第三章 3.3 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式组表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( A )
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y＜x和y≥3.
∴选A．
2．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D．
O点满足x－2y＋2≥0，排除C．∴选A．
3．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( B )
[解析] 将(±1,0)代入均满足，故选B．
4．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( C )
A．a<－7或a>24 B．－24
C．－77
[解析] 要使点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两则，必须且只需(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0即可，解得－75．不等式组表示的平面区域是一个( C )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点(0,1)代入(x－y＋5)(x＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
6．不等式组表示的平面区域的面积是( B )
A．18 B．36
C．72 D．144
[解析] 作出平面区域如图．
交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)，
∴S△ABC＝[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.
二、填空题
7．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m、n满足的条件是__5m＋4n－1≤0__.
[解析] 由题意知点P不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，即为点P在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
8．若不等式组表示的平面区域为I，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过I中的那部分区域的面积为____.
[解析] 如图所示，I为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过I中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2，0)，O(0,0)，C(0,1)，D(－，)，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
三、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，
x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分．
B级 素养提升
一、选择题
1．不等式组表示的平面区域是( B )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域，且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
2．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2?3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2 000元，由题意得50x＋40y≤2 000即5x＋4y≤200.x、y表示人数∴x、y∈N*，∴答案为C．
二、填空题
3．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝__3__.
[解析] 由条件知，＝，∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，∴3＋a－3＞0，
∴a＞0，∴a＝3.
4．不等式组表示的平面区域的面积为__4__.
[解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
由，得A(8，－2)．
由x＋y－2＝0得B(0,2)．又|CD|＝2，
故S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.
三、解答题
5．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
[解析] (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示x＋2y＋1与x－y＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组，与在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．
在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断．
不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0的右上方区域，x＋2y＋1＜0表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域；x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0的左上方区域，x－y＋4＞0表示直线x－y＋4＝0的右下方区域．
所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．
C级 能力拔高
1．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
[解析] (1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由，解得A(4，－4)，
由，
解得B(4,12)，由，解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得，即，
∴.
∴t＝－1,0,1,2,3,4.故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
2．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虚可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．
[解析] 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知.
上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．
第三章 3.3 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2017·山东文，3)已知x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值是( D )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析] 画出可行域(如图阴影部分所示)．
画直线l0：x＋2y＝0，平移直线l0到直线l的位置，直线l过点M．
解方程组，得点M(－1,2)．
∴当x＝－1，y＝2时，z取得最大值，且zmax＝－1＋2×2＝3．
故选D．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( B )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
[解析] 可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1．
3．已知x、y满足约束条件，则z＝2x＋4y的最小值为( B )
A．5 B．－6
C．10 D．－10
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6．
4．(2017·山东理，4)已知x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最大值是( C )
A．0 B．2
C．5 D．6
