第二十章 数据的分析
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数
知能演练提升
能力提升
1.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩,则小王的成绩是( )
A.255分 B.84分
C.84.5分 D.86分
2.3月22日是“世界水日”,某中学在开展“节约每一滴水”的活动中,从九年级的240名同学中任选20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况,将有关数据整理如下表:
节水量/吨
1
1.2
1.5
2
2.5
同学数
4
5
6
3
2
用所学的统计知识估计这240名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是( )
A.240吨 B.300吨
C.360吨 D.600吨
3.某市中小学举行了一场课本剧表演比赛,组委会规定:任何一个参赛选手的成绩x满足:60≤x<100,赛后统计整理了150个选手的成绩,成绩如表:
分 数 段
频 数
60≤x<70
30
70≤x<80
m
80≤x<90
60
90≤x<100
20
根据表提供的信息得到m= ,利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是 .(结果精确到0.1)?
4.某校举行运动会,按年级设奖,第一名得5分,第二名得3分,第三名得2分,第四名得1分,其他名次不得分.某班派8名同学参加比赛,共得2个第一,1个第三,4个第四,则该班8名同学的平均得分为 .?
5.某果园有苹果树100棵,为了估计该果园的苹果总产量,小王先按长势把苹果树分成了A,B,C三个级别,其中A级30棵,B级60棵,C级10棵,然后从A,B,C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵,测出其产量,制成了如下的统计表.如果小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量,那么小李的估计值是 kg.?
苹果树长势
A级
B级
C级
随机抽取棵数/棵
3
6
1
所抽取果树的平均产量/kg
80
75
70
6.如果x1与x2的平均数是4,那么x1+1与x2+5的平均数是 .?
★7.已知x1,x2,x3的平均数为x,则3x1+5,3x2+5,3x3+5的平均数是 .?
8.一种什锦糖是由甲、乙、丙三种不同价格的糖果混合而成的,已知甲种糖果的单价为9元/千克,乙种糖果的单价为10元/千克,丙种糖果的单价为12元/千克.
(1)若甲、乙、丙三种糖果数量按2∶5∶3的比例混合,问此时得到的什锦糖果单价是多少元才能保证获得的利润不变?
(2)若甲、乙、丙三种糖果数量按6∶3∶1的比例混合,则混合后得到的什锦糖果的单价是多少才能保证获得的利润不变?
9.《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为:86分及以上为优秀;76分~85分为良好;60分~75分为及格;59分及以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的10%进行体质测试,测试结果如图所示:
各等级人数比
各等级学生平均分数
(1)在抽取的学生中,不及格人数所占的百分比是 .?
(2)小明按以下方法计算出所抽取学生测试结果的平均分是(90+82+65+40)÷4=69.25(分).根据所学的统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式,并计算出结果.
(3)若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数,请估算出该校八年级学生中优秀等级的人数.
创新应用
★10.某广告公司欲招聘一名广告策划人员,对A,B,C三名候选人进行了三项素质测试,他们的各项成绩如下表所示.
测试项目
测试成绩
A
B
C
创新能力
72
85
67
综合知识
50
74
70
语言表达能力
88
45
67
(1)如果根据三次测试的平均成绩确定录用人员,那么谁将被录用?
(2)根据实际需要,该公司按4∶3∶1的比例确定创新能力、综合知识和语言表达能力三项测试成绩,此时从三人的平均成绩看,谁将被录用?
(3)如果该公司依次按20%,50%,30%的比例确定创新能力、综合知识和语言表达能力三项测试成绩,此时从三人的平均成绩看,谁将被录用?
参考答案
能力提升
1.D
2.C 先求样本平均数
x=1×4+1.2×5+1.5×6+2×3+2.5×220=1.5(吨).
于是每名同学的家庭月平均节水约为1.5吨,估计240名同学的总节水量为240×1.5=360(吨).
3.40 79.7
4.2分 8名同学的平均得分为2×5+1×2+4×18=2(分).
5.7 600 3×80+6×75+7010×100=7 600(kg).
6.7 由题意知,x1+x2=8,
所以x1+1+x2+52=8+62=7.
7.3x+5 x'=13(3x1+5+3x2+5+3x3+5)
=13(3x1+3x2+3x3)+5=3x+5.
8.分析 要求混合后的什锦糖果的单价,不能简单地将三种糖果的单价加起来除以3,而应当根据三种糖果的权重按比例求加权平均数.
