极坐标系 课件（18张PPT）

一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做 。
引一条射线OX，叫做 。
再选定一个长度单位和角度单位及 。（通常取 方向）。
这样就建立了一个 。


X
O




知识回顾
极点
极轴
它的正方向
逆时针
极坐标系
二、极坐标系内一点的极坐标的规定


X
O





M
?

?
对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段 的长度，用 ? 表示从
? 叫做点M的 ，叫做点M的 ，有序数对 就叫做M的极坐标。

（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， ?可取任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， ?可取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于： 。
O

X

P

M



(ρ,θ)…
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以 了.
极角有无数个
[3]极坐标　　　与　　　　 　 表示同一个点。
一一对应


1).在直角坐标系下：
（1）给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
（2）给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
能否附加限定条件使平面内的点和极坐标一一对应呢?
极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有何区别？
思考：
点 坐标（x,y）
一一对应

2).极坐标系下：
O

X



M

(ρ,θ)
反思
限定条件ρ＞0,0≤θ＜2π
你能把点的直角坐标和极坐标进行互相转化么？
1.2.2极直互化
思考：
平面内的一个点的直角坐标是(1, )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取
相同的长度单位
点M的直角坐标为




O
x
y

θ


设点M的极坐标为(ρ,θ)

极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ

互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
正弦、余弦、正切的三角函数值
θ
sinθ
cosθ
tanθ
知识回顾
例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.
解:
所以, 点M的直角坐标为
已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。
例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.
解:
因为点在第三象限, 所以
因此, 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.


1、已知A（3， ），B（4， ），求线段AB
的长度。
潜能开发：
除了你已经使用的方法以外，你还会用其他方法解决么？
如果上题中的坐标改为A（3， ），B（5， ）呢？
变式：
探讨：
你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？

| |
AB
=
则
若

2、已知在极坐标中A（2， ），B（4， ），

求 的面积。
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ

课堂小结