第八章 一元二次方程单元测试题
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第 八 章 综 合 测 试 题
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x2-y＝1 B.x2＋2x-3＝0 C.x2＋＝3 D.x-5y＝6
2.小华在解一元二次方程x2-x＝0时，只得出一个解x＝1，则漏掉的一个解是（ ）
A.x＝4 B.x＝3 C.x＝2 D.x＝0
3.用配方法解一元二次方程x2-8x-5＝0，原方程可变形为（ ）
A.(x-4)2＝21 B.(x-4)2＝11 C.(x＋4)2＝21 D.(x＋4)2＝11
4.已知m，n是一元二次方程x2-4x-3＝0的两个实数根，则代数式(m＋1)(n＋1)的值为（ ）
A.-6 B.-2 C.0 D.2
5.若关于x的一元二次方程(2m＋6)x2＋m2-9＝0的常数项是0，则m等于（ ）
A.-3 B.3 C.3或-3 D.9
6.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是
（ ）
A.x（x-1）＝45 B.x（x＋1）＝45 C.x（x-1）＝45 D.x（x＋1）＝45
7.给出一种运算:对于函数y＝xn，规定y'＝nxn-1.例如:若函数y＝x4，则有y'＝4x3已知函数y＝x3，则方程y'＝12的解是（ ）
A.x1＝4，x2＝-4 B.x1＝2，x2＝-2 C.x1＝x2＝0 D.x1＝2，x2＝2
8.若关于x的一元二次方程（k-1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.k＜5 B.k＜5且k≠1 C.k≤5且k≠1 D.k＞5
9.在 ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ）
A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8
10.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例:已知x可取任意实数，试求二次三项式2x2-12x＋14的值的范围.
解:2x2-12x＋14＝2(x2-6x)＋14＝2(x2-6x＋32-32)＋14＝2［(x-3)2-9］＋14＝2(x-3)2-18＋14＝2(x-3)2-4
因为无论x取何实数，总有(x-3)2≥0，所以2(x-3)2-4≥-4.
即无论x取何实数，2x2-12x＋14的值总是不小于-4的实数.
问题:已知x可取任意实数，则二次三项式-3x2＋12x＋11的最值情况是（ ）
A.有最大值-23 B.有最小值-23 C.有最大值23 D.有最小值23
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.一元二次方程x(x-7)＝0的解是_________________。
12.把方程2x2-1＝x(x＋3)化成一般形式是___________________。
13.若一元二次方程ax2-bx-2017＝0有一个解为x＝-1，则a＋b＝_____________。
14.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值:
a＝___________，b=____________。
15.如图所示，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_____m.
16.若关于x的方程(a-6)x2-8x＋6＝0有实数根，则a的取值范围是_____________。
三、解答题（共52分）
17.（每小题4分，共8分）解下列方程:
（1）x2-5x-1＝0； （2）x2-2x＝4.
18.（10分）已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)＝.
（1）求证:对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.
19.（10分）某商场有50间商铺，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加1万元，则少租出2间商铺.
（1）当每间商铺的年租金定为14万元时，能租出多少间商铺？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该商场出租商铺的年收益为600万元？
20.（12分）某商场以40元/件的价格新进一批旅游纪念品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）根据图象，求y与x的函数表达式；
（2）若商店的销售成本不能超过200元，则销售单价至少定为多少元？
（3）若商店的销售利润要达到2400元，销售单价应定为多少？
21.（12分）2016年，我市首个绿色免费共享单车租赁系统正式启用，市政府投资了210万元，建成20个共享单车站点，配置2万辆共享单车.以后将逐年增加投资，用于建设新站点，配置共享单车.预计2018年将投资475万元，新建50个共享单车站点，配置4.5万辆共享单车.
（1）请问每个站点的造价和共享单车的单价分别是多少？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率
（3）根据（2）所得的年平均增长率，预计2019年我市配置共享单车多少万辆.
附加题（20分，不计入总分）
22.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问:
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积能等于10cm2吗？若能，请求出此时的运动时间；若不能，请说明理由.
参考答案及解析
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B 9.D 10.C
二、填空题
11.x1＝0，x2＝7
12.x2-3x-1＝0
13.2017
14.答案不唯一，如12
15.2
16.a≤
三、解答题
17.（1）x1＝，x2＝
（2）x1＝1＋，x2＝1-.
18.解:（1）证明:∵(x-3)(x-2)＝｜m｜，∴x2-5x＋6-｜m｜＝0.
