第二章 2.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( B )
A．－1 B．0
C．1 D．6
[解析] 根据题意知：a4＝a2＋(4－2)d，易知d＝－1，所以a6＝a4＋(6－4)d＝0.
2．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第( )项( B )
A．60 B．61
C．62 D．63
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.
∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18.
令201＝3n＋18，∴n＝61.
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，∴x＝，故选A．
4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝( C )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13.
5．等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为( B )
A．1 B．2
C． D．
[解析] 设公差为d，由题意，得
，解得.
6．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( B )
A．40 B．42
C．43 D．45
[解析] 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝__－2n＋3__.
[解析] 设公差为d，由题意，得
a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.
8．一个直角三角形三边长a、b、c成等差数列，面积为12，则它的周长为__12__.
[解析] 由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，
则，解得b＝4，a＝3，c＝5，
∴a＋b＋c＝12.
三、解答题
9．(2018－2019学年度吉林汪清六中高二月考)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3.
∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，
∴d＝－1.
∴这三个数分别为4,3,2.
10．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，求bn及b15.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，解得.
∴an＝3＋3(n－1)＝3n.
∴bn＝a2n＝3×2n＝6n.
∴b15＝6×15＝90.
B级 素养提升
一、选择题
1．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列{}是等差数列，则a4等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 解法一：设数列{}的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝.
因此＝＋2d＝.故a4＝，选A．
解法二：由等差中项的性质可知，2·＝＋，解得a2＝.故选A．
2．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得b＝a＋3d1＝a＋4d2，
∴d1＝，d2＝，
∴＝·＝.
3．设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是( C )
A．48 B．49
C．50 D．51
[解析] a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，
∴d＝，
又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，
∴n＝50.
4．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( D )
A．d> B．d<
C．
[解析] 由题意，∴，
∴二、填空题
5．一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则＝____.
[解析] 由题意得，
∴a＝，b＝x，∴＝.
6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
，
∴，解得.
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
7．设{an}是等差数列，若am＝n，an＝m，(m≠n)，求am＋n.
[解析] 设公差为d，由题意，得
，
解得 ，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝(m＋n－1)－(m＋n－1)＝0.
C级 能力拔高
1．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，判断△ABC的形状．
[解析] 由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b.①
由，，成等差数列得＋＝2.②
②2－①得2＝2b，即b2＝ac.将①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③，
将b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．
2．已知f(x)＝，在数列{an}中，a1＝，an＝f(an－1)，n≥2，n∈N*.
(1)证明：{}是等差数列；
(2)求a95的值．
[解析] (1)证明：因为an＝f(an－1)，
所以an＝，
即anan－1＋2an＝2an－1.
所以＝1，即－＝.
所以{}是首项为＝3，公差为的等差数列．
(2)由(1)知＝3＋(n－1)×＝，
∴an＝，
∴a95＝＝.
第二章 2.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于( A )
A．15 B．30
C．31 D．64
[解析] ∵a7＋a9＝a4＋a12，
∴a12＝16－1＝15.
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝( C )
A．14 B．21
C．28 D．35
[解析] ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28.
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( C )
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0
C．a1＋a101＝0 D．a51＝51
[解析] 由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，
∴a51＝0.∴a1＋a101＝2a51＝0，故选C．
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( B )
A．－1 B．1
C．3 D．7
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝( D )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] 在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
∴a3＝3；
又a2＋a4＋a6＝3a4＝15，
∴a4＝5，∴a3＋a4＝8.
6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( B )
A．120 B．105
C．90 D．75
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
二、填空题
7．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则a2＋a3＝__15__.
[解析] 解法一：设公差为d，∵a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝30，
∴2a1＋3d＝15.
又a2＋a3＝2a1＋3d＝15.
解法二：由等差数列的性质可知，a1＋a4＝a2＋a3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝30，
∴a2＋a3＝15.
