第一章 1.2 第1课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为( D )
A．10 km B． km
C．10 km D．10 km
[解析] 在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°
＝100＋400－2×10×20×(－)＝700，
∴AC＝10，即A、C两地的距离为10 km．
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )
A．γ，c，α B．b，c，α
C．c，α，β D．b，α，γ
[解析] 本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )
A．5 n mlie B．5 n mlie
C．10 n mlie D．10 n mlie
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300 m和500 m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为( C )
A．500 m B．600 m
C．700 m D．800 m
[解析] 根据题意画出图形如图．
在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝3002＋5002－2×300×500×(－)
＝490 000，∴AB＝700(m)．
5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120 m由此可得河宽为(精确到1m)( C )
A．170 m B．98 m
C．95 m D．86 m
[解析] 在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝＝40．
设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，
∴h＝BC·sin∠CBA＝40×sin75°≈95(m)．
6．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( B )
A． km B． km
C． km D． km
[解析] 由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝ km．
二、填空题
7．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是____km．
[解析] 如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得＝，从而AC＝·＝(km)．
8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝____cm．
[解析] 如图，
由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°.∠B＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴x＝＝＝．
三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
[解析] 在△ACD中，∠CAD＝60°，
AD＝＝CD．
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，
∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，AB＝＝CD
＝1 000(m)．
10．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
[解析] 在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝＝ ≈7.787(n mile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(n mile)．
∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为( D )
A．2 km B．3 km
C． km D． km
[解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，
∴AB＝．
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( A )
A． n mile/h B．34 n mile/h
C． n mile/h D．34 n mile/h
[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．
3．如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是( B )
A．10 km B．10 km
C．15 km D．15 km
[解析] 在△ABC中，BC＝40×＝20( km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
则A＝180°－(30°＋105°)＝45°．
由正弦定理，得
AC＝＝＝10( km)．
二、填空题
4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过____min，海盗船到达商船．
[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝＝＝．
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．
5．如图，一艘船上午8∶00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4 n mile，则此船的航行速度是__16__n mile/h．
[解析] 在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，
∴∠ASB＝45°，
∵BS＝4，＝，
∴AB＝＝＝8，
∵上午8∶00在A地，8∶30在B地，
∴航行0.5小时的路程为8 n mile，
∴此船的航速为16 n mile/h．
三、解答题
6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
[解析] 由题意可得DE2＝502＋1202＝1302，
DF2＝1702＋302＝29 800，
EF2＝1202＋902＝1502，
由余弦定理，得cos∠DEF＝．
C级 能力拔高
1．为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A到点M、N的俯角α1、β1；点B到点M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图)．
②第一步：计算AM，由正弦定理，得AM＝；
第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理，得
MN＝．
方案二：①需要测量的数据有：点A到点M、N的俯角α1、β1；点B到点M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图)．
②第一步：计算BM，由正弦定理，得BM＝；
第二步：计算BN，由正弦定理，得BN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理，得
MN＝．
2．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10 n mile，小船甲从海岛B以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h的速度移动．
(1)经过1 h后，甲、乙两小船相距多少海里？
(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．
[解析] 经过1 h后，甲船到达M点，乙船到达N点，
AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×＝52．
所以MN＝2．
所以经过1 h后，甲、乙两小船相距2海里．
(2)设经过t(0
则t＝＝＝<5．
答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．
第一章 1.2 第2课时
A级 基础巩固
一、选择题
1．某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( A )
A．100 m B．100 m
C．50(＋) m D．200 m
[解析] 如图，由条件知，
AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)
＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(＋)，
CD＝100cos75°＝25(－)，
BD＝＝＝25(3＋)．
∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．
2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( D )
A．10 m B．20 m
C．20 m D．40 m
[解析] 设AB＝x m，则BC＝x m，BD＝x m，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，
∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．
3．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( A )
A． min B． h
C．21.5 min D．2.15 h
[解析] 当时间t<2.5 h时，如图．
∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t．
