第二章 2.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于( B )
A．2 B．3
C．6 D．7
[解析] 由题意，得，
解得d＝3.
2．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] S3＝3a1＋d＝9，
又∵a1＝1，∴d＝2，
∴a2＝a1＋d＝3.
3．(2017·全国卷Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( C )
A．1 B．2
C．4 D．8
[解析] 设{an}的公差为d，则由，
得，解得d＝4.
故选C．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝170，则a7＋a9＋a11的值为( D )
A．10 B．20
C．25 D．30
[解析] ∵S17＝17a9＝170，∴a9＝10，
∴a7＋a9＋a11＝3a9＝30.
5．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( B )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
[解析] 3＝2a1＋d＋4a1＋×d?9a1＋9d＝6a1＋7d?3a1＋2d＝0?6＋2d＝0?d＝－3，
所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
6．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为( C )
A．0 B．4 475
C．8 950 D．10 000
[解析] 设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8 950.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝__－__.
[解析] ∵an＝－5n＋2，
∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，
∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．
∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．
∴Sn＝＝＝－.
8．(2018－2019学年度山东荣成六中高二月考)若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项．
[解析] 设这个等差数列为{an}，由题意得
，
①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.
∴Sn＝＝30n＝390，∴n＝13.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析] (1)根据题意，得
，解得.
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)
＝－10.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，求通项公式an.
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝－7；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－8－(n－1)2＋8＝2n－1.
又a1＝－7不满足上式，
∴an＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( C )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴＝＝.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( A )
A．1 B．－1
C．2 D．
[解析] ＝＝×＝1，故选A．
4．(2018－2019学年度山东荣成六中高二月考)等差数列{an}中，若a1 005＋a1 007＋a1 009＝6，则该数列前2 013项的和为( A )
A．4 026 B．4 024
C．2 013 D．2 012
[解析] ∵a1 005＋a1 007＋a1 009＝3a1 007＝6，
∴a1 007＝2.
∴S2 013＝＝
＝2 013a1 007＝2 013×2＝4 026.
二、填空题
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝__100__.
[解析] ∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，
∴a1＋a200＝1，
∴S200＝＝100.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于__14__.
[解析] 对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.
三、解答题
7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110
＝－110.
C级 能力拔高
1．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋n(n－1)d.
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得a1＝－2，d＝1.
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n.
2．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
[解析] (1)设n分钟后第1次相遇，依题意：
有2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
第二章 2.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知某等差数列共有21项，其奇数项之和为352，偶数项之和为320，则a11＝( D )
A．0 B．－32
C．64 D．32
[解析] 解法一：a11＝S奇－S偶＝352－320＝32.故选D．
解法二：a11＝＝＝32.故选D．
解法三：a11＝＝32.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( B )
A．21 B．20
C．19 D．18
[解析] 由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B．
3．等差数列{an}中，S16>0，S17<0，当其前n项和取得最大值时，n＝( B )
A．16 B．8
C．9 D．17
[解析] ∵S16＝＝8(a8＋a9)>0，
∴a8＋a9>0；
又S17＝17a9<0，∴，
∴前8项之和最大．
4．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( C )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 设等差数列为{an}，公差为d，
则，
∴5d＝15，∴d＝3.
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a5＝5，S5＝15，
∴＝15，∴a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A．
6．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为( B )
A．11 B．19
C．20 D．21
[解析] ∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，
∵<－1，∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故选B．
二、填空题
7．若等差数列{an}满足a10＋a11＋a12>0，a10＋a14<0，则当n＝__11__时，{an}的前n项和最大．
[解析] 由等差数列的性质，a10＋a11＋a12＝3a11，a10＋a14＝2a12，∴a11>0，a12<0.
故S11为数列{an}前n项和Sn的最大值．
8．{an}与{bn}均为等差数列，an＝7n－2，bn＝4n＋3，其前n项和分别为Sn与Tn，则＝____.
[解析] ＝＝＝＝＝.
三、解答题
9．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．
[解析] 解法一：设此数列的首项a1，公差d，项数2k(k∈N*)．
根据题意，得，即，
∴，解得.
由S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)，
根据题意，得，
即，∴，解得.
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)设等差数列{an}的首项为a，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，
∴a－1＝4n(n＋1)，
∴bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018－2019学年度湖南武冈二中高二月考)等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为( B )
A．21 B．20
C．10 D．11
[解析] ∵a10＜0，∴|a10|＝－a10，
∵a11＞|a10|，∴a11＞－a10，∴a11＋a10＞0，
∴a1＋a20＞0，∴S20＞0.
又∵a10＜0，∴2a10＜0，
∴a1＋a19＜0，
∴S19＜0，∴使Sn＞0的n的最小值为20.
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( C )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9
∵n<13，∴n＝9.
3．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( D )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
[解析] S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
4．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于( A )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] ∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A．
二、填空题
5．(2018～2019学年度山东寿光现代中学高二月考)等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为__5或6__.
[解析] ∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，
∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N*，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．
6．等差数列{an}共有21项，其奇数项的和为40，偶数项的和为32，则a3＋a5＋a17＋a19＝__32__.