[解析] 如图所示，先画出可行域，
作出直线l：x＋2y＝0．
由，
解得．
∴A(－3,4)．
由图可知平移直线l至过点A时，z取得最大值，
zmax＝－3＋2×4＝5．
故选C．
5．设x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y( A )
A．有最小值2，无最大值 B．有最大值3，无最小值
C．有最小值2，最大值3 D．既无最小值，也无最大值
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象．
当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．
6．实数x、y满足，则z＝x＋2y的最小值是( A )
A．－1 B．
C．5 D．1
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，
平移直线x＋2y＝0知，当z＝x＋2y经过点A(1，－1)时，取得最小值，∴zmin＝1－2＝－1．
二、填空题
7．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为__[－1,3]__．
[解析] 画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，
∴－1≤z≤3．
8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是____．
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．
不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．
故|OM|的最小值为＝．
三、解答题
9．若非负变量x、y满足约束条件，求x＋y的最大值．
[解析] 由题意知x、y满足的约束条件．
画出可行域如图所示．
设x＋y＝t?y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．
作直线l0：x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A(4,0)时， t取最大值4.∴x＋y的最大值为4．
B级 素养提升
一、选择题
1．若x、y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( A )
A．(－4,2) B．(－1,2)
C．(－4,0) D．(－2,4)
[解析] 作出可行域如图所示，由已知可得：－1<－<2，即－42．已知点P(x，y)的坐标满足条件，那么x2＋y2的取值范围是( D )
A．[1,4] B．[1,5]
C．[，4] D．[，5]
[解析] 不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分，显然，原点O到直线2x＋y－2＝0的距离最小，为＝，此时可得(x2＋y2)min＝；点(1,2)到原点O的距离最大，为＝，此时可得(x2＋y2)max＝5.故选D．
二、填空题
3．已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是____．
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，
∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，
直线x＝1与y＝1垂直，
∴|MN|的最大值是|AB|＝＝．
4．(2016·全国卷Ⅲ文，13)设x、y满足约束条件，则z＝2x＋3y－5的最小值为__－10__．
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．
三、解答题
5．若x、y满足，求z＝2x＋y的最大值．
[解析] 不等式组，表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
由，解得，故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1,2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4．
∴z＝2x＋y的最大值是4．
6．在平面直角坐标系中，不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y的最大值．
[解析] 由题意得：
S＝×2a×a＝4，∵a>0，∴a＝2．
设z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
由，得(2,2)，即z在(2,2)处取得最大值6．
C级 能力拔高
1．已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件，求z＝·的最大值．
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0,1)，z＝·＝x＋2y，平移直线x＋2y＝0，显然当直线z＝x＋2y经过点B时，z取得最大值，且zmax＝2．
2．设x、y满足条件．
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．
(1)令x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．
由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
由，解得．
∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0．
(2)v＝表示可行域内的点(x，y)和定点D(5,0)的连线的斜率，
由图可知kBD最大，kCD最小．
由，解得.∴B(3，－3)．
∴vmax＝＝，vmin＝＝－4．
第三章 3.3 第3课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2016·浙江文，4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,2)、B(2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B．
2．(2015·天津文，2)设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝3x＋y的最大值为( C )
A．7 B．8
C．9 D．14
[解析] z＝3x＋y＝(x－2)＋(x＋2y－8)＋9≤9，当x＝2，y＝3时取得最大值9，故选C．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．
3．(2017·浙江卷，4)若x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的取值范围是( D )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4，所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．
故选D．
二、填空题
4．(2015·全国Ⅰ理，15)若x、y满足约束条件，则的最大值为__3__．
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
5．已知x、y满足，且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝__0__．
[解析] 由条件作出可行域如图．
根据图象知，目标函数过x＋y＋k＝0与x＝3的交点(3，－3－k)时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0．
三、解答题
6．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.(x∈N，y∈N)
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．
7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知，目标函数为z＝320x＋504y(其中x、y∈N)．作出可行域如图所示．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2 560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2015·湖南文，4)若变量x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为( A )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，∴，
