第三章 3.4 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( D )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[解析] ∵2x>0,2y>0，∴2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时，等号成立)，
∴≤，∴2x＋y≤，∴x＋y≤－2．
2．(2018－2019学年度山东昌乐一中高二月考)设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值为( A )
A． B．
C． D．4
[解析] ∵2a＋3b＝6，∴＋＝1，
∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
3．(2018－2019学年度江西戈阳一中高二月考)下列结论正确的是( D )
A．当x＞0，x≠1时，lgx＋≥2
B．当x≥2时，x＋的最小值为2
C．当x∈R时，x2＋1＞2x
D．当x＞0时，＋的最小值为2
[解析] 当0＜x＜1时，lgx＜0，排除A；当x≥2时，y＝x＋单调递增，ymin＝2＋＝，排除B；当x＝1时，x2＋1＝2x，排除C，故选D．
4．函数f(x)＝的最大值为( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝．
当t＝0时，f(x)＝0；
当t>0时，f(x)＝＝．
∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为．
5．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( D )
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析] 由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4．
6．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( A )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
[解析] ∵x<0，∴f(x)＝2x＋－1
≤－2－1
＝－2－1，
等号在－2x＝，即x＝－时成立．
∴f(x)有最大值．
二、填空题
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__[，＋∞)__．
[解析] 令f(x)＝(x>0)
＝≤＝，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
∴a≥f(x)max＝．
8．已知正数x、y满足x＋2y＝2，则的最小值为__9__．
[解析] 因为x、y为正数，且x＋2y＝2，所以＝(＋)·(＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝4y＝时，等号成立，所以的最小值为9．
三、解答题
9．已知x>0，y>0．
(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．
[解析] (1)∵x>0，y>0，
由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·．
又∵2x＋5y＝20，
∴20≥2·，
∴≤，∴xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
由，解得．
∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10．
这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1．
∴当x＝5，y＝2时，umax＝1．
(2)由已知，得x·y＝100，
5x＋2y≥2＝2＝20．
∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，
y＝5时，等号成立．
所以5x＋2y的最小值为20．
10．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．
[解析] 设一条直角边长为x cm，(0
面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)
等号在x＝10－x即x＝5时成立，
∴面积最大时斜边长L＝＝
＝5(cm)．
B级 素养提升
一、选择题
1．若0A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
[解析] 解法一：∵0∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，
∴a＋b>a2＋b2，故选D．
解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．
2．(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( B )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
[解析] ∵这两年的平均增长率为x
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0．
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤，
等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B．
3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( A )
A． B．－
C．1 D．－1
[解析] 由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2．
∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为．
二、填空题
4．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__3__．
[解析] y＝x－4＋＝x＋1＋－5，
因为x>－1，所以x＋1>0，>0，
所以由均值不等式得y＝x＋1＋－5
≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3．
5．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是__1__．
[解析] ∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋
＝4x－5＋＋3＝3－
≤3－2＝1，
等号在5－4x＝，即x＝1时成立．
三、解答题
6．已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求(a＋)2＋(b＋)2的最小值．
[解析] (a＋)2＋(b＋)2
＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)(1＋)＋4
＝(1－2ab)(1＋)＋4，
∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴ab≤()2＝，
∴1－2ab≥1－＝，且≥16,1＋≥17．
∴原式≥×17＋4＝(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴(a＋)2＋(b＋)2的最小值是．
C级 能力拔高
1．求函数y＝1－2x－的值域．
[解析] y＝1－2x－＝1－(2x＋)．
①当x>0时，2x＋≥2＝2．
当且仅当2x＝，即x＝时取等号．
∴y＝1－(2x＋)≤1－2．
②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．
∵－2x＋(－)≥2＝2．
当且仅当－2x＝－时，即x＝－时取等号．
∴此时y＝1－2x－≥1＋2
综上知y∈(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
∴函数y＝1－2x－的值域为(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
2．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
[解析] 设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，
故有y＝＋100x
≥2＝24 000(元)．
当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．
所以只需每批购入120台，可使资金够用．
第三章 3.4 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( C )
A．5 B．4
C．2 D．1
[解析] 由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝，
∴k1k2＝＝－1，
∴b＝>0，∴|ab|＝||＝|a|＋≥2，等号成立时|a|＝，∴a＝±1，b＝2，
∴|ab|的最小值为2．
2．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则的最小值为( B )
A． B．
C．2 D．4
[解析] ∵2是2a与b的等差中项，
∴2a＋b＝4．
又∵a>0，b>0，
∴2ab≤()2＝()2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号．
∴≥.故选B．
3．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
[解析] 设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．
4．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( A )
A．7 B．3
C．1＋2 D．5
[解析] 由已知得x＋3y＝2,3x>0,27y>0，
∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，
当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．故选A．
二、填空题
5．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为__－1__．
