第三章 3.1 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018－2019学年度山东菏泽一中高二月考)如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( B )
A．a2＞a＞－a2＞－a B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
[解析] ∵a2＋a＜0，∴－1＜a＜0，取a＝－，可知－a＞a2＞－a2＞a，排除A，C，D，故选B．
2．如果a、b、c满足c
A．ab>ac B．bc>ac
C．cb2[解析] ∵c0，c<0.
∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正确．
∵b可能等于0，也可能不等于0.
∴cb23．已知：a、b、c、d∈R，则下列命题中必成立的是( B )
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c D．若a2>b2，则－a<－b
[解析] 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．
4．已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，那么下列各式正确的是( A )
A．aC．b[解析] ∵a<0，b>0，∴a又∵c－b＝7－3＝－>0，∴c>b，∴a5．已知aA．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0 D．b2－4ac的正负不确定
[解析] ∵a∴a<0，c>0，∴b2－4ac>0.
6．已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为( C )
A．P>Q B．PC．P≤Q D．无法确定
[解析] P－Q＝－a2＋a－1
＝
＝，
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0，－a2(a2＋1)≤0，
∴≤0，∴P≤Q.
二、填空题
7．若a＞b，则a3与b3的大小关系是__a3＞b3__.
[解析] a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋)2＋]，
∵a>b，∴a－b>0，(a＋)2＋>0，∴(a－b)[(a＋)2＋]>0，∴a3>b3.
8．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__x＜y__.
[解析] x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.
三、解答题
9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：
方式
效果
种类
轮船运输量(t)
飞机运输量(t)
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解析] 设需安排x艘轮船和y架飞机，则
，∴.
10．(2018－2019学年度山东日照青山中学高二月考)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
[解析] x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( B )
A．a<C．b[解析] a＝sin15°＋cos15°＝sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，∴a∴－ab＝>0，∴>ab＝sin60°×sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故a2．已知－1A．AC．A[解析] 不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此得B具体比较过程如下：
由－10，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)
＝－
＝－>0，得C>A，
∴B3．(2016·四川文，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )
(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
[解析] 设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>?x>＝＝＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．
二、填空题
4．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为__p≤q__.
[解析] p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·(－)
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
综上，p≤q.
5．a≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比较M与N大小的结果为__M＞N__.
[解析] ∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.
三、解答题
6．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[解析] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数．
(2)车队每天至少要运360 t矿石．
(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．
要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
，即.
C级 能力拔高
1．设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
[解析] 根据同底数幂的运算法则．
＝aa－b·bb－a＝()a－b，
当a>b>0时，>1，a－b>0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
当b>a>0时，0<<1，a－b<0，
则()a－b>1，于是aabb>abba.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.
2．某粮食收购站分两个等级收购小麦．一级小麦价格为a(元/kg)，二级小麦价格为b(元/kg)(b[解析] 若以a(元/kg)的价格收购小麦m(kg)，以b(元/kg)的价格收购小麦n(kg)，所需钱数设为x(元)，那么x＝am＋bn.
若以两种价格的平均数收购，所需钱数记为y(元)，那么y＝(m＋n)．
则x－y＝(am＋bn)－(m＋n)
＝(a－b)(m－n)，
∵b0，
所以当m>n时，x>y，合理；
当m当m＝n时，花钱一样多．
第三章 3.1 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( C )
A．a>b B．a＝b
C．a[解析] a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋>0，所以a2．已知a、b、c、d均为实数，有下列命题
①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①∵ab＜0，∴＜0，
又∵bc－ad＞0∴·(bc－ad)＜0即－＜0，
∴①错；
②∵ab＞0，－＞0，∴ab(－)＞0，
即：bc－ad＞0，∴②正确；
③∵－＞0∴＞0，
又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．
3．若a＝，b＝，c＝，则( C )
A．aC．c[解析] ＝＝＝log89>1，∵a>0，∴b>a.＝＝＝log2532>1.∵c>0，∴a>c，∴b>a>c.
故选C．
4．(2018－2019学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，则下列不等式中成立的是( C )
A．ab＞bc B．ac＞bc
C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c
[解析] ∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.
∴ab＞ac，故选C．
5．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( A )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M、N的大小无法确定
[解析] M－N＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝
loga，若a>1，则a3>a2，∴>1，
∴loga>0，∴M>N，若0∴00，
∴M>N，故选A．
6．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D．
[解析] 本题可用特值法：令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A中a1b1＋a2b2＝0.74；B中a1a2＋b1b2＝0.25；C中a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A．
二、填空题
7．已知a＞b＞0，且c＞d＞0，则与的大小关系是__＞__.
[解析] ∵c＞d＞0，∴＞＞0，
∵a＞b＞0，∴＞＞0，∴＞.
8．已知2b[解析] ∵2b∴<<，即－1<<2.
三、解答题
9．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[解析] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc.
又e>f，即f10．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．
[解析] (an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，
(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，
总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.
∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.
B级 素养提升
一、选择题
1．若a、b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( D )
A．a－b>0 B．a3＋b3>0
C．a2－b2<0 D．a＋b<0
[解析] 解法一：由a＋|b|<0知，a<0,0≤|b|<－a，
∴b20；
∵|b|≥b，∴a＋b≤a＋|b|<0；
∵|b|≥－b，∴a－b≤a＋|b|<0；
∵－a>|b|≥b，
∴(－a)3>b3，∴a3＋b3<0.
