1.2 极坐标系 课件（31张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.2 极坐标系 课件（31张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 800.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-20 07:55:52 | ||
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文档简介
极 坐 标 系
【课标要求】
1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性．
2．掌握极坐标与直角坐标的互化．
3．掌握极坐标系的简单应用．
【核心扫描】
1．对极坐标系的意义和应用的考查是热点．
2．对极坐标和直角坐标互化的考查是热点．
3．能够根据坐标转化解决某些数学问题．(难点)
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做__
__；自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个
_________、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
自学导引
极
点
极轴
长度单位
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：
设M是平面内一点，极点O与点M的距离
|OM|叫做点M的_____，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
M的_____，记为θ.有序数对_________叫做点M的极坐标，记为___________．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．
极径
极角
(ρ，θ)
M(ρ，θ)
(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与__________
__________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个
点的极坐标有无数种表示．
想一想 极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
提示 建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
(ρ，θ＋
2kπ)(k∈Z)
2.点的极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作
为____，x轴的正半轴作为_____，并在
两种坐标系中取相同的________，如图
所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
极点
极轴
长度单位
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
x2＋y2
ρcos θ
ρsin θ
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．
2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的
位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．
平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐
标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点
(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．
名师点睛
在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．
【思维导图】
题型一 极坐标系的概念与点的极坐标
写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.
【例1】
[思维启迪] 确定极径、极角即可．
解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为
【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
写出下列各点的极坐标．
【变式1】
分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
题型二 把点的极坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
【变式2】
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)：
题型三 将点的直角坐标化为极坐标
【例3】
[思维启迪]
解 (1)由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以限定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)．
本例中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
解 根据与角α终边相同的角为α＋2kπ，k∈Z，
由上述可知，点的直角坐标化为极坐标
(ρ>0，θ∈R)，分别如下：
【变式3】
方法技巧——极坐标的综合应用
【示例】
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思维启迪] 解答本题可以结合图形利用边、角关系完成判断和计算．
如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：
(1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
答 (1)他向东偏北60°方向走120 m后到达图书馆，位置唯一确定．
(2)从教学楼向东走60 m到达体育馆，从教学楼向西北方向走50 m到达办公楼．
[课后习题解答]
1．解 由题图得各点的极坐标分别为：
所以A，B两点间的距离为|AB|＝3＋1＝4.
4．解 由直角坐标与极坐标互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
【课标要求】
1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性．
2．掌握极坐标与直角坐标的互化．
3．掌握极坐标系的简单应用．
【核心扫描】
1．对极坐标系的意义和应用的考查是热点．
2．对极坐标和直角坐标互化的考查是热点．
3．能够根据坐标转化解决某些数学问题．(难点)
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做__
__；自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个
_________、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
自学导引
极
点
极轴
长度单位
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：
设M是平面内一点，极点O与点M的距离
|OM|叫做点M的_____，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
M的_____，记为θ.有序数对_________叫做点M的极坐标，记为___________．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．
极径
极角
(ρ，θ)
M(ρ，θ)
(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与__________
__________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个
点的极坐标有无数种表示．
想一想 极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
提示 建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
(ρ，θ＋
2kπ)(k∈Z)
2.点的极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作
为____，x轴的正半轴作为_____，并在
两种坐标系中取相同的________，如图
所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
极点
极轴
长度单位
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
x2＋y2
ρcos θ
ρsin θ
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．
2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的
位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．
平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐
标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点
(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．
名师点睛
在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．
【思维导图】
题型一 极坐标系的概念与点的极坐标
写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.
【例1】
[思维启迪] 确定极径、极角即可．
解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为
【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
写出下列各点的极坐标．
【变式1】
分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
题型二 把点的极坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
【变式2】
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)：
题型三 将点的直角坐标化为极坐标
【例3】
[思维启迪]
解 (1)由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以限定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)．
本例中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
解 根据与角α终边相同的角为α＋2kπ，k∈Z，
由上述可知，点的直角坐标化为极坐标
(ρ>0，θ∈R)，分别如下：
【变式3】
方法技巧——极坐标的综合应用
【示例】
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思维启迪] 解答本题可以结合图形利用边、角关系完成判断和计算．
如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：
(1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
答 (1)他向东偏北60°方向走120 m后到达图书馆，位置唯一确定．
(2)从教学楼向东走60 m到达体育馆，从教学楼向西北方向走50 m到达办公楼．
[课后习题解答]
1．解 由题图得各点的极坐标分别为：
所以A，B两点间的距离为|AB|＝3＋1＝4.
4．解 由直角坐标与极坐标互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，