1.4 柱坐标系与球坐标系简介 课件（26张PPT）

　柱坐标系与球坐标系简介
【课标要求】
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义。
2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式。
3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题。
【核心扫描】
柱坐标、球坐标和空间直角坐标的互化。(重点)
(1)定义：建立空间直角坐标系O?xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥ 0，0≤ θ <2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z) (z∈R)
自学导引
1．柱坐标系
表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
_____________，其中ρ≥ 0，0≤θ<2π，－∞(ρ，θ，z)
P(ρ，θ，z)
想一想　柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
提示　在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆。因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面。

ρcos θ
ρsin θ
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系
O?xyz，设P是空间任意一点，连接
OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所
夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到


OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序
数组___________表示。

这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应
关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空
间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作
_____________，其中r≥ 0，0≤ φ≤ π，0≤ θ<2π．
(r，φ，θ)
P(r，φ，θ)
r·sin φ·cos θ
r·sin φ·sin θ
1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和
竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)。
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标
系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)。
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的
连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴
的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，
即(r，φ，θ)。
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方
向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ。
名师点睛
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空
间直角坐标系中的一部分建立起来的。
空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，
(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在
空间直角坐标系中的竖坐标。
【思维导图】

题型一　将点的柱坐标化为直角坐标
将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
【例1】
根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：
【变式1】
将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：
题型二　将点的球坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
【变式2】
已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标。
题型三　将点的直角坐标化为柱坐标球坐标
【例3】
[思维启迪] 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可。
在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．
若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？
【变式3】
方法技巧——求球坐标系中两点间距离的策略
【示例】
[思维启迪] 先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解。
【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置。