∴△＝(-5)2-4（6-｜m｜）＝1＋4｜m｜而｜m｜≥0，
∴△＞0.
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵方程的一个根是1，∴｜m｜＝2，解得m＝±2.
∴原方程为x2-5x＋4＝0.解得x1＝1，x2＝4.
∴m的值为±2，方程的另一个根是4.
19.解:（1）50-2（14-10）＝42（间），所以能租出42间商铺.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元.
根据题意得（50-2x）（10＋x）＝600，解得x1＝10，x2＝5.
10＋10＝20（万元），10＋5＝15（万元）.
所以当每间商铺的年租金定为20万元或15万元时，该商场出租商铺的年收益为600万元。
20.解:（1）设y与x的函数表达式为y＝kx十b，把点（40，160），（120，0）代入，
得 解得
所以y与x的函数表达式为y＝-2x＋240（40≤x≤120）
（2）由题意，得40（-2x＋240）≤2000，解得x≥95
所以销售单价至少定为95元，
（3）由题意，得（x-40）（-2x＋240）＝2400，解得x1＝60，x2＝100.
所以销售单价应定为60元或100元.
21.解:（1）设每个站点造价x万元，共享单车的单价为y元.根据题意，
得 解得
所以每个站点的造价为0.5万元，共享单年的单价为100元。
（2）设2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率为a。
根据题意，得2(1＋a)2＝4.5，解得a1＝0.5，a2＝-2.5（不合题意，舍去）
所以2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率为50％.
（3）4.5×（1＋50％）＝6.75（万辆）
所以预计2019年我市配置共享单车6.75万辆.
22.解:（1）设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2.
易得AP＝x，BQ＝2x，则BP＝AB-AP=6-x,
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（6-x）×2x＝8.∴x2-6x＋8＝0.
解得x＝2或x＝4.即经过2s或4s，△PBQ的面积等于8 cm2.
（2）不能.理由如下
设经过y s，△PBQ的面积等于10cm2,
则S△PBQ=×(6-y)×2y=10,即y2-6y＋10＝0.
∵△＝（-6）2-4×10＝-4＜0，所以方 程y2-6y＋10＝0无实数根，
所以△PBQ的面积不能等于10 cm2.
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x2-y＝1 B.x2＋2x-3＝0 C.x2＋＝3 D.x-5y＝6
2.小华在解一元二次方程x2-x＝0时，只得出一个解x＝1，则漏掉的一个解是（ ）
A.x＝4 B.x＝3 C.x＝2 D.x＝0
3.用配方法解一元二次方程x2-8x-5＝0，原方程可变形为（ ）
A.(x-4)2＝21 B.(x-4)2＝11 C.(x＋4)2＝21 D.(x＋4)2＝11
4.已知m，n是一元二次方程x2-4x-3＝0的两个实数根，则代数式(m＋1)(n＋1)的值为（ ）
A.-6 B.-2 C.0 D.2
5.若关于x的一元二次方程(2m＋6)x2＋m2-9＝0的常数项是0，则m等于（ ）
A.-3 B.3 C.3或-3 D.9
6.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是
（ ）
A.x（x-1）＝45 B.x（x＋1）＝45 C.x（x-1）＝45 D.x（x＋1）＝45
7.给出一种运算:对于函数y＝xn，规定y'＝nxn-1.例如:若函数y＝x4，则有y'＝4x3已知函数y＝x3，则方程y'＝12的解是（ ）
A.x1＝4，x2＝-4 B.x1＝2，x2＝-2 C.x1＝x2＝0 D.x1＝2，x2＝2
8.若关于x的一元二次方程（k-1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.k＜5 B.k＜5且k≠1 C.k≤5且k≠1 D.k＞5
9.在 ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（ ）
A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8
10.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例:已知x可取任意实数，试求二次三项式2x2-12x＋14的值的范围.
解:2x2-12x＋14＝2(x2-6x)＋14＝2(x2-6x＋32-32)＋14＝2［(x-3)2-9］＋14＝2(x-3)2-18＋14＝2(x-3)2-4
因为无论x取何实数，总有(x-3)2≥0，所以2(x-3)2-4≥-4.
即无论x取何实数，2x2-12x＋14的值总是不小于-4的实数.