[解析] ∵x<3，∴x－3<0．
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1．
6．某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是__乙__．
[解析] 设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋%)2，因为≤＝1＋%，因为p>q>0，所以<1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋%)2，所以提价多的方案是乙．
三、解答题
7．(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
[解析] 设矩形的一边长为x m，则另一边长为 m，因此种植蔬菜的区域宽为(x－4) m，长为(－2) m．
由，得4所以其面积S＝(x－4)·(－2)＝808－(2x＋)
≤808－2＝808－160＝648(m2)．
当且仅当2x＝，即x＝40∈(4,400)时等号成立．
因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2．
8．已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c．
[证明] ∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，(当且仅当a＝b＝c时上式等号成立)
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018－2019学年度贵州凯里一中高二月考)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为( D )
A． B．3
C．5 D．9
[解析] ∵a＋b＝1，∴＋＝(＋)·(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立，
由，得．
2．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有( B )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B．
二、填空题
3．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__1_760__元．
[解析] 设水池池底的一边长为 x m，则另一边长为 m，则总造价为：
y＝480＋80××2＝480＋320
≥480＋320×2＝1 760．
当且仅当x＝ 即x＝2时，y取最小值1 760．
所以水池的最低总造价为1 760元．
4．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__[9，＋∞)__．
[解析] ∵a、b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9．
三、解答题
5．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
[解析] (1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy．
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320．
∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2＝12．
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0．
∴0<≤10，∴0(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100．
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m．
6．已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥10．
[解析] (a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
＝4＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥10．
C级 能力拔高
1．(2018－2019学年度山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝－(10＜x＜100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润＝销售收入－成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；
(2)为了让年利润W不低于2 360万元，求年产量x的取值范围．
[解析] (1)W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋4 360
＝－(＋16x)＋4 360(10＜x＜100)，
∵＋16x≥2＝1 600．
当且仅当x＝50时，“＝”成立，
∴W≤－1 600＋4 360＝2 760，即年利润的最大值为2 760万元．
(2)W＝－－16x＋4 360≥2 360，
整理得x2－125x＋2 500≤0．
解得：25≤x≤100.又10＜x＜100.∴25≤x＜100．
故为了让年利润W不低于2 360万元，年产量x的范围是[25,100)．
2．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t，最多为600 t，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解析] (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理为400 t时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元．
(2)不获利．
设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．
课件34张PPT。第 三 章不等式第1课时 基本不等式自主预习学案右图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥_________，当且仅当__________时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有__________，当且仅当__________时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得__________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得__________．2ab a＝b a＝b 最大值 最小值 C
2．设x、y满足x＋y＝40，且x、y都是正数，则xy的最大值是 ( )
A．400 B．100
C．40 D．20A D ①③ 互动探究学案命题方向1 ?利用基本不等式求函数的最值例题 1
C 20 命题方向2 ?变形技巧：“1”的代换例题 2[分析] 要求x＋y的最小值，根据均值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．
6 18 例题 3忽视等号成立的条件而致误 例题 4利用基本不等式比较数的大小 m>n [分析] 解答本题先根据不等式求出m的取值范围，然后根据指数函数性质求出n的取值范围，进而比较m，n的大小．B D
3．已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为 ( )
A．100 B．75
C．50 D．25D 4 课件30张PPT。第 三 章不等式第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题自主预习学案一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？
C B
3．已知正数a、b满足a＋b＝8，则＋的最大值为_____．4 4．已知a>2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)<1．互动探究学案命题方向1 ?不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
[分析] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．例题 1[证明] 先证a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，
∴a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2a2，
∴a4＋b4＋c2≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
再证a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，
∵a2b2＋b2c2＝b2(a2＋c2)≥2ab2c(等号在a＝c时成立)．
同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，(等号在b＝c时成立)．
b2c2＋a2c2≥2abc2，(等号在a＝b时成立)．
三式相加得：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)，(等号在a＝b＝c时成立)．『规律总结』 证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．[点评] 不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两次使用基本不等式等号不能同时成立的情形，要通过合理的变形，“重新组合”或者“1的代换”等技巧．构造能够运用基本不等式的条件．命题方向2 ?求参数的取值范围问题例题 2『规律总结』 1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆．例题 4忽视等号成立的条件而致误 [辨析] 误解中忽视了判定等号是否成立．例题 4均值不等式在实际问题中的应用 D A
3．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是 ( )
A．100 B．50
C．20 D．10B 36 