解 (1)1×20%×9+1×50%×10+1×30%×12=10.4(元).
要保证混合后的利润不变,这种什锦糖果单价应定为10.4元.
(2)1×60%×9+1×30%×10+1×10%×12=9.6(元).
要保证利润不变,这种什锦糖果单价应定为9.6元.
9.解 (1)4%
(2)不正确.
正确的算法:90×20%+82×32%+65×44%+40×4%=74.44(分).
(3)设不及格的人数为x,则76≤40x≤85,
即1.9≤x≤2.125,则x=2.
所以抽取学生人数为2÷4%=50.
所以八年级学生中优秀人数约为50×20%÷10%=100.
创新应用
10.解 (1)A,B,C的平均成绩分别为
13×(72+50+88)=70,
13×(85+74+45)=68,
13×(67+70+67)=68.
因此,候选人A将被录用.
(2)根据题意,A,B,C的平均成绩分别为
72×4+50×3+88×14+3+1=65.75,
85×4+74×3+45×14+3+1=75.875,
67×4+70×3+67×14+3+1=68.125.
因此,候选人B将被录用.
(3)根据题意,A,B,C的平均成绩分别为
72×20%+50×50%+88×30%20%+50%+30%=65.8,
85×20%+74×50%+45×30%20%+50%+30%=67.5,
67×20%+70×50%+67×30%20%+50%+30%=68.5,
因此,候选人C将被录用.
20.1.2 中位数和众数
知能演练提升
能力提升
1.若一组数据1,a,2,3,4的平均数与中位数相同,则a不可能是下列选项中的( )
A.0 B.2.5 C.3 D.5
2.自然数4,5,5,x,y从小到大排列后,其中位数为4,如果这组数据唯一的众数是5,那么所有满足条件的x,y中,x+y的最大值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是( )
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
人数
52
60
62
54
58
62
A.平均数是59 B.中位数是59
C.众数是60 D.众数是2
4.如图是根据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图,则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为( )
A.9,8 B.8,9
C.8,8.5 D.19,17
5.两组数据:3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为 .?
6.已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3,则这三个数分别为 .?
★7.万州区某学校四个绿化小组,在植树节这天种下白杨树的棵数如下:10,10,x,8,已知这组数据的众数和平均数相等,则这组数据的中位数是 .?
8.一家商场张贴了下列海报:
好消息
在庆祝本店开业20周年之际,特举办“真情回报新老顾客”活动.本次活动共设奖金20万元,平均每份奖金200元,特等奖1万元!凡在本店购买物品金额满100元者均可参加抽奖.
一些顾客参加了抽奖,但没有一人的奖金超过50元,于是他们一起质问商场经理.商场经理拿出了下面一张表格:
奖金等级
特等奖
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
奖金额/元
10 000
6 000
1 000
50
10
中奖人数
3
10
87
350
550
你认为海报上写的“平均每份奖金200元”是否欺骗了顾客?用数据的哪种特征数最能代表获奖金额?说说你的理由.
9.随机抽查9名学生的鞋号由小到大是:20,21,21,22,22,22,22,23,23,这组数据的中位数、众数、平均数中,哪个指标是鞋厂最不感兴趣的?哪个指标是鞋厂最关注的?
10.配餐公司为某学校提供A,B,C三类午餐供师生选择,三类午餐每份的价格分别是:A餐5元,B餐6元,C餐8元.为做好下阶段的营销工作,配餐公司根据该校上周A,B,C三类午餐购买情况,将所得的数据处理后,制成统计表(如下表);根据以往销售量与平均每份利润之间的关系,制成统计图(如图).
该校上周购买情况统计表
种类
数量/份
A
1 000
B
1 700
C
400
以往销售量与平均每份利润之间的关系统计图
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)该校师生上周购买午餐费用的众数是 元;?
(2)配餐公司上周在该校销售B餐每份的利润大约是 元;?
(3)请你计算配餐公司上周在该校销售午餐约盈利多少元?
11.为了普及环保知识,增强环保意识,某中学组织了环保知识竞赛活动,初中各年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛,这些选手的决赛成绩(满分为100分)如下表所示:
决赛成绩/分
七年级
80 86 88 80 88 99 80 74 91 89
八年级
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
九年级
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
(1)请你填写下表:
平均分
众数
中位数
七年级
85.5
87
八年级
85.5
85
九年级
84
(2)请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析:
①从众数和平均数相结合看,分析哪个年级成绩好些;
②从平均数和中位数相结合看,分析哪个年级成绩好些.
