第7讲 实数
【知识扫描】
知识点一 无理数的定义
定义：无限不循环小数
无理数的三种常见形式：①含有π的数，比如2π，π＋1，……
②开方开不尽的数，比如，……
③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……
归纳：对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数。
【例1】在3.14，，，π，，0.1010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式】下列各数中，无理数是（ ）
A．－2 B. C. D.
知识点二 实数的定义及分类
定义：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类有两种方法：
（1）按定义分：有理数和无理数
（2）按正负性分：正实数、0、负实数。
【例2】请把下列各数填在相应的大括号内：
20％，0，，3.14，，－0.55，8，－2，－0.5252252225…
（1）正数集合：{__________________________________…}；
（2）非负整数集合：{__________________________________…}；
（3）无理数集合：{__________________________________…}；
（4）负分数集合：{__________________________________…}
知识点三 实数与数轴
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应。
实数大小的比较：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大
数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的距离等于这两点表示的数之差的绝对值
【例3】如图，数轴上A，B，C，D四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式】如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【例4】如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为________
【变式】点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为________
知识点四 实数的性质
1. 若a与b互为相反数，则a＋b＝0
2. 若a与b互为倒数，则ab＝1
3. 任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0
4. 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|
【例5】（1）1－的相反数是____________；（2）已知，则a＝__________。
【变式】的绝对值是__________
知识点五 实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方以及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘、除，最后算加，减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
【例6】计算：（1） （2）
【考点探究】
考点一 实数范围内相反数、倒数、绝对值的综合应用
【例7】实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3．求代数式的值。
【变式】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求
考点二 对非负数意义的考查
【例8】已知x、y、z满足，求x＋z－y的算术平方根。
【变式】已知，求的值。
考点三 无理数的估算
【例9】已知：的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值
【变式】已知：x为的整数部分，y为的小数部分。求2x－y＋的值。
考点四 实数相等问题
【例10】设x，y是有理数，且x，y满足等式，试求的值。
第7讲 实数（巩固练习）
一、选择题
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．1的立方根是±1
C．－1没有平方根 D．0的平方根与算术平方根都是0
3. 已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
4. 若a＜0，那么a的立方根是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则x的值是（ ）
A．－3 B．－1 C. D. 以上都不对
二、填空题
6. 4的算术平方根是________，－64的立方根是________
7. 计算的结果是________
8. 5x＋9的立方根是4，则2x＋3的平方根是________
9. 若，，则＝_______
10. 若，，则＝________
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
12. 已知5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，求a－2b的平方根。
13. 已知是m＋3的算术平方根，是n－2的立方根，试求M－N的值．
14. 老师要求每一名同学糊一个正方体盒子，糊完后小伟对小宇说：“我糊的盒子的表面积为96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你表面积，只知道我糊的盒子比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小伟思考了一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？（注：73＝343）
第7讲 实数
【知识扫描】
知识点一 无理数的定义
定义：无限不循环小数
无理数的三种常见形式：①含有π的数，比如2π，π＋1，……
②开方开不尽的数，比如，……
③看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……
归纳：对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数。
【例1】在3.14，，，π，，0.1010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：无理数有，π，0.1010010001…这3个
故选：C
【变式】下列各数中，无理数是（ ）
A．－2 B. C. D.
