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2.3 数学归纳法
考 点 考纲要求 要求 题型
用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明不等式 了解数学归纳法的原理..能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ii 解答题
知识梳理
一、数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步，归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
第二步，归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．
二、数学归纳法的框图表示
典例解析
考向一 用数学归纳法证明等式
[典例1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
1．用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
考向二 用数学归纳法证明不等式
[典例2] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(其中n∈N*，n>1)．
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)．
考向三 归纳—猜想—证明
[典例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
3．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
过关检测
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
6．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋＋<2－
D．1＋＋＋<2－
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26
C．9 D．6
9．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
10．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为________．
12．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
15．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
16．(2017·高考浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
证明：当n∈N*时，
(1)0(2)2xn＋1－xn≤；
(3)≤xn≤.
17．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
18．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．
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2.3 数学归纳法
考 点 考纲要求 要求 题型
用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明不等式 了解数学归纳法的原理..能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 ii 解答题
知识梳理
一、数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一步，归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
第二步，归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．
二、数学归纳法的框图表示
典例解析
考向一 用数学归纳法证明等式
[典例1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝2×12－2×1＋1＝1，
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.
则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1
＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)
＝2k2＋2k＋1
＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，
即当n＝k＋1时，等式成立，
由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．
数学归纳法证题的三个关键点：
(1)验证是基础．
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．
(2)递推是关键．
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心．
在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
1．用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋＝(n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，等式左边
＝＝，
等式右边＝＝.
等式左边＝等式右边，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋
＋
＝＋
＝
＝
＝
＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)，(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．
考向二 用数学归纳法证明不等式
[典例2] 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(其中n∈N*，n>1)．
[证明] ①当n＝2时，左边＝1＋，右边＝，－＝1－>0，所以左边>右边，即不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋>＋.
解法一：由于－＝
＝
＝>0，
所以＋>，
即1＋＋＋…＋＋>.
解法二：由于＋＝>
＝＝，
所以1＋＋＋…＋＋>.
即当n＝k＋1时原不等式也成立，
由①②知原不等式成立．
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝2－＝，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2－，
那么当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋，
又由于[2－＋]－(2－)
＝－＋
＝
＝<0，
所以2－＋<2－，
所以1＋＋＋…＋<2－，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)，(2)知，对于大于等于2的正整数n，不等式成立．
考向三 归纳—猜想—证明
[典例3] 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝，且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
[解析] (1)a2＝＝，又a1＝，则a2＝，类似地，求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，猜想
an＝.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝2时，由(1)可知猜想成立；
②假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时猜想成立，
即ak＝＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝，
∴Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－，
∴k(2k＋3)ak＋1＝，
∴ak＋1＝
＝.
∴当n＝k＋1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何n∈N*都成立．
∴{an}的通项公式为an＝.
怎样解答“归纳—猜想—证明”类问题？
数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
3．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
解析：∵a2＝，且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明猜想正确．
(1)当n＝1,2时易知猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确，
即ak＝.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝
＝，
即当n＝k＋1时猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确．
过关检测
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0 等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：边数最少的凸n边形是三角形．
答案：C
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)(2k＋2)
＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)(2k＋1)×2，
故需增乘的代数式为2(2k＋1)．
答案：B
3．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
答案：C
4．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析：34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1
＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．
答案：A
5．已知f(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
C．f(n)中共有n2－n＋2项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1＋＋＋
解析：由条件可知，f(n)共有项数为n2－(n－1)＋1＝n2－n＋2项，且n＝2时，
f(2)＝＋＋＋.故选C.
答案：C
6．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2
C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3
解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
答案：B
7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明( )
A．1<2－
B．1＋<2－
C．1＋＋<2－
D．1＋＋＋<2－
解析：第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋<2－.
答案：C
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26
C．9 D．6
解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.
答案：C
9．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．
对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．
对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．
对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．
答案：D
10．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析：将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak相连，则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk＋1的内角和π的和，即f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案：π
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳猜想得出an的表达式为________．
解析：∵a1＝2，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，
于是猜想an＝.
答案：an＝(n∈N*)
12．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
13．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
解析：f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，
每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．
∴f(3)－f(2)＝2，
f(4)－f(3)＝3，
f(5)－f(4)＝4，
……
f(n)－f(n－1)＝n－1.
累加，得
f(n)－f(2)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n－2)．
∴f(n)＝(n＋1)(n－2)．
答案：5 (n＋1)(n－2)
14．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)计算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解析：(1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由(1)的计算猜想：an＝.
下面用数学归纳法进行证明：
①当n＝1时，a1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即ak＝，
那么，ak＋1＝＝＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n∈N*都有an＝.
15．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，
右边＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－
＝1－<1－
＝1－.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
16．(2017·高考浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．
证明：当n∈N*时，
(1)0(2)2xn＋1－xn≤；
(3)≤xn≤.
证明：(1)用数学归纳法证明：xn>0.
当n＝1时，x1＝1>0.
假设n＝k时，xk>0，那么n＝k＋1时，
若xk＋1≤0，则0故xk＋1>0.
因此xn>0(n∈N*)．
所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.
因此0(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得
xnxn＋1－4xn＋1＋2xn
＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)，
记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)，
f′(x)＝＋ln(1＋x)>0(x>0)，
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，故2xn＋1－xn≤(n∈N*)．
(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以xn≥.
由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，故xn≤，
综上，≤xn≤(n∈N*)．
17．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
解析：当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N*)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，
即2k＋2>k2，那么当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
原不等式成立．
根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．
18．已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－bn.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小，并说明理由．
解析：(1)由已知得
因为{an}的公差大于0，所以a5>a2，
所以a2＝3，a5＝9.
所以d＝＝＝2，a1＝1，即an＝2n－1.
因为Tn＝1－bn，所以b1＝.
当n≥2时，Tn－1＝1－bn－1，
所以bn＝Tn－Tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，
化简得bn＝bn－1.
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，
即bn＝·()n－1＝.
所以an＝2n－1，bn＝.
(2)因为Sn＝×n＝n2，
所以Sn＋1＝(n＋1)2，＝.
下面比较与Sn＋1的大小：
当n＝1时，＝，S2＝4，所以当n＝2时，＝，S3＝9，所以当n＝3时，＝，S4＝16，所以当n＝4时，＝，S5＝25，所以>S5，
猜想：n≥4时，>Sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝4时，已证．
②假设当n＝k(k∈N*，k≥4)时>Sk＋1，
即>(k＋1)2，
那么，＝＝3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3
＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2
＝S(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，>Sn＋1也成立．
由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，>Sn＋1都成立．
综上所述，当n＝1,2,3时，当n≥4时，>Sn＋1.
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