在△BCD中，利用余弦定理，得
CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100．
当t＝＝(h)，即 min时，CD2最小，即CD最小为．
当t≥2.5 h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，
故距离最近时，t<2.5 h，即t＝ min．
4．(2018－2019学年度湖南武冈二中高二月考)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( A )
A． m B． m
C．200 m D．200 m
[解析] 如图，
由题意可知，∠ABC＝30°，AB＝200，
∴AC＝200tan30°＝．
过点D作DE⊥AB，E为垂足，在△DEB中，
DE＝，∠DBE＝60°，
∴BE＝＝，
∴塔高CD＝AB－BE＝ m．
5．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( D )
A．10 m B．100 m
C．20 m D．30 m
[解析] 设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，
∴BC＝30．
6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( D )
A．500 m B．200 m
C．1 000 m D．1 000 m
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝
＝1 000，
∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．
二、填空题
7．一树干高15 m，被台风吹断并歪倒，折断部分(长5 m)与残存树干成120°角，树干折断处距离地面的高度是____m.(不求近似值)
[解析] 如图，大树折断部分BC＝5 m，殊存树干为AB，折断部分与残存树干所成的角为∠ABC＝120°．
作AD⊥CB交CB延长线于点D，
作BE⊥AC于点E，BE的长为树干折断处距离地面的高度．
∵树干高15 m，∴AB＋BC＝15(m)，
∴AB＝15－BC＝10(m)．
∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°．
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝30°．
∴BD＝AB＝5(m)．
∴AD＝＝＝5(m)．
∴CD＝CB＋BD＝10(m)．
∴AC＝＝＝5(m)，
∵S△ABC＝AC·BE＝BC·AD，
∴BE＝＝＝(m)．
8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着__北偏东30°__方向前进，才能最快与乙船相遇？
[解析] 如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝．
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°．
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
三、解答题
9．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[解析] 设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝．
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．
∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
∴＝，∴sin∠BCD＝，
∴∠BCD＝30°．
故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．
B级 素养提升
一、选择题
1．渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( C )
A．14.5 km/h B．15.6 km/h
C．13.5 km/h D．11.3 km/h
[解析] 由物理学知识，
画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，
∠BAD＝120°.在?ABCD中，D＝60°，
在△ADC中，由余弦定理，得
AC＝
＝＝≈13.5(km/h)．
故选C．
2．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( C )
A．15 m B．5 m
C．10 m D．12 m
[解析] 如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h．
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h．
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为( D )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．30 m
[解析] 设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos∠PBA＝， ①
cos∠PBC＝. ②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，
即建筑物的高度为30 m．
二、填空题
4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝__30°__．
[解析] 如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，
∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，
cos∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°．
5．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝__150__ m ．
[解析] 如图，
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100．
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°．
由正弦定理知＝，∴AM＝100．
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．
三、解答题
6．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
[解析] (1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784．
解得BC＝28．
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝．
即sinα＝＝＝．
C级 能力拔高
1．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．
问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
[解析] 如图，设台风中心经过t h到达B点，由题意：
∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，
由余弦定理，得
SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB
＝3002＋(30t)2－2·300·30tcos60°．
若S岛受到台风影响，则应满足条件
|SB|≤270即SB2≤2702，
化简整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－≤t≤5＋，
所以从现在起，经过(5－)h S岛开始受到影响，(5＋)h后影响结束，持续时间：
(5＋)－(5－)＝2(h)．
答：S岛从现在起经过(5－)h受到台风影响，且持续时间为2 h．
2．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°．
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)
[解析] (1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100(m)，
∠BDC＝45°－30°＝15°，由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝
＝＝50(－1)(m)，
在Rt△ABE中，tanα＝，
∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，
这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝×60＝×60＝(min)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，
所以AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－)m．
课件37张PPT。第 一 章解三角形1.2 应用举例第1课时 距离问题自主预习学案滑冰是一项集力量、耐力和速度于一身的运动项目．在第21届温哥华冬奥会上，有两个滑冰者甲和乙位于冰面上A、B两点，A与B相距100 m．如果甲从A出发，以8 m/s速度沿着一条与AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7 m/s的速度沿着与甲相遇的最短直线滑行．
那么相遇时，甲滑行了多远呢？1．基线的概念