问题:已知x可取任意实数，则二次三项式-3x2＋12x＋11的最值情况是（ ）
A.有最大值-23 B.有最小值-23 C.有最大值23 D.有最小值23
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.一元二次方程x(x-7)＝0的解是_________________。
12.把方程2x2-1＝x(x＋3)化成一般形式是___________________。
13.若一元二次方程ax2-bx-2017＝0有一个解为x＝-1，则a＋b＝_____________。
14.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值:
a＝___________，b=____________。
15.如图所示，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为_____m.
16.若关于x的方程(a-6)x2-8x＋6＝0有实数根，则a的取值范围是_____________。
三、解答题（共52分）
17.（每小题4分，共8分）解下列方程:
（1）x2-5x-1＝0； （2）x2-2x＝4.
18.（10分）已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)＝.
（1）求证:对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.
19.（10分）某商场有50间商铺，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加1万元，则少租出2间商铺.
（1）当每间商铺的年租金定为14万元时，能租出多少间商铺？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该商场出租商铺的年收益为600万元？
20.（12分）某商场以40元/件的价格新进一批旅游纪念品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）根据图象，求y与x的函数表达式；
（2）若商店的销售成本不能超过200元，则销售单价至少定为多少元？
（3）若商店的销售利润要达到2400元，销售单价应定为多少？
21.（12分）2016年，我市首个绿色免费共享单车租赁系统正式启用，市政府投资了210万元，建成20个共享单车站点，配置2万辆共享单车.以后将逐年增加投资，用于建设新站点，配置共享单车.预计2018年将投资475万元，新建50个共享单车站点，配置4.5万辆共享单车.
（1）请问每个站点的造价和共享单车的单价分别是多少？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率
（3）根据（2）所得的年平均增长率，预计2019年我市配置共享单车多少万辆.
附加题（20分，不计入总分）
22.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问:
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积能等于10cm2吗？若能，请求出此时的运动时间；若不能，请说明理由.
参考答案及解析
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.A 7.B 8.B 9.D 10.C
二、填空题
11.x1＝0，x2＝7
12.x2-3x-1＝0
13.2017
14.答案不唯一，如12
15.2
16.a≤
三、解答题
17.（1）x1＝，x2＝
（2）x1＝1＋，x2＝1-.
18.解:（1）证明:∵(x-3)(x-2)＝｜m｜，∴x2-5x＋6-｜m｜＝0.
∴△＝(-5)2-4（6-｜m｜）＝1＋4｜m｜而｜m｜≥0，
∴△＞0.
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
（2）∵方程的一个根是1，∴｜m｜＝2，解得m＝±2.
∴原方程为x2-5x＋4＝0.解得x1＝1，x2＝4.
∴m的值为±2，方程的另一个根是4.
19.解:（1）50-2（14-10）＝42（间），所以能租出42间商铺.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元.
根据题意得（50-2x）（10＋x）＝600，解得x1＝10，x2＝5.
10＋10＝20（万元），10＋5＝15（万元）.
所以当每间商铺的年租金定为20万元或15万元时，该商场出租商铺的年收益为600万元。
20.解:（1）设y与x的函数表达式为y＝kx十b，把点（40，160），（120，0）代入，
得 解得
所以y与x的函数表达式为y＝-2x＋240（40≤x≤120）
（2）由题意，得40（-2x＋240）≤2000，解得x≥95
所以销售单价至少定为95元，
（3）由题意，得（x-40）（-2x＋240）＝2400，解得x1＝60，x2＝100.
所以销售单价应定为60元或100元.
21.解:（1）设每个站点造价x万元，共享单车的单价为y元.根据题意，
得 解得
所以每个站点的造价为0.5万元，共享单年的单价为100元。
（2）设2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率为a。
根据题意，得2(1＋a)2＝4.5，解得a1＝0.5，a2＝-2.5（不合题意，舍去）
所以2016年到2018年市政府配置共享单车数量的年平均增长率为50％.
（3）4.5×（1＋50％）＝6.75（万辆）
所以预计2019年我市配置共享单车6.75万辆.
22.解:（1）设经过x s，△PBQ的面积等于8 cm2.
易得AP＝x，BQ＝2x，则BP＝AB-AP=6-x,
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（6-x）×2x＝8.∴x2-6x＋8＝0.
解得x＝2或x＝4.即经过2s或4s，△PBQ的面积等于8 cm2.
（2）不能.理由如下
设经过y s，△PBQ的面积等于10cm2,
则S△PBQ=×(6-y)×2y=10,即y2-6y＋10＝0.
∵△＝（-6）2-4×10＝-4＜0，所以方 程y2-6y＋10＝0无实数根，
所以△PBQ的面积不能等于10 cm2.