一 平面直角坐标系 课件（32张PPT）

平面直角坐标系
1．体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤．
2．会运用坐标法解决实际问题与几何问题．
3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况及作用．
1．数轴
它使直线上任一点P都可以由唯一的实数x确定．
2．平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点P都可以由唯一的实数对(x，y)确定．
练习
3．定义
设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x，y)对应P′(x′，y′) 称为平面直角坐标系中的伸缩变换．
练习
B
到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____________．
答案：y＝x或y＝－x
平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，求|OP|的最小值．
解析：以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图，∵|PA|-|PB|=3＜|AB|，则点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支上．
由题意知2c＝4，∴c＝2.
把方程y＝sin x变为y′＝ sin 4x′的伸缩变换公式为________．
把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋ ＝1，则坐标变换公式是________．
分析：利用平面直角坐标系中的坐标伸缩变换公式求解．

1．在?ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则点D的坐标是(　　)
A．(9，－1)　　　　　　B．(－3,1)
C．(1,3) D．(2,2)
C
B
A


4.两个定点距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹 .
答案：x2+y2=4
5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，求点A的轨迹方程为________．
6．已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A，B是圆上的两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
解析：如右图所示，以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．
7．求函数g(x)＝| － |的最大值．


8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经

过伸缩变换 后的图形是什么形状？

(1)y2＝2x；
(2)x2＋y2＝1.
10．通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换，可以把
椭圆 ＋ ＝1变为中心在原点的单位圆，求上述
平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换．


12．有一种大型商品，A，B两地都有销售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后，每千米回运A地的费用是B地的3倍．已知A，B两地相距10 km，顾客选A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
分析：将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解．
解析：如下图所示，以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－5,0)、B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品较便宜，并设A地的回运费为3a元/千米，B地的回运费为a元/千米．
13．求函数g(x)＝ ＋ 的最小值．


解析：g(x)＝ ＋ ，于是问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使它分别到A(2,3)与B(5,1)的距离之和即|PA|＋|PB|为最小值．



如上图所示，点B(5,1)关于x轴的对称点是B′(5，－1)，故最小值为|AB′|，即g(x)的最小值为|AB′|＝ ＝5，而P点的位置就是直线AB′与x轴的交点．



1．直角坐标系可以有不同的建立方法，根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点.
(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴.
(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
2．坐标系的建立是为了确定点的位置，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．
3．坐标伸缩变换φ 注意变换中的系数均为正数；在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．