2018-2019学年人教A版数学必修五同步配套练习：学业质量标准检测（解三角形、数列部分） Word版含解析

学业质量标准检测(解三角形、数列部分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，已知2a2＝c2＋(b＋c)2，则∠A的值为(　D　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．120° D．135°
[解析]　由已知得2a2＝c2＋2b2＋c2＋2bc，
∴a2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，
又b2＋c2－a2＝2bccosA，
∴2bccosA＝－bc，∴cosA＝－，∴A＝135°.
2．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是(　C　)
A．第11项 B．第12项
C．第13项 D．第14项
[解析]　由an＝a1＋(n－1)d，得an＝－7n＋88，
令an≥0，解得n≤＝12.
而a12＝4，a13＝－3，
故a13的值最接近零．
3．在△ABC中，∠A＝60°，a＝，b＝4.满足条件的△ABC(　A　)
A．无解 B．有一解
C．有两解 D．不能确定
[解析]　4×sin60°＝2＝，
∵<，
即a4．等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和S9等于(　B　)
A．66 B．99
C．144 D．297
[解析]　设bi＝ai＋ai＋3＋ai＋6，则由条件知{bn}为等差数列，且b1＝39，b3＝27，∴公差d＝＝－6，∴数列{an}前9项的和a1＋a2＋…＋a9＝b1＋b2＋b3＝3b2＝3(b1＋d)＝3×(39－6)＝99.
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A>B，则一定有(　B　)
A．cosA>cosB B．sinA>sinB
C．tanA>tanB D．sinA[解析]　∵A>B，∴a>b，
由正弦定理，得sinA>sinB，故选B．
6．已知等腰三角形ABC的腰长为底长的2倍，则顶角A的正切值是(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　不妨设△ABC的底边BC＝a，
则AB＝AC＝2a，
由余弦定理，得cosA＝＝.
则sinA＝＝.
故tanA＝＝.
7．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　由a1·a2＝4，得a2＝4，
由a1·a2·a3＝32，得a3＝.
∵a1·a2·a3·a4＝42，
又a1·a2·a3·a4·a5＝52，∴42·a5＝52，
∴a5＝，∴a3＋a5＝＋＝.
8．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且a>b>c，a2A．(，π) B．(，)
C．(，) D．(0，)
[解析]　由题意，得cosA＝>0，∴A<.
又a>b>c，∴A>B>C．
又∵A＋B＋C＝π，∴A>，故选C．
9．2＋4＋8＋…＋1 024等于(　A　)
A．2 046 B．2 007
C．1 047 D．2 046
[解析]　2＋4＋8＋…＋1 024
＝(2＋4＋8＋…＋1 024)＋(＋＋＋…＋)
＝＋＝211－2＋1－()10
＝2 046＋＝2 046＋＝2 046.
10．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(n)等于(　D　)
A．(8n＋1) B．(8n－1－1)
C．(8n＋3－1) D．(8n＋4－1)
[解析]　解法一：令n＝0，则f(n)＝2＋24＋27＋210＝＝＝(84－1)，对照选项，只有D成立．
解法二：数列2,24,27,210，…，23n＋10是以2为首项，8为公比的等比数列，项数为n＋4，
∴f(n)＝＝(8n＋4－1)．
11．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ等于(　C　)
A． B．2－
C．－1 D．
[解析]　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)(米)．
在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.
由题图，知cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
12．若△ABC的三边为a、b、c，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则函数f(x)的图象(　B　)
A．与x轴相切 B．在x轴上方
C．在x轴下方 D．与x轴交于两点
[解析]　函数f(x)相应方程的判别式Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2
＝(2bccosA)2－4b2c2
＝4b2c2(cos2A－1)．
∵0∴函数图象与x轴没交点．故选B．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知数列{an}中，an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项为第__16__项．
[解析]　因为an＝＝1＋，又n∈N＋，所以当n＝16时，an最大．故最大项为a16＝40.
14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8?5，则此三角形面积为__40__.
[解析]　设另两边长为8x和5x，则
cos60°＝，∴x＝2，
∴另两边长为16和10，此三角形面积S＝×16×10·sin60°＝40.
15．若数列{an}满足a1＝2，an＝1－，则a2016＝__－1__.
[解析]　∵a1＝2，an＝1－，∴a2＝1－＝，
a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，……
∴数列{an}的值呈周期出现，周期为3.
∴a2 016＝a3＝－1.
16．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)t，但如果年产量超过150 t，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是__7年__.
[解析]　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150，得n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
[解析]　(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝.
所以＝.故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18．(本题满分12分)在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)求证：数列{}是等差数列；
(2)求通项公式an.
[解析]　(1)由an＋1－＝an＋，得an＋1－an＝＋，
∵{an}为正项数列，∴an>0，
∴(＋)(－)＝＋，
∴－＝1.
∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝1＋n－1＝n，
∴an＝n2.
19．(本题满分12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若m＝(cos2，1)，n＝(cos2(B＋C)，1)，且m∥n.
(1)求角A；
(2)当a＝6，且△ABC的面积S满足＝时，求边c的值和△ABC的面积．
[解析]　(1)因为m∥n，所以cos2(B＋C)－cos2＝cos2A－cos2＝cos2A－＝0，
即2cos2A－cosA－1＝0，(2cosA＋1)(coaA－1)＝0.
所以cosA＝－或cosA＝1(舍去)，因为0°(2)由＝及余弦定理，得tanC＝，因为0°又由正弦定理＝，得c＝＝2.
所以△ABC的面积S＝acsinB＝×6×2×sin30°＝3.
20．(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋.
[解析]　(1)当n＝1时，a1＝a1－1，∴a1＝2.
∵Sn＝an－1， ①
Sn－1＝an－1－1(n≥2)， ②
∴①－②得an＝(an－1)－(an－1－1)，即an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2·3n－1.
(2)由(1)得bn＝2log3＋1＝2n－1，
∴＋＋…＋＝＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.
21．(本题满分12分)已知A，B，C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
[解析]　(1)由题意知方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以p≤－2，或p≥.
由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，
所以1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝＝－＝－.
所以tanC＝－tan(A＋B)＝，
所以C＝60°.
(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，
解得B＝45°或B＝135°(舍去)．
于是，A＝180°－B－C＝75°.
则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝2＋，
所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.
22．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？
[解析]　购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{an}，
故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，
a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，
a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，
a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，
…
an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01
＝121－n(万元)　(1≤n≤20，n∈N*)．
因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列．
故a10＝121－10＝111(万元)，
a20＝121－20＝101(万元)．
20次分期付款的总和为
S20＝＝＝2 210(万元)．
实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．
即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．