8．已知等差数列{an}中，a3、a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝__15__.
[解析] ∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋)(a3＋a15)＝×6＝15.
三、解答题
9．已知等差数列{an}的公差d>0，且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．
[解析] 由等差数列的性质，得
a3＋a7＝a4＋a6＝－4，
又∵a3a7＝－12，
∴a3、a7是方程x2＋4x－12＝0的两根．
又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2.
∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.
10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解析] 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
依题意，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
B级 素养提升
一、选择题
1．数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列{}是等差数列，则a4等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 令bn＝，则b2＝＝，b6＝＝1，
由条件知{bn}是等差数列，
∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝，
∴d＝，∴b4＝b2＋2d＝＋2×＝，
∵b4＝，∴a4＝.
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( C )
A．14 B．15
C．16 D．17
[解析] 由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( B )
A．－1 B．1
C．3 D．7
[解析] ∵{an}是等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，
∴d＝a4－a3＝－2，
a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
4．(2015·北京理，6)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞ D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析] 先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若00，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3?a2>，选C．
二、填空题
5．在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__(A＋B)__.
[解析] ∵m－n，m，m＋n成等差数列，又{an}是等差数列．∴am－n，am，am＋n成等差数列，
∴2am＝am－n＋am＋n＝A＋B，∴am＝(A＋B)．
6．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝____.
[解析] 设两个等差数列的公差分别为d1，d2，
由已知，得，即，
解得＝，即＝＝.
三、解答题
7．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
[解析] 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94
?2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝±代入①得a＝±，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.
8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
[解析] 解法一：a2＋a6＋a10＝a1＋d＋a1＋5d＋a1＋9d＝3a1＋15d＝1，∴a1＋5d＝.
∴a3＋a9＝a1＋2d＋a1＋8d＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
解法二：∵{an}为等差数列，
∴2a6＝a2＋a10＝a3＋a9，∴a2＋a6＋a10＝3a6＝1，
∴a6＝，∴a3＋a9＝2a6＝.
C级 能力拔高
1．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
2．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
[解析] (1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.
∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，
∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．
∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
课件31张PPT。第 二 章数列2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与通项公式自主预习学案
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的差等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为__________.第2项 同一个常数 公差 常数列
2．等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有：
3.等差中项a1＋(n－1)d 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的____________.即A＝______.等差中项 D C
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为 ( )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
C
4．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点有________个．
[解析] ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
1或2
5．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.互动探究学案命题方向1 ?等差数列的判断与证明 判断下列数列是否为等差数列．
(1)an＝3－2n； (2)an＝n2－n.
[分析] 本题考察判断数列是否是等差数列，即判断an＋1－an(n∈N*)是否为同一个常数．
[解析] (1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，
∴数列{an}不是等差数列．例题 1『规律总结』 定义法是判定数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
〔跟踪练习1〕
已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
[解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，
∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.命题方向2 ?等差数列的证明例题 2[分析] 由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明． 『规律总结』 证明一个数列是等差数列常用的方法有：①利用定义法，即证an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．命题方向3 ?等差数列的通项公式 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[分析] 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d.例题 3『规律总结』 1.构成等差数列的基本量是a1和d，根据已知条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而求出通项公式an＝a1＋(n－1)d.
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，应用an＝am＋(n－m)d较简便．
〔跟踪练习3〕
100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
[解析] ∵a1＝2，d＝9－2＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项． 若数列{an} 的通项公式为an＝10＋lg2n(n∈N*)，求证：数列{an}为等差数列．
[错解] 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，
所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．例题 4 对等差数列的定义理解不透致错
[辨析] 错解中仅利用a2－a1＝a3－a2来证明数列{an}是等差数列导致错误．
[正解] 因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2.
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)
＝lg2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．例题 5[分析] 可用列举观察法求解；也可用变形构造法求解．
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 ( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．A 2．(2018－2019学年度吉林汪清六中高二月考)等差数列－3,1,5，…的第15项的值是 ( )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析] 设这个等差数列为{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.B C [解析] ∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，
∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.