[解析] 由题意知a11＝40－32＝8，∴a3＋a5＋a17＋a19＝(a3＋a19)＋(a5＋a17)＝4a11＝32.
三、解答题
7．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
[解析] (1)依题意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
将③分别代入②①，得，
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
C级 能力拔高
1．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析] a1＝S1＝101，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]
＝－3n＋104.
又n＝1也适合上式．
∴数列通项公式an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0，得n≤，
即当n≤34时，an>0；
当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，
Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a34－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝.
2．求数列{}的前n项和Sn.
[解析] an＝＝(－)，
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－)＝.
课件37张PPT。第 二 章数列2.3 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和自主预习学案
1．等差数列的前n项和公式
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则前n项和Sn
＝_______________＝____________________.
2．等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}的前k项和为Sk，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为________的等差数列．k2d 等差数列 1．(2018－2019学年度山东菏泽一中高二月考)在数列{an}中，Sn＝2n2－3n(n∈N＋)，则a4等于 ( )
A．11 B．15
C．17 D．20
[解析] a4＝S4－S3＝2×42－3×4－(2×32－3×3)＝11.A C 3．等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为 ( )
A．130 B．170
C．210 D．260
[解析] ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴Sm＋S3m－S2m＝2(S2m－Sm)，
∴30＋S3m－100＝2(100－30)，∴S3m＝210.
C 4．(2016·北京理，12)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝_____.6
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，求S16.互动探究学案命题方向1 ?等差数列的前n项和公式的应用例题 1『规律总结』 a1，d，n是等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，通过通项公式和前n项和公式建立方程(组)来求解．20 命题方向2 ?等差数列前n项和性质的应用例题 2『规律总结』 求解与等差数列的前n项和有关问题时，注意利用前n项和的性质以简化运算过程．命题方向3 ?实际应用问题 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
[分析] 由已知可得数列的通项公式，由题意即求a10、S20.例题 3『规律总结』 解答数列的实际应用问题时，要注意依据题设条件建立数列模型，辨清“通项”，还是“前n项和”，要特别注意项数和第几项．〔跟踪练习3〕
“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每min通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 ( )
A．10 min B．13 min
C．15 min D．20 minC 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
[错解] ∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
[辨析] an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．例题 4已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an的步骤 例题 5[分析] 先求a1，再用n≥2时，an＝Sn－Sn－1求解．es1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝ ( )
A．58 B．88
C．143 D．176B 2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝ ( )
A．12 B．13
C．14 D．15B 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( )
A．3 B．4
C．5 D．6C
4．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝_______.－3 5．(2018－2019学年度深圳耀华实验中学高二月考)在等差数列{an}中，Sn为该数列的前n项和．
(1)已知a5＝11，a8＝5，求an；
(2)已知a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，求S10.课件35张PPT。第 二 章数列2.3 等差数列的前n项和第2课时 等差数列前n项和公式的应用自主预习学案北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出酒店里把酒瓶层层堆积，底层排成长方形，以上逐层的长、宽各减少一个，共堆n层，堆成棱台的形状，沈括给出了一个计算方法——“隙积术”求酒瓶总数，沈括的这一研究，构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端．
二次 二次 大 小 1．(2018～2019学年度山东日照青山中学高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9A 2．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝ ( )
A．9 B．10
C．11 D．12B 3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝ ( )
A．18 B．20
C．22 D．24
[解析] ∵S10＝S11，∴a11＝S11－S10＝0，
∴a11＝a1＋10d＝a1－20＝0，∴a1＝20.B
4．若an＝2n－11，则当n＝_____时，其前n项和Sn有最小值．5 5．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求数列{an}的前n项和Sn的最大值．互动探究学案命题方向1 ?等差数列的最值问题 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？例题 1[点评] 解法一利用等差数列前n项和Sn是n的二次函数(公差d≠0时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法二利用等差数列的性质由a1<0及S9＝S12知d>0，从而数列中必存在一项an≤0且an＋1>0以找出正负项的分界点；解法三利用S9＝S12及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结规律．『规律总结』 讨论等差数列前n项和的最值的方法：(一)已知通项时，由an≥0(或an≤0)探求；(二)已知前n项和时，用配方法探求(注意n∈N*)；(三)已知Sn＝Sm时，借助二次函数性质探求．〔跟踪练习1〕
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为 ( )
A．5 B．6
C．7 D．8B 命题方向2 ?含绝对值的数列的前n项和 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[分析] 本题实际上是求数列{an}的前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列中的那些项是负的，哪些项非负的．由已知，数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起哪些项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．例题 2『规律总结』 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和，①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)．
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加．〔跟踪练习2〕
设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝25，S12＝54.
(1)求an；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.[辨析] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．例题 3[警示] 运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误．裂项法求数列的和 例题 4D B 3．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是 ( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
[解析] 由S50，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
C 4．设等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3.若{an}的前n项和Sn的最大值为M，则lgM＝_____.2 5．(2018·全国卷Ⅱ理，17)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