(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的________叫做基线．
(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的____________，使测量具有较高的__________.一般来说，基线越长，测量的精确度越______．
2．实际测量距离中，常用的名称术语
(1)方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫__________．
(2)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫__________.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述． 线段 基线长度 精确度 高 方位角 方向角 A C [解析] 设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45海里后至C处，如图所示：3．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是_______ km.(精确到0.1 km)5.2 4．已知目标A的方位角为135°，请画出其图示．
[解析] 如图所示：5．请分别画出北偏东30°，南偏东45°的方向角．
[解析] 如图所示：互动探究学案命题方向1 ?不易到达点测量距离问题例题 1『规律总结』 (1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解；
(2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、∠ACB和AC，用正弦定理解决．
(3)当两点A、B都不可到达时，选取对A、B可视的点C、D测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠DBC和CD，用正弦定理和余弦定理求解．〔跟踪练习1〕
如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为 ( )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，bC 命题方向2 ?正、余弦定理在航海距离测量中的应用 某海域中有一小岛A，已知A岛四周8n mile内有暗礁．今有一艘货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°方向上，航行20n mile后，望见此岛在北偏东30°方向上．若货轮不改变航向继续前进，则有无触礁的危险？
[分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与8 n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与8 n mile比较大小即可．例题 2『规律总结』 常见的航海测量距离问题有：
(1)沿某航向航行，有无触礁危险，只要求出礁石到航线的距离即可；
(2)追及问题
如图：
轮船甲沿AB方向航行，快艇乙从C地出发，沿什么方向出发能尽快追上甲？
解题要点是两船航行时间相同．
[分析] (1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；
(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可． 某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？例题 3[辨析] 本题在解△ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理求AD，产生了增解．例题 4函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用 [分析] (1)利用正弦定理求出AB的长．(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式，利用关系式求最值．1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的 ( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．D B 100 n mile或200 n mile [解析] 由题意，画出示意图，如图所示．课件43张PPT。第 一 章解三角形1.2 应用举例第2课时 高度、角度问题自主预习学案“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度的呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？在浩瀚无垠的海面上，航海人如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？1．仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫________，目标视线在水平线下方时叫________，如图所示．仰角 俯角 2．视角
观察物体的两端视线张开的角度，叫做________．
3．坡角、坡比
(1)坡角：坡面与__________的夹角．如下图中的角α．视角 水平面 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为 ( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
[解析] 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，平行线之间，内错角相等，α＝β，故应选B．B 2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角α为30°，沿倾斜角β为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角γ为60°，则山高h等于 ( )A 30° 10 m 4．在点A处观察一物体的视角为50°，请画出示意图．
[解析] 如图所示．互动探究学案命题方向1 ?利用仰角测量高度[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．例题 1『规律总结』 测量高度的方法
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．构造三角形的方法常见的有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解．D 命题方向2 ?利用俯角测量高度 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD．
[分析] 为求山高CD，可解Rt△CAD，其中已知∠CAD＝β，故只需再求出一条边长．由于已知BC＝h，结合条件知可解△ABC，求得AC．例题 2『规律总结』 解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解满足条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形．2 km 命题方向3 ?测量角度问题 如图所示，当甲船位于A处时，获悉在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10 n mile的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?例题 3[点评] 为什么作辅助线CM？∠ACB并不是要求的结果，题目要求的方位角是北偏东多少度，需要作出正北方向线．在点C正北方向线与CB所成的角才是要求的角，即∠BCM．『规律总结』 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．〔跟踪练习3〕
我缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向，距小岛A 12 n mile的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西10°方向行驶，测得其速度为每小时10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38°≈0.62)[解析] 如下图所示，AC所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时x n mile，则BC＝2x，AC＝20．
依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°， 已知A船在灯塔C北偏东80°处，距离灯塔C 2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3 km，求B到C的距离．例题 4[错解] 如图所示，
由题意知AB＝3 km，AC＝2 km，∠ACB＝120°．[辨析] 错解中忽视了边AB为最大边，故BC[分析] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．例题 5不确定航向的角度问题1．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为 ( )
A．700 m
B．640 m
C．600 m
D．560 mC 2．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B、C的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h，则两个场馆B、C间的距离为 ( )B 4．A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中点D是点C在水平面的垂足，求山高CD．
[解析] 如图，因为CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．