(3)如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛,你认为哪个年级的实力更强些?并说明理由.
创新应用
★12.我们约定:如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”.为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量出他们的身高(单位:cm),收集并整理成如下统计表:
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
身高x/cm
163
171
173
159
161
174
164
166
169
164
根据以上表格信息,解答如下问题:
(1)计算这组数据的三个统计量:平均数、中位数和众数;
(2)请你选择其中一个统计量作为选定标准,找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生,并说明理由.
参考答案
能力提升
1.C 当a=3时这组数据的平均数是2.6,中位数是3,两者不相等,故选C.
2.C 在自然数4,5,5,x,y中,其中位数为4,唯一的众数是5,所以x,y中一个等于2,一个等于3时,x+y最大,即x+y的最大值为5.
3.B 平均数为16×(52+60+62+54+58+62)=16×348=58,故选项A错误;原数据按照从小到大的顺序排列如下:52,54,58,60,62,62,第3,4两个数分别是58,60,所以,中位数是59,故选项B正确;6个数据中,62出现2次,所以众数是62,故选项C,D错误.故选B.
4.B 5.6
6.1,3,5或2,3,4 根据中位数是3知第一个数是1或2,当第一个数是1时,则第三个数是5;当第一个数是2时,则第三个数是4,故这三个数应为1,3,5或2,3,4.
7.10
8.解 每份奖金的平均数是
10 000×3+6 000×10+1 000×87+50×350+10×5503+10+87+350+550
=200.
因此,海报上写的“平均每份奖金200元”并没有错.
但平均奖金由于受到极端值的影响,远远大于众数和中位数,作为数据的代表容易误导顾客.
这里用众数和中位数作为获奖金额的代表更合适,它们都是10.
9.分析 我们通常不大关心所销售的鞋的平均尺码,而是关心各种尺码的鞋的销售情况,特别是关心哪种尺码的鞋销售得最多.这对掌握市场需求情况和确定今后进货量具有重要参考价值.
解 这组数据的平均数为20+21×2+22×4+23×29≈22,众数为22,中位数为22,其中平均数是鞋厂最不感兴趣的,众数是最关注的.
10.解 (1)6
(2)3
(3)1.5×1 000+3×1 700+3×400=1 500+5 100+1 200=7 800(元).
故配餐公司上周在该校销售午餐约盈利7 800元.
11.解 (1)80 86 85.5 78
(2)①因为平均数都相同,八年级的众数最高,所以八年级的成绩好一些;②因为平均数都相同,七年级的中位数最高,所以七年级的成绩好一些.
(3)因为七、八、九年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分,
所以从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛,九年级的实力更强一些.
创新应用
12.解 (1)平均数为
163+171+173+159+161+174+164+166+169+16410=166.4(cm),
中位数为166+1642=165(cm),众数为164 cm.
(2)选平均数作为标准,
身高x满足166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%),
即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”,
此时序号为⑦⑧⑨⑩的男生具有“普通身高”.
选中位数作为标准,
身高x满足165×(1-2%)≤x≤165×(1+2%),即161.7≤x≤168.3时为“普通身高”,此时序号为①⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”.选众数作为标准,
身高x满足164×(1-2%)≤x≤164×(1+2%),
即160.72≤x≤167.28时为“普通身高”,
此时序号为①⑤⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”.
.
20.2 数据的波动程度
知能演练提升
能力提升
1.某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验,它们平均每块的产量分别是x甲=9 150 kg,x乙=9 120 kg,每块产量的方差分别是s甲2=29.6,s乙2=2.7.则关于两种小麦推广种植的合理决策是( )
A.甲平均每块的产量较高,应推广甲
B.甲、乙平均每块的产量相差不多,均可推广
C.甲平均每块的产量较高,且每块的产量比较稳定,应推广甲
D.甲、乙平均每块的产量相差不多,但乙每块的产量比较稳定,应推广乙
2.已知一组数据的平均数为x,若在这组数据中再添加一个数x,则所得新数据的方差与原数据的方差相比较( )
A.变大 B.变小
C.相等 D.无法确定
3.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,那么另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是( )
A.4 B.7 C.8 D.19
★4.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛,他们的身高(单位:cm)如下表所示:
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
甲队
177
176
175
172
175
乙队
170
175
173
174
183
设两队队员身高的平均数依次为x甲,x乙,身高的方差依次为s甲2,s乙2,则下列关系完全正确的是( )
A.x甲=x乙,s甲2>s乙2 B.x甲=x乙,s甲2<s乙2
C.x甲>x乙,s甲2>s乙2 D.x甲<x乙,s甲2<s乙2
5.甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差,统计如下表:
选手
甲
乙
丙
平均数
9.3
9.3
9.3
方差
0.026
0.015
0.032
则射击成绩最稳定的选手是 (填“甲”“乙”“丙”中的一个).?
