，
则B（c，d）的轨迹方程为：d＝2c+1，
（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义为：
曲线y＝﹣x2+4lnx与曲线y＝2x+1上的两点的
距离的平方，
设曲线y＝﹣x2+4lnx在P（x0，y0）相切且
与直线y＝2x+1平行，
由y′＝﹣2x+，
则y′|＝2，
所以x0＝1，
即切点坐标为P（1，﹣1），
曲线y＝﹣x2+4lnx与曲线y＝2x+1上的两点的距离的最小值为点P（1，﹣1）到直线y＝2x+1的距离，
由点到直线的距离公式得：d＝＝，
即（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）2＝，
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题均为12分，共计70分，解答时应写出解答过程或证明步骤）x3456y2.5344.5
17．【解答】解：（1）根据题意，作图可得，
（2）由系数公式可知，＝4.5，＝3.5，
由于参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5，
∴＝＝0.7，
＝3.5﹣0.7×＝0.35，
所以线性回归方程为y＝0.7x+0.35．
18．【解答】解：（1）将3道选择题依次编号为1，2；2道填空题依次编号为4，5．
从4道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），则所有基本事件为：
（1，2），（1，4），（1，5），（2，1），（2，4），（2，5），（4，1），
（4，2），（4，5），（5，1），（5，2），（5，4），共12种，
而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有：
（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），共8种，
所以所选的题不是同一种题型的概率P（A）＝．
（2）从4道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），
则所有基本事件为：
（1，1），（1，2），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，4），（2，5），（4，1），
（4，2），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，4），（5，5），共16种，
而且这些基本事件发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，
由（1）知所选题不是同一种题型的基本事件共8种，
所以所选的题不是同一种题型的概率P（B）＝＝．
19．【解答】解：p：△＝4a2﹣16＜0，解得﹣2＜a＜2；
q：首先4﹣2a＞0，∴a＜2；
函数f（x）＝﹣（4﹣2a）x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则4﹣2a＞1，∴a＜；
若命题p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假；
若p真q假，则：，∴；
若p假q真，则：，∴a≤﹣2；
综上得a的取值范围是．
20．【解答】解　因为＝，且AM＝90，AN＝30．
所以ND＝?AN＝x，
得AD＝AN﹣ND＝30﹣x，
仓库的库容V（x）＝（30﹣x）x?x＝﹣x3+30x2（0＜x＜90），
令V′（x）＝﹣x2+60x＝﹣x（x﹣60），
得x＝60或x＝0（舍去）．
当x∈（0，60）时，V′（x）＞0；
当x∈（60，90）时，V′（x）＜0．
所以当x＝60时，V（x）有极大值也是最大值．
即AB的长度为60米时仓库的库容最大．
21．【解答】解：（1）设F（c，0），则|MF|＝，
又，则，
所以|MF|＝＝＝，
又﹣a≤x1≤a且0＜e＜1，
所以|MF|＝a﹣ex1，且|MF|max＝a+ae，|MF|min＝a﹣ae．
（2）设A（x0，y0），B（x2，y2）（x0，x2＞0），连接OQ，OA，
在△OQA中，＝，
同理．
易知，x0、x2＞0，所以，|AQ|＝ex0，|BQ|＝ex2，
所以，|AB|+|AF+|BF|＝e（x0+x2）+a﹣ex0+a﹣ex2＝2a，
又a＝4，所以所求周长为8．
22．【解答】解：（1）∵f（x）＝1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
∴x＞1，，
∵x＞1，∴当k≤0时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）max＝f（1+）＝ln≤0，
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k＝1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x＝n2，则2lnn≤n2﹣1，
即，n≥2，
∴且n＞1）．