【解答】B
知识点二 实数的定义及分类
定义：有理数和无理数统称为实数。
实数的分类有两种方法：
（1）按定义分：有理数和无理数
（2）按正负性分：正实数、0、负实数。
【例2】请把下列各数填在相应的大括号内：
20％，0，，3.14，，－0.55，8，－2，－0.5252252225…
（1）正数集合：{__________________________________…}；
（2）非负整数集合：{__________________________________…}；
（3）无理数集合：{__________________________________…}；
（4）负分数集合：{__________________________________…}
【解答】（1）正数集合：{20％，，3.14，8……}
（2）非负整数集合：{8，0……}
（3）无理数集合：{，－0.5252252225…}
（4）负分数集合：{，－0.55，}
知识点三 实数与数轴
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应。
实数大小的比较：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大
数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的距离等于这两点表示的数之差的绝对值
【例3】如图，数轴上A，B，C，D四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：∵，即
∴
∴由数轴知，与对应的点距离最近的是点B
故选：B
【变式】如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【解答】解：∵，∴数轴上表示实数的点可能是点Q，故选：B
【例4】如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为________
【解答】解：设点C表示的数是x
∵数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点
∴，解的
【变式】点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为________
【解答】解：∵A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为
∴A，B两点的距离是：
知识点四 实数的性质
1. 若a与b互为相反数，则a＋b＝0
2. 若a与b互为倒数，则ab＝1
3. 任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0
4. 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|
【例5】（1）1－的相反数是____________；（2）已知，则a＝__________。
【解答】（1）1－的相反数是－(1－)，即－1
（2）∵，而，，∴
【变式】的绝对值是__________
【解答】的绝对值是
知识点五 实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方以及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘、除，最后算加，减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
【例6】计算：
（1） （2）
【解答】
【考点探究】
考点一 实数范围内相反数、倒数、绝对值的综合应用
【例7】实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3．求代数式的值。
【解答】解：由题意可知：a＋b＝0，cd＝1，x＝±3
当x＝3时，原式＝9＋(0－1)×3＋0＋1
＝9－3＋1
＝7
当x＝－3时，原式＝9＋(0－1)×(－3)＋0＋1
＝9＋3＋1
＝13
【变式】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数
∴ab＝1，c＋d＝0，
∴
考点二 对非负数意义的考查
【例8】已知x、y、z满足，求x＋z－y的算术平方根。
【解答】解：根据题意得，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0
解得，，
∴
∴
【变式】已知，求的值。
【解答】解：由题意得，x－6＝0，2x－6y＝0，y＋2z＝0，
解得 x＝6，y＝2，z＝－1，
∴(x－y)3－z3＝(6－2)3－(－1)3＝64＋1＝65
考点三 无理数的估算
【例9】已知：的小数部分为a，的小数部分为b，计算a＋b的值
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴，即，
则，
则
【变式】已知：x为的整数部分，y为的小数部分。求2x－y＋的值。
【解答】解：∵3＜＜4
∴的整数部分为x＝3，小数部分为y＝－3
当x＝3，y＝－3时
原式＝2×3－(－3)＋
＝6－＋3＋
＝9
考点四 实数相等问题
【例10】设x，y是有理数，且x，y满足等式，试求的值。
【解答】解：根据题意得
∴x＝25，y＝－4
则原式＝
第7讲 实数（巩固练习）
一、选择题
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：A. ，错误； B. ，错误；
C. ，正确 D. ，错误
故选：C
2. 下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．1的立方根是±1
C．－1没有平方根 D．0的平方根与算术平方根都是0
【解答】解：A．5是25的算术平方根，此选项说法正确；
B．1的立方根是1，此选项说法错误；
C．－1没有平方根，此选项说法正确；
D．0的平方根与算术平方根都是0，此选项说法正确；
故选：B
3. 已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，
∴3a－1－5－a＝0，
解得：a＝3，
∴3a－1＝8，
这个数是82＝64，
64的立方根为4，
故选：D．
4. 若a＜0，那么a的立方根是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：∵a＜0，
那么a的立方根是
故选：A
5. 若，则x的值是（ ）
A．－3 B．－1 C. D. 以上都不对
【解答】解：∵
∴
故有2x－1＝－5x－8
解之得x＝－1，
故选：B
二、填空题
6. 4的算术平方根是________，－64的立方根是________
【解答】解：4的算术平方根是2，－64的立方根是－4
7. 计算的结果是________
【解答】解：
8. 5x＋9的立方根是4，则2x＋3的平方根是________
【解答】解：根据题意知5x＋9＝64，
则x＝11，
∴2x＋3＝25，
则2x＋3的平方根是±5
9. 若，，则＝_______
【解答】解：∵，
∴
10. 若，，则＝________
【解答】解：∵
∴
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
【解答】
12. 已知5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，求a－2b的平方根。
【解答】解：∵5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，
∴5a＋2＝27，4a＋2b＋1＝25，
解得：a＝5，b＝2，
故a－2b＝5－4＝1，
∴a－2b的平方根为：±1
13. 已知是m＋3的算术平方根，是n－2的立方根，试求M－N的值．
【解答】解：依题意可得
n－1＝2，2m－4n＋3＝3
解得：m＝6，n＝3，
∴，
∴M－N＝3－1＝2
14. 老师要求每一名同学糊一个正方体盒子，糊完后小伟对小宇说：“我糊的盒子的表面积为96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你表面积，只知道我糊的盒子比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小伟思考了一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？（注：73＝343）
【解答】解：小伟所作纸盒的棱长＝＝4
小伟所作纸盒的体积＝43＝64．
小宇所作纸盒的体积＝64＋279＝343．
小宇所占纸盒的棱长＝7．
小宇所作纸盒的表面积＝6×72＝294cm2．
