1.4 柱坐标系与球坐标系简介 课件（30张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.4 柱坐标系与球坐标系简介 课件（30张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 874.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-20 08:37:38 | ||
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文档简介
柱坐标系与球坐标系简介
【课标要求】
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义．
2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．
3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题．
?【核心扫描】
柱坐标和球坐标以及空间直角坐标的互化．(重点)
(1)定义：建立空间直角坐标系O?xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________________
自学导引
(ρ，θ，z) (z∈R)
1．柱坐标系
表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
_____________，其中_____________________________ ．
(ρ，θ，z)
P(ρ，θ，z)
ρ≥0，0≤θ<2π，－∞(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的
变换公式为______________
想一想 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
提示 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面．
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系
O?xyz，设P是空间任意一点，连接
OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所
夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到
OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序
数组___________表示．
这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应
关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空
间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作
_____________，其中___________________________．
(r，φ，θ)
P(r，φ，θ)
r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π
1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和
竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标
系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的
连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的
正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即
(r，φ，θ)．
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
名师点睛
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空
间直角坐标系中的一部分建立起来的．
空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，
(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在
空间直角坐标系中的竖坐标．
【思维导图】
题型一 将点的柱坐标化为直角坐标
将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
【例1】
根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：
【变式1】
将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：
题型二 将点的球坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
【变式2】
已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
题型三 将点的直角坐标化为柱坐标球坐标
【例3】
[思维启迪] 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．
在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．
若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？
【变式3】
方法技巧——求球坐标系中两点间距离的策略
【示例】
[思维启迪] 先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解．
【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置．
1．给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．
答 以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足ρ＝r (0≤z≤h)，下底面上所有点坐标都满足z＝0(0≤ρ≤r)，上底面上所有点坐标都满足z＝h(0≤ρ≤r)．
2．举例说明柱坐标系在日常生活中的应用．
答 在圆形体育场内，确定看台上某个座位的位置；确定长方体上各点的位置等也可以使用柱坐标系．
在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？
答 在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.
在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
1．请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位
置．
2．举例说明球坐标系在日常生活中的应用．
答 1.在地面上的一点M，M点到球心的距离为ρ，M点所在经度为θ，设纬度为x，则φ＝90°－x，由此可得M的球坐标．
2．利用球坐标系可研究如航天器的位置，地球上点的位置等一些位于一个球面上的点，比较方便．
【课标要求】
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义．
2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．
3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题．
?【核心扫描】
柱坐标和球坐标以及空间直角坐标的互化．(重点)
(1)定义：建立空间直角坐标系O?xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________________
自学导引
(ρ，θ，z) (z∈R)
1．柱坐标系
表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
_____________，其中_____________________________ ．
(ρ，θ，z)
P(ρ，θ，z)
ρ≥0，0≤θ<2π，－∞
变换公式为______________
想一想 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
提示 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面．
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系
O?xyz，设P是空间任意一点，连接
OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所
夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到
OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序
数组___________表示．
这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应
关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空
间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作
_____________，其中___________________________．
(r，φ，θ)
P(r，φ，θ)
r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π
1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和
竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标
系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的
连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的
正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即
(r，φ，θ)．
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
名师点睛
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空
间直角坐标系中的一部分建立起来的．
空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，
(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在
空间直角坐标系中的竖坐标．
【思维导图】
题型一 将点的柱坐标化为直角坐标
将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
【例1】
根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：
【变式1】
将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：
题型二 将点的球坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
【变式2】
已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
题型三 将点的直角坐标化为柱坐标球坐标
【例3】
[思维启迪] 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．
在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．
若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？
【变式3】
方法技巧——求球坐标系中两点间距离的策略
【示例】
[思维启迪] 先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解．
【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置．
1．给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．
答 以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足ρ＝r (0≤z≤h)，下底面上所有点坐标都满足z＝0(0≤ρ≤r)，上底面上所有点坐标都满足z＝h(0≤ρ≤r)．
2．举例说明柱坐标系在日常生活中的应用．
答 在圆形体育场内，确定看台上某个座位的位置；确定长方体上各点的位置等也可以使用柱坐标系．
在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？
答 在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.
在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
1．请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位
置．
2．举例说明球坐标系在日常生活中的应用．
答 1.在地面上的一点M，M点到球心的距离为ρ，M点所在经度为θ，设纬度为x，则φ＝90°－x，由此可得M的球坐标．
2．利用球坐标系可研究如航天器的位置，地球上点的位置等一些位于一个球面上的点，比较方便．