∴A(0,1)，∴z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1，故选A．
2．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( C )
A．2 800元 B．2 400元
C．2 200元 D．2 000元
[解析] 设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y．
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．
3．已知实数x、y满足，若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为( C )
A．4 B．3
C．2 D．－
[解析] 表示的可行域如图中阴影部分所示．
将直线l0：2x＋y＝0向上平移至过点A，B时，z＝2x＋y分别取得最小值与最大值．由得A(m－1，m)，由得B(4－m，m)，所以zmin＝2(m－1)＋m＝3m－2，zmax＝2(4－m)＋m＝8－m，所以zmax－zmin＝8－m－(3m－2)＝10－4m＝2，解得m＝2.故选C．
4．一个农民有2亩田，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400 kg；若种花生，则每亩每期产量为100 kg，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，则这位农民种植这两种植物所获取的最大利润为( B )
A．1 600元 B．1 650元
C．1 700元 D．1 750元
[解析] 设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得，
而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y(目标函数)．
作出可行域如图所示，
联立，
得交点B(1.5,0.5)．
故当x＝1.5，y＝0.5时，
Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1 650(元)
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大，最大利润为1 650元．
二、填空题
5．(2015·全国Ⅱ文，14)若x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为__8__．
[解析] 不等式组表示的可行域是以A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)为顶点的三角形区域，z＝2x＋y的最大值必在顶点C处取得，即x＝3，y＝2时，zmax＝8．
6．福建武夷山市南岩茶叶精制厂用茶叶由甲车间加工出红茶，由乙车间加工出绿茶．甲车间加工一箱茶叶需耗费工时10h，可加工出7kg红茶，每千克红茶获利40元；乙车间加工一箱茶叶耗费工时6h，可加工出4kg绿茶，每千克绿茶获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多20箱茶叶的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480h，甲、乙两车间每天总获利最大值为__15_200__元．
[解析] 设甲车间加工茶叶x箱，乙车间加工茶叶y箱，甲、乙两车间每天总获利为z元，则
，即．
目标函数z＝280x＋200y，x、y∈N，作出可行域，即如图(阴影部分)所示中的整数点．
当z＝280x＋200y对应的直线过直线x＋y＝70与5x＋3y＝240的交点时，目标函数z＝280x＋200y取得最大值．
由，得.故zmax＝280×15＋200×55＝15 200(元)，即甲、乙两车间每天总获利最大值为15 200元．
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
C级 能力拔高
1．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y．
x、y应满足，
即，
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．
2．某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金(百元)
电子琴(架)
洗衣机(台)
月资金供
应量(百元)
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
/
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
[解析] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，
则根据题意，有，
作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分
令z＝0，作直线l：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0．
当移动直线l过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．
解方程组，得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96．
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．
课件34张PPT。第 三 章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域自主预习学案
1．二元一次不等式(组)
(1)定义：我们把含有________未知数，并且未知数的次数是_____的不等式称为__________________；把由几个__________________组成的不等式组称为二元一次不等式组．
(2)解集：满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的________称为二元一次不等式(组)的解集．有序数对可以看成是直角坐标平面内点的________.于是，二元一次不等式(组)的________就可以看成直角坐标内的点构成的集合．两个 1 二元一次不等式 二元一次不等式 集合 坐标 解集
2．平面区域
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线____________________某一侧所有点组成的平面区域，直线____________________某一侧所有点组成的平面区域，直线Ax＋By＋C＝0称为这个平面区域的________.这时，在平面直角坐标系中，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线，以表示区域__________边界；而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________.
Ax＋By＋C＝0 Ax＋By＋C＝0 边界 不包括 实线
(2)判断方法：只需在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________就可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
特别地，当C≠0时，常取______________作为测试点；当C＝0时，常取(0,1)或(1,0)作为测试点．符号 原点(0,0) 1．下列各式中，不是二元一次不等式的是 ( )
A．－x－y＋2<0 B．2x＋y－1>0
C．y2≥2x D．x＋2y>1－3x－y
[解析] 选项C中，y的最高次数是2，不符合二元一次不等式的定义，故选C．C
2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是 ( )
A．a<0或a>2 B．a＝0或a＝2
C．0[解析] 设F(x，y)＝x＋y－a，由题意知F(0,0)·F(1,1)<0，即－a(2－a)<0，∴0C
3．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是 ( )
A．x－y＋1<0 B．2x＋3y－6>0
C．2x＋5y－10≥10 D．4x－3y≤12
[解析] 当x＝0，y＝0时，4x－3y≤12成立，故选D．D 6 互动探究学案命题方向1 ?二元一次不等式表示的平面区域 画出不等式2x＋y－6≤0表示的平面区域．例题 1[解析] 先画直线2x＋y－6＝0(画成实线)，把原点(0,0)，代入2x＋y－6.