∴A、B、C错，D正确．
解法二：取a＝－2，b＝±1，易知a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A、B、C，故选D．
2．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( C )
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
[解析] 解法一：由a>b>0?0<<?a＋>b＋，故选C．
解法二：(特值法)令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，
b＝，排除B．
3．已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( B )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
[解析] ∵f(x)＝x3是单调递增函数，x1<－x2，x2<－x3，x3<－x1，∴f(x1)又∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
二、填空题
4．若a、b、c、d均为实数，使不等式>>0和ad[解析] 由>>0知，a、b同号，c、d同号，且－＝>0.
由ad所以在取(a、b、c、d)时只需满足以下条件即可：
①a、b同号，c、d同号，b、d异号；②ad令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，
则d<＝－，取d＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．
5．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是__p＜r＜s＜q__.
[解析] 解法一：取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r＝，s＝则p＜r＜s＜q(特值探路)．
解法二：p－r＝－＝＜0，∴p＜r.
∵a＞b＞0，m＞0，n＞0
∴a＋m＞b＋m＞0.a＋n＞b＋n＞0，
∴＜1，＞1，∴r＜s.
或r－s＝－＝＜0.
∴r＜s.s－q＝－＝＜0，
∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.
三、解答题
6．如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
[解析] 46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，
∴－18＜x－2y＜10；
∵30即＜＜.
C级 能力拔高
1．(1)已知c＞a＞b＞0.求证：＞；
(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：＞.
[解析] (1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，
?＜
?＞.
(2)证法一：－＝，
∵0＜a＜b，m＞0，∴＞0，∴＞.
证法二：＝＝1＋＝1－＞
1－＝.
证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证＞，
只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，
只需证ab＋bm＞ab＋am，只要证bm＞am，
要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，
∴原不等式成立．
2．设a＞0，a≠1，t＞0比较logat与loga的大小．
[解析] logat＝loga，
∵－＝＝，
∴当t＝1时，＝；当t＞0且t≠1时.＞.
∵当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＞loga＝logat.
当t＝1时，loga＝logat.
∵当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴当t＞0且t≠1时，loga＜loga＝logat，
当t＝1时，loga＝logat.
综上知，当t＝1时，loga＝logat；当t＞0且t≠1时，若a＞1则loga＞logat；若0＜a＜1则loga＜logat.
课件40张PPT。第 三 章不等式 化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题． 化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进而得到原问题的解. 3.1 不等关系与不等式第1课时 不等关系与不等式的性质自主预习学案
1．实数的大小
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.
(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a______b；如果a－b是负数，那么a______b；如果a－b等于零，那么a______b.
2．不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.大 > < ＝ 不等式
3．不等式的性质
(1)性质1：如果a>b，那么b______a；
如果b即a>b?b______a.
(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a______c.
即a>b，b>c?a______c.
(3)性质3：如果a>b，那么a＋c______b＋c.< > < > > > > < > > > > 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 ( )
A．M>N B．M＝N
C．MA．x＋y>120 B．x＋y<120
C．x＋y≥120 D．x＋y≤120
[解析] 由题意可得x＋y≥120，故选C．C A [解析] ∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b，
∴由不等式的性质可得ac2>bc2，故选A．> > 互动探究学案命题方向1 ?用不等式表示不等关系 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析] 应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．例题 1『规律总结』 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．〔跟踪练习1〕
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？命题方向2 ?比较数或式子的大小 已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析] ∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．例题 2『规律总结』 比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．[解析] (1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．命题方向3 ?不等式性质的应用例题 3C [分析] 判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系．『规律总结』 不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等．
1．判断不等式的真假．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式
(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
3．求取值范围
(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．例题 4错用不等式的性质致错 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．例题 5待定系数法在不等式中的应用
1．设bA．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
[解析] 由同向可加性及a>b，c>d得a＋c>b＋d.C D [解析] ∵a＞1＞b＞－1，∴0≤b2＜1，∴a＞b2，故选D．
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系为 ( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>b>－a
C．a>－b>－a>b D．a>b>－a>－b
[解析] 由a＋b>0得a>－b，
由b<0得－b>0，
∴－a∴a>－b>0>b>－a.
故选B．
B
4．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x) ______ g(x)．
[解析] f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)，
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
∴f(x)≤g(x)．≤ 课件30张PPT。第 三 章不等式3.1 不等关系与不等式第2课时 不等式性质的应用自主预习学案和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A、B、C、D，桶A、B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C、D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？
③ 解析：原解答错误：∵α<β，∴α－β<0，应选B．大 D
2．已知xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
[解析] ∵xa2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
B
3．(1)一桥头竖立的“限重40 t”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使货车总重量T不超过40 t，用不等式表示为__________；
T≤40 (2)某火腿肠的质量检查规定，每100 g火腿肠中，淀粉含量d不能超过20 g，防腐剂f含量不能超过0.5 g．用不等式组表示为____________.互动探究学案命题方向1 ?不等式的证明例题 1
命题方向2 ?利用不等式的性质求取值范围例题 2『规律总结』 求取值范围的问题要注意解题方法是否符合不等式的性质，是否使范围扩大或缩小．例题 3 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[分析] 依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．例题 4不等式的实际应用 『规律总结』 “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论．
1．若x>1>y，下列不等式不成立的是 ( )
A．x－1>1－y B．x－1>y－1
C．x－y>1－y D．1－x>y－x
[解析] 特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1<1－(－1)＝1－y，故A不正确．
A
2．若－1A．abC．a2b2>－bC B
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