2.1 曲线的参数方程 课件（22张PPT）

曲线的参数方程










1、参数方程的概念：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？
提示：
即求飞行员在离救援点的水平距离
多远时，开始投放物资？





？
救援点
投放点
1、参数方程的概念：



x
y
500
o
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？



x
y
500
o
1、参数方程的概念：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资可以使其准确落在指定位置。
一、方程组有3个变量，其中的x，y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x，y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x，y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x，y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x，y）之间有一一对应关系。
并且对于t的每一个允许值， 由方程组，所确定的点M(x，y)都在这条曲线上， 那么方程， 就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x，y的变数t叫做参变数， 简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x，y的桥梁，
1.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样。
3.在实际问题中要确定参数的取值范围。
1、参数方程的概念：
一般地， 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x， y都是某个变数t的函数

例1: 已知曲线C的参数方程是


（1）判断点M1(0， 1)，M2(5， 4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3(6， a)在曲线C上，求a的值。
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力，重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）
变式:
2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是

（ ）
练习1
A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0）
1、曲线 与x轴的交点坐标是( )


A、（1，4）；B、 C、 D、
B
D
已知曲线C的参数方程是

点M(5，4)在该 曲线上.
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程。
解:
(1)由题意可知:

1+2t=5
at2=4
解得:

a=1
t=2
∴ a=1
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为:

x=1+2t
y=t2
由第一个方程得:
代入第二个方程得:
练习2：
思考题：动点M作等速直线运动， 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 ， 运动开始时位于点P(1，2)， 求点M的轨迹参数方程。
解：设动点M (x，y) 运动时间为t，依题意，得

所以，点M的轨迹参数方程为
参数方程求法:
（1）建立直角坐标系， 设曲线上任一点P坐标为(x，y)
（2）选取适当的参数
（3）根据已知条件和图形的几何性质， 物理意义，
建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数








（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，
那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，
系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
2、圆的参数方程





y
x
o
r
M(x，y)

圆的参数方程的一般形式
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数时，要注明参数及参数的取值范围。
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6，0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y





o
x
P

M
Q
（2，1）