因为2×0＋0－6＝－6<0，
所以(0,0)在2x＋y－6≤0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图所示．『规律总结』 由于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点(x0，y0)，把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．〔跟踪练习1〕
画出不等式－x＋2y－4＜0表示的平面区域．
[解析] 先画直线－x＋2y－4＝0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以，不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示．命题方向2 ?二元一次不等式组表示的平面区域例题 2[分析] 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．[解析] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界)．『规律总结』 1.在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判断．[解析] 不等式2x－y－1≥0表示的平面区域是直线2x－y－1＝0下方区域(包括直线上的点)；不等式x>－y即x＋y>0，表示的区域是直线x＋y＝0上方区域(不包括直线)；x≤3表示的区域为直线x＝3的左侧区域(包括直线)；不等式组表示的区域为三个平面区域的公共部分，如图中的阴影部分．命题方向3 ?用二元一次不等式组表示已知平面区域 画出以A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)为顶点的△ABC的区域(包括边界)，用二元一次不等式组表示该区域．
[分析] 利用直线方程的点斜式，可求得边界所在的直线方程，取△ABC内的特殊点检验，可得所求不等式组．例题 3[解析] 如图所示，则直线AB、BC、CA所围成的区域就是所求△ABC的区域，直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.『规律总结』 已知平面区域，用不等式(组)表示，其一般步骤是
①求出边界的直线方程；
②确定不等号，从平面区域内不在所有直线上的点中任取一点，将其坐标代入直线方程判断符号确定不等号．〔跟踪练习3〕
试用不等式组表示由x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)．
[解析] 直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0,2x＋y＋1＝0表示的三角形区域如图阴影部分所示．例题 4忽略边界虚实、位置不明致使表示平面区域失误 [错解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．[辨析] 错解中，画图时没有注意边界的虚实，且位置不明而致误．[正解] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．例题 5求平面区域的面积 B [分析] 首先画出不等式组表示的平面区域，求出各直线的交点，再结合平面区域的形状确定直接求面积不是先分割再求面积．
1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的 ( )
A．左上方 B．右上方
C．左下方 D．右下方
[解析] 将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0，可知(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧，则所求区域在对应直线的右下方．D
2．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的点是 ( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
[解析] x＝0，y＝0时，3x＋2y<6成立，
x＝1，y＝1时，3x＋2y<6成立，
x＝0，y＝2时，3x＋2y<6成立，
x＝2，y＝0时，3x＋2y<6不成立．
故选D．D B [解析] 将(0,0)代入检验知点(0,0)满足x＋3y－6≤0，平面区域应在直线x＋3y－6＝0的下方，点(0,0)不满足x－y＋2<0，故平面区域应在直线x－y＋2＝0的上方，结合图形知选B．2 课件42张PPT。第 三 章不等式3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第2课时 线性规划的概念自主预习学案战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己的下等马对国王的上等马，用自己的上等马对国王的中等马，用自己的中等马对国王的下等马，这样田忌以2∶1取得了胜利，这个故事讲述了规划的威力．实际生产生活中，我们常常希望以最少的投入获得最大的回报．线性规划提供了解决优化问题的有效工具．线性规划中的基本概念二元一次 一次函数 解 集合 可行解 D [解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z．
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3．
故选D．A A 3 [解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当直线l0经过平面区域内的点A(2，－1)时，z取最大值2×2－1＝3．互动探究学案命题方向1 ?求线性目标函数的最值问题例题 1[分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．
[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．『规律总结』 (1)解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
(2)要注意直线斜率的大小．D 命题方向2 ?简单的线性规划中的整数解[分析] 先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x、y是整数，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线7x＋5y＝0平行的直线再进行观察．例题 2『规律总结』 在求解最优解为整数点的题型时，若最优解不在直线的交点处，应考虑可行域中距离邻近最优解的边界线附近的整点，比较后作出正确的解答．D 命题方向3 ?非线性目标函数的最值问题例题 3『规律总结』 求非线性目标函数的最值，要注意分析充分利用目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系．C D 例题 4[错解] 由题意，作出可行域如图所示．[辨析] 作图不准确．目标函数变形后对应的直线画的方向不准确，导致求最优解时，对应点的位置找错．[警示] 在求目标函数的最优解时，必须准确地作出可行域以及目标函数对应的直线，最为关键的是弄清楚这些直线斜率之间的关系．例题 5已知目标函数的最值求参数 D B D [解析] 画出可行域，如图中阴影所示．
又目标函数z＝x＋y，
结合图象易知y＝－x＋z过(0,3)点时z取得最大值，
即zmax＝0＋3＝3．
故选D．A [5,7) 