4．若2，a，b，c,9成等差数列，则c－a＝______.课件36张PPT。第 二 章数列2.2 等差数列第2课时 等差数列的性质自主预习学案
1．等差数列{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n、m都有an－am＝(n－m)d.
(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则
ap＋aq＝ar＋______.
特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝_______.as 2ar
(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差，公差为d，则{ban}也成等差数列，且公差为________.
(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn则{cn}，{dn}都是等差数列．
(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．
bd
2．等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列，当d<0时，等差数列{an}是单调递______数列；当d>0时，等差数列{an}是单调递______数列．减 增
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝20，则a2＋a10＝ ( )
A．12 B．16
C．20 D．24
[解析] 由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝20.C
2．已知等差数列{an}中，a3＝4，a6＝8，则a9＝ ( )
A．10 B．12
C．14 D．16
[解析] 由等差数列的性质，得2a6＝a3＋a9，
∴a9＝2a6－a3＝16－4＝12.
B 3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝ ( )
A．35 B．38
C．40 D．42
[解析] ∵数列{an}、{bn}都是等差数列，∴a1＋b1＋a5＋b5＝(a1＋a5)＋(b1＋b5)＝2a3＋2b3＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－(a1＋b1)＝42－7＝35.
A
4．已知等差数列{an}，若a2 008和a2 012是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则a2 003＋a2 017＝_____.
[解析] 由题意得a2 008＋a2 012＝5，
又∵数列{an}为等差数列，
∴a2 003＋a2 017＝a2 008＋a2 012＝5.
5
5．在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝18，a6＋a8＋a10＝27，若ak＝21，求k的值．
[解析] ∵a4＋a7＋a10＝3a7＝18，∴a7＝6，又∵a6＋a8＋a10＝3a8＝27，∴a8＝9，
∴公差d＝a8－a7＝3，又ak＝21，
∴ak＝a7＋(k－7)d，∴21＝6＋3(k－7)，
∴k＝12.互动探究学案命题方向1 ?等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用 若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.例题 1[点评] 1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.
2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
3．解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．『规律总结』 解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口．〔跟踪练习1〕
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.7 命题方向2 ?运用等差数列性质am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题 在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列的通项公式．
[分析] 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2＋a5＋a8＝9和a3a5a7＝－21直接求解很困难，这样促使我们转换思路．如果考虑到等差数列的性质，注意到a2＋a8＝2a5＝a3＋a7问题就好解了．例题 2
[解析] ∵a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，
又∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5，∴a3＋a7＝2a5＝6， ①
∴a3·a7＝－7， ②
由①、②解得a3＝－1，a7＝7，或a3＝7，a7＝－1，
∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2.
由an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7，或an＝－2n＋13.『规律总结』 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差建立方程(组)求解．〔跟踪练习2〕
在等差数列{an}中，已知a7＋a8＝16，则a2＋a13＝ ( )
A．12 B．16
C．20 D．24
[解析] 在等差数列{an}中，a2＋a13＝a7＋a8＝16，故选B．B 命题方向3 ?等差数列的综合应用 在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．
[分析] 利用等差中项先求角B，再确定A、C的关系，判断出三角形的形状．例题 3『规律总结』 审清题意，将文字语言翻译转化为数学语言是一项重要的基本功．要注意有意识的加强训练．D 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，该数列从第几项开始为正数．例题 4[辨析] 错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，此时a24＝0.[警示] 解题时要加强对题中关键词的理解，提高审题能力；二是加强等价转化的训练，防止不等价转化致误．三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．对称项的设法 成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析] 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．例题 51．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝ ( )
A．64 B．30
C．31 D．15D 2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为 ( )
A．30 B．27
C．24 D．21
[解析] 设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.
A 3．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝__________.3n－1 4．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．