1.3 简单曲线的极坐标方程 课件（18张PPT）

简单曲线的极坐标方程
问题提出


1.在极坐标系中，点M的极坐标是怎样构成的？
点M的极坐标是极径ρ和极角θ组成的有序数对(ρ，θ)。
ρ
θ

M


x
O


2.以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的互化公式是什么？
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ.
3.在平面直角坐标系中，方程f(x，y)＝0是曲线C的方程应具备的条件是什么？
（1）曲线C上任意一点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上。
4.在极坐标系中，对一条曲线C，它也有相应的极坐标方程。因此，如何建立曲线的极坐标方程，如何根据曲线的极坐标方程分析曲线的有关性质，也就成为一个需要研究的课题。
探究:圆的极坐标方程

思考：在极坐标系中，若半径为a的圆的圆心坐标为C(a，0)(a＞0)，则该圆与极坐标系的相对位置关系怎样？试画图表示。
x
O


C
思考：设该圆与极轴的另一个交点为A，点M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，那么极径ρ和极角θ之间满足什么关系？
M
θ
ρ


x
O


C

A
ρ＝2acosθ
思考3：点O，A的极坐标可以分别是什么？它们都满足等式ρ＝2a cosθ吗？
点 ，A(2a，0)都满足等式。
思考：由此可知，圆上任意一点的极坐标
(ρ，θ)中至少有一个满足等式ρ＝2acosθ；
反之，极坐标适合该等式的点都在这个圆上吗？
都在这个圆上
M
θ
ρ


x
O


C

A
思考：等式ρ＝2acosθ叫做圆C的极坐标方程。一般地，在极坐标系中，对于平面曲线C和方程f(ρ，θ)＝0，在什么条件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲线C的极坐标方程？
（1）曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0；
（2）坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上。
思考：在极坐标系中，圆心坐标为C(a，π)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？圆心坐标为C(a， )(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程是什么？
ρ＝－2acosθ
ρ＝2asinθ
M
θ
ρ


x
O

C

A



M
θ
ρ


x
O


C

A


思考：一般地，在极坐标系中，圆心坐标为C(a，α)(a＞0)，半径为r的圆的极坐标方程是什么？特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方程是什么？
M
θ
ρ


x
O


C


M
θ
ρ


x
O


ρ＝r
思考：一般地，求曲线的极坐标方程的基本步骤是什么？
（1）建立极坐标系，设动点坐标；
（2）找出曲线上的点满足的几何条件；
（3）将几何条件用极坐标表示；
（4）化简小结。
下结论
建立极坐标系
设点（?,?）
找?,?的关系
化简 F(?,?)=0




练 习 1
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；

(３)中心在(a,?/2)，半径为a；

(４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r。

?＝2
?＝2acos ?
?＝2asin ?
?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?０)= r2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
练 习 2
练习3

以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是
C
3．极坐标方程
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
表示的曲线是（ ）
4．圆
的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
B
B
小 结
a.在极坐标系中，点的极坐标是多值的，若点M在曲线C上，则点M的有些极坐标可能不适合曲线C的方程。
b. 圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程 可认为是圆的一般式方程。
（１）曲线的极坐标方程概念
（２）怎样求曲线的极坐标方程
（ 3）圆的极坐标方程
极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化，当研究对象与角和距离有关时，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧。在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以解决时，可转化为直角坐标方程求解。