1.1 锐角三角函数课件(2课时,共52张PPT）

锐角三角函数
猜一猜,这座古塔有多高?
在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?
想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?


新课导入：
学习了本节课即可解决
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
想一想：
下面我们一起探究
生活问题数学化
小明的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？


2.5m
2m
5m
5m
A
B
C
D
E
F

第一个梯子比较陡
想一想：
有比较才有鉴别
小颖的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？


1.3m
1.5m
3.5m
4m
A
B
C
D
E
F
第二个梯子比较陡
想一想：
永恒的真理
小亮的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？


3m
2m
6m
4m
A
B
C
D
E
F
两个梯子一样陡
做一做：
在实践中探索
小丽的问题,如图:
梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？





































?


2m
2m
6m
5m
A
B
C
D
E
F
第二个梯子比较陡
想一想：
知道就做别客气

小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;
而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?


A
B1
C2
C1
B2
同意
做一做：
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?


A
B1
C2
C1
B2

C3
B3
相似
相等
结论一样
在直角三角形中,一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值
议一议：
由感性上升到理性
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌

tanA=
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
想一想：
八仙过海,尽显才能
如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?
与∠A有关吗?
与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡.
与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡.


A
B1
C2
C1
B2
议一议：
行家看“门道”
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,

β
6m
┐
乙
8m

α
5m
┌
甲
13m


乙梯中,
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
老师提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
例题解析：
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
老师提示:
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.

100m
60m
┌

α


i
议一议：
八仙过海,尽显才能
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
┍
1.5
┌
A





B
C
D




A
B
C
┌
随堂练习：
八仙过海,尽显才能
3.鉴宝专家—--是真是假：
老师期望:你能从中悟出点东西.
(1).如图 (1)
( ).
A
B
C




┍
A
B
C
7m
10m
(1)
(2)
(2).如图 (2)
( ).
(3).如图 (2)
( ).
(4).如图 (2)
( ).
(5).如图 (2)
( ).
(6).如图 (2)
( ).
×
×
×
×
^
^
随堂练习：
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
5.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则tanA tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.

A
B
C
┌
C
=
=
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
6.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值.
老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
┍
┌
A





C
B
D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CDDB
ACBC
ADCD
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
8.如图,分别根据图(1)和图(2)求tanA的值.
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3

4
┌
A
C
B
3

4
(1)
(2)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
B
C
A
3

6
(1)
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,
(2)如图(2),BC=3,tanA= ,求AC和AB.
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3

(2)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
八仙过海,尽显才能
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,tanA= ,
求AC和BC.
4k
┌
A
C
B

15
3k
随堂练习：
11.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,
求tanB.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B


┌
D
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
相信自己
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1),AC=25.AB=27.
求tanA和tanB.
(1)
┌
A
C
B

27
25
随堂练习：
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(2)如图(2),BC=3,tanA=0.6,
求AC 和AB.
A
(2)
┌
C
B

3
相信自己
随堂练习：
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(3)如图(3),AC=4,tanA=0.8,求BC.
A
(3)
┌
C
B

4
相信自己
随堂练习：
13.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
求:tanB.

老师提示:
作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.
A
C
B

D
F
┌

E
┌

相信自己
随堂练习：
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等
小结拓展：
1.正切的定义:
Rt△ABC中,锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即

cotA=


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

tanA=
2.余切的定义:正切的倒数叫做∠A的余切,即
回味无穷
小结拓展：
锐角三角函数(2)
正切
直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即

tanA=


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
回顾与反思：
本领大不大 悟心来当家
如图,我们知道:当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论:
在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠ A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
想一想：
正弦与余弦
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
锐角A的正弦,余弦,正切都是∠A的三角函数.


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
斜边
∠A的对边

sinA=
斜边
∠A的邻边

cosA=
想一想：
生活问题数学化
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:
sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?
想一想：
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
老师期望:
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?

200
A
C
B
┌
解:在Rt△ABC中,
行家看“门道”—已知正弦求边长
例题解析：
知识的内在联系
求:AB,sinB.

10
┐
A
B
C
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
老师期望:
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系?
做一做：
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
咋办





































老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
5
5
6
A
B
C



┌
D

随堂练习：
真知在实践中诞生
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求:△ABC的周长和面积.
咋办





































解:在Rt△ABC中,
老师提示:分别求出AB,AC.
20


┐
A
B
C
随堂练习：
八仙过海,尽显才能
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.

A
B
C
┌
C
=
=
随堂练习：
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得
┍
┌
A





C
B
D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CDBC
ACAB
ADAC
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
7.如图,根据图(1) 求∠A的三角函数值.
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3

4
(1)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
7.如图,根据图(2)求∠A的三角函数值.
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3

4
(2)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,如图(1)已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.
老师期望:当再次注意到这里sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?
┌
B
C
A
3

6
(1)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,如图(2),已知BC=3,sinA= ,求AC和AB.

老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3

(2)
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA= ,
求AC和BC.
┌
A
C
B

15
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
10.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10.
求sinB,cosB.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B


┌
D
八仙过海,尽显才能
随堂练习：
相信自己
11. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)AC=25.AB=27.求sinA,cosA,tanA.
(1)
┌
A
C
B

27
25
随堂练习：
11. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(2)BC=3,sinA=0.6,求AC 和AB.
(2)
┌
C
B

3
A
相信自己
随堂练习：
11. 在Rt△ABC中,∠C=90°.
(3)AC=4,cosA=0.8,求BC.
A
(3)
┌
C
B

4
相信自己
随堂练习：
12.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
求:sinB,cosB,tanB.
老师提示:
作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.
A
D
B

C
F
┌

E
┌

相信自己
随堂练习：
回味无穷
1.锐角三角函数定义:

tanA=


A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
斜边
∠A的对边

sinA=
斜边
∠A的邻边

cosA=
小结拓展：
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
小结拓展：