第二章 2.4 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝( D )
A．－ B．－2
C．2 D．
[解析] 由条件得，
∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.故选D．
2．(2018－2019学年度湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( B )
A．±4 B．4
C．± D．
[解析] 由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为a6＝4.
3．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( D )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
[解析] 由题意知，消去a得4b2－5bc＋c2＝0，
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，
代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.
4．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为( B )
A．2 B．3
C．－3 D．3或－3
[解析] 设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝＝＝3.
5．(2018－2019学年度山东菏泽一中高二月考)已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则logq的值为( A )
A．－ B．
C．－2 D．2
[解析] 由已知得，
∴，
解得q＝，∴logq＝log＝log2－12＝－.
6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
二、填空题
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__3·2n－3__.
[解析] ∵，∴，
∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.
8．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是__－__.
[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
三、解答题
9．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝，证明{an}是等比数列，并求出通项公式．
[证明] ∵2an＝3an＋1，
∴＝，故数列{an}是公比q＝的等比数列．
又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，
即a·()5＝()3.
由于数列各项均为负数，则a1＝－.
∴an＝－×()n－1＝－()n－2.
10．(2018－2019学年度山东菏泽一中高二月考)已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k B．m＝k
C．m
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( C )
A． B．4
C．2 D．
[解析] ∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，
∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴公比q＝＝＝2，故选C．
3．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( A )
A．a1＋a8>a4＋a5
B．a1＋a8C．a1＋a8＝a4＋a5
D．a1＋a8与a4＋a5大小不定
[解析] 由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]
＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)
＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．
∵q>0且q≠1，a1>0，
∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.
4．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx( C )
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列
[解析] ＋＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2
＝2logxb＝
∴，，成等差数列．
二、填空题
5．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是__192__.
[解析] 由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.
∴a6＝6×25＝192.
6．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则经10年末的树木总量是今年的__1.259__倍．
[解析] 设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为an，则an＋1＝an＋an×25%＝1.25an.
则＝1.25，则数列{an}是公比q＝1.25的等比数列．
则a10＝a1q9＝1.259m.
所以＝1.259.
三、解答题
7．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解析] (1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
，解得.
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝
＝6n2－22n.
C级 能力拔高
1．(2018·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1.
于是－＝，
因此数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2.
第二章 2.4 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝( B )
A．27 B．27或－27
C．81 D．81或－81
[解析] ∵q2＝＝9，∴q＝±3，
因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故选B．
2．如果数列{an}是等比数列，那么( A )
A．数列{a}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
[解析] 设bn＝a，则＝＝()2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lgan无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
3．(2018－2019学年度山东莒县二中高二月考)在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则＝( C )
A．2 B．
C．2或 D．－2或－
[解析] 由等比数列的性质得a4a8＝a2a10＝2，
又∵a2＋a10＝3，∴a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1.
当a2＝1，a10＝2时，＝＝2，
当a2＝2，a10＝1时，＝＝.
4．(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)等比数列{an}的各项都是正数且a1a11＝16，则log2a6＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵{an}是各项都是正数的等比数列，
∴a1a11＝a＝16，
∴a6＝4，
∴log2a6＝log24＝2.
5．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B )
A．210 B．220
C．216 D．215
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
6．在等比数列{an}中，a3a11＝4a7.若数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( C )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] 在等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4.在等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则＝____.
[解析] ∵a4a6＝a2a8＝6，a4＋a6＝5，∴a4，a6是方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得x1＝2，x2＝3，
又q>1，∴a4＝2，a6＝3.∴＝＝.
8．(2017·北京理，10)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__1__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅲ文，17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析] 设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
B级 素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A )
A．成等差数列不成等比数列 B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列 D．既不成等差数列又不成等比数列
[解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1，
c＝log2 12＝log2 3＋2.
∴b－a＝c－b.
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A．
2．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)已知等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( B )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
[解析] ∵{an}是等比数列，∴a1a5＝a2·a4＝a，
∴T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，
∴a3＝1.
3．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( D )
A．4 B．2
C． D．
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1、x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
4．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( C )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
二、填空题
5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__3或27__.
[解析] 设此三数为3、a、b，则，
解得或.
∴这个未知数为3或27.