6.有一组数据如下:3,a,4,6,7.如果它们的平均数是5,那么这组数据的方差为 .?
7.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表:
班级
参加人数
中位数
方差
平均字数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
某同学根据上表分析得出如下结论:①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同;②乙班优秀人数多于甲班优秀人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀);③甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大.上述结论正确的是 .(填序号)?
8.方差的算术平方根叫做标准差,即s=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2n,标准差的单位与原始数据的单位相同,实际中我们常用它来度量数据的波动程度.请你利用标准差解决下面的问题:
一次期末考试中,A,B,C,D,E五名同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示(单位:分):
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
2
英语
88
82
94
85
76
85
(1)求这五名同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差;
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差,采用标准分是一个合理的选择.标准分的计算公式是:标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差.
从标准分看,标准分大的考试成绩更好.请问A同学在本次考试中,数学与英语哪个学科考得更好?
★9.经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25)kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量,农科院所采用A,B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):
A:4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8
5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8
5.2 5.1 5.0
B:4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5
4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2
5.3 5.0 5.3
(1)若质量为(5±0.25)kg的为优等品,根据以上信息完成下表:
优等品数量/颗
平均数
方差
A
4.990
0.103
B
4.975
0.093
(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A,B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好?
创新应用
★10.为了从甲、乙两名选手中选拔一人参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了统计表和统计图.
甲、乙射击成绩统计表
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
0
乙
1
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表(直接在表中填空和补全折线图);
(2)如果规定成绩较稳定者胜出,那么你认为谁应胜出?说明你的理由;
(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,那么应该制定怎样的评判规则?为什么?
参考答案
能力提升
1.D 2.B 3.A
4.B ∵x甲=(177+176+175+172+175)÷5=175,
x乙=(170+175+173+174+183)÷5=175,
∴x甲=x乙.
∵s甲2=[(177-175)2+(176-175)2+(175-175)2+(172-175)2+(175-175)2]÷5=2.8,
s乙2=[(170-175)2+(175-175)2+(173-175)2+(174-175)2+(183-175)2]÷5=18.8,∴s甲2<s乙2.故选B.
5.乙 6.2
7.①②③ 根据平均数、方差加以判断,①正确;②正确,因为乙班的中位数大于150,甲班的中位数小于150,可以确定乙班优秀人数多于甲班优秀人数;③正确,因为s甲2>s乙2,所以甲班的成绩比乙班的成绩的波动大.
8.解 (1)平均分为15(71+72+69+68+70)=70;
标准差为
15[(88-85)2+(82-85)2+…+(76-85)2]=6.
(2)数学标准分为(71-70)÷2≈0.7;
英语标准分为(88-85)÷6=0.5.
因此,从标准分来看,A同学的数学比英语考得更好.
9.解 (1)依次为16,10.
(2)从优等品数量的角度看,因为A技术种植的西瓜优等品数量较多,所以A技术较好;从平均数的角度看,因为A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5 kg,所以A技术较好;从方差的角度看,因为B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;从市场销售角度看,因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多,且平均质量更接近5 kg,因而更适合推广A种技术.
创新应用
10.解 (1)根据折线统计图得乙的射击成绩为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,则平均数为2+4+6+8+7+7+8+9+9+1010=7,中位数为7.5,方差为110×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]=5.4.
由表知甲的射击成绩的平均数为7,则甲第8次的射击成绩为70-(9+6+7+6+5+7+7+8+9)=6(环),故10次射击成绩为5,6,6,6,7,7,7,8,9,9,中位数为7,方差为110×[(5-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2]=1.6,补全图表如下:
甲、乙射击成绩统计表
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
1.6
0
乙
7
7.5
5.4
1
甲、乙射击成绩折线图
(2)因为两人射击成绩的平均数相同,但甲成绩的方差小于乙成绩的方差,所以甲胜出.
(3)希望乙胜出,规则为命中9环与10环的总数大的胜出.因为乙命中9环与10环的总数为3次,而甲只命中2次.
