1.2 极坐标系 课件（23张PPT）

极坐标系






从这向北
2000米。
请问：去??
中学怎么走？









请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。


X
O




二、极坐标系内一点的极坐标的规定


X
O





M
?

?
对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。

特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标

①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
特别规定： 当M在极点时，它的极坐标?=0，?可以取任意值。
想一想？
三、点的极坐标的表达式的研究


X
O





M
?

?
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式。
思考：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角
题组二：在极坐标系里描出下列各点





























A
B
C
D
E
F
G
O
X
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（?,?）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
O

X

P

M



(ρ,θ)…
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。
有。（ρ，2kπ+θ）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, )
思 考:
这个点如何用极坐标表示?


O
x
y
在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位
点M的直角坐标为



θ


设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ

互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.
解:
所以, 点M的直角坐标为
已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。
例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.
解:
因为点在第三象限, 所以
因此, 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.
例3 已知两点（2， ），（3， ）
求两点间的距离.

π
3

π
2




o
x
A
B
解：∠AOB =

π
6
用余弦定理求
AB的长即可.