6．(2015·浙江文，10)已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝____，d＝__－1__.
[解析] 由题可得，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因为2a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，所以d＝－1，a1＝.
三、解答题
7．{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.
[解析] ∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，
∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，
当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，
∴1＋q4＝5，∴q4＝4.
当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，
∴1＋q4＝，∴q4＝.
∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.
C级 能力拔高
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．
[解析] (1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因为Sn＝2an－2，
所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1, 即：＝2.
数列{an}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以，an＝2n(n∈N*)．
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(n－8)bn≥nk对任意n∈N*恒成立，等价于≥k对n∈N*恒成立；
设cn＝(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，cn取得最小值为－10，所以k≤－10.
2．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
[解析] (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，∴an＝2kn－k＋1.
(2)∵am，a2m，a4m成等比数列，∴a＝am·a4m，
即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
整理得mk(k－1)＝0.
∵对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1.
课件34张PPT。第 二 章数列2.4 等比数列第1课时 等比数列的概念与通项公式自主预习学案我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？
1．等比数列的定义
如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的比都等于______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母______表示．
第2项 同一个常数 公比 q 2．等比数列的递推公式与通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为 q(q≠0)，
填表：3．等比中项
(1)如果三个数x，G，y组成____________，则G叫做x和y的等比中项．
(2)如果G是x和y的等比中项，那么___________，即____________.q a1qn－1 等比数列 G2＝xy B
2．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有 ( )
A．① B．③
C．①③ D．②④
[解析] 公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④只有同号的两项才有等比中项，∴只有③正确．
B
3．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于 ( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
[解析] ∵a4＝a1q3＝8×q3＝64，∴q3＝8，q＝2.
∴a3＝a1q2＝8×22＝32.
C 4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝______________.－2n或(－2)n 5．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，求公比q的值．互动探究学案命题方向1 ?等比数列的通项公式 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
[分析] (1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可．
(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a3＝8求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解．例题 1『规律总结』 求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个．〔跟踪练习1〕
在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.命题方向2 ?等比数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．例题 2
〔跟踪练习2〕
数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．命题方向3 ?等比中项 等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 ( )
A．90 B．100
C．145 D．190例题 3B 『规律总结』 等比中项的应用主要有两点：①计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用．②用来判断或证明等比数列．〔跟踪练习3〕
在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝_____.1 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．例题 4忽视等比中项的符号致错 [辨析] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数． 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
[分析] 根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．例题 5数列的实际应用问题 [解析] (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．
(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1＝8.857.
∴用满4年卖掉时，他大概能得8.857万元．『规律总结』 解答数列实际应用问题的一般思路
(1)建模：根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数列模型；
(2)解模：利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解；
(3)还原：把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 ( )
A．64 B．81
C．128 D．243
[解析] 设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，∴a7＝26＝64.
A
2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于 ( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
[解析] ∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.故选B．B 4 课件39张PPT。第 二 章数列2.4 等比数列第2课时 等比数列的性质自主预习学案1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性质呢？
1．等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·______(m、n∈N*)．
qn－m
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，
则am·an＝__________.
特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，
则am·an＝________.ap·aq an－1 an－k＋1 cq |q| q1·q2
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0,0(2)当a1>0,01时，等比数列{an}为递______数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．增 减
1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于 ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[解析] ∵{an}是等比数列，
∴a2a6＝a＝42＝16.C B 3．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝ ( )
A．5 B．10
C．15 D．20A
4．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝_____.3 互动探究学案命题方向1 ?等比数列的性质 在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝_______.例题 1512
〔跟踪练习1〕
(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝______；
(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝_________；
(3)在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q值的个数可能为 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个25 1或64 D 命题方向2 ?等比数列的设项技巧 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．例题 2
〔跟踪练习2〕
(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为________________.
(2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为_____________.
[分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组求解．
(2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．3,6,12,24 －4,2,8 (2)由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．
综上可知此三数为－4,2,8.例题 3忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错 例题 4方程思想在等比数列中的应用 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 ( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
[解析] 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．C B 3．(2018－2019学年度山东荣成六中高二月考)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，q＞1，则n＝ ( )
A．8 B．7
C．6 D．5A 4．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝_______.567 5．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．