第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式
知能演练提升
/能力提升/
1.若式子
??-1
??-2
在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1,且x≠2 B.x≥1
C.x≠2 D.x≥1,且x≠2
2.要使式子
2-3??
有意义,则实数x的( )
A.最大值是
2
3
B.最小值是
2
3
C.最大值是
3
2
D.最小值是
3
2
3.(2018广东潮南区模拟)如果式子
??
??-1
有意义,那么x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≠1
C.x>1 D.x≥0,且x≠1
★4.若式子
-??
+
1
????
在实数范围内有意义,则在平面直角坐标系中,点P(m,n)的位置在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.下列各式:-2,
??
2
+2
,
??
,
-??
(x<0),
π
,
3
a-1
,其中是二次根式的有 个.?
6.当x为何值时,下列式子是二次根式:
(1)
??
2
+2
;
(2)
3??
.
7.已知x,y是实数,且y=
??-7
+
7-??
+8,求(x-y)2 018的值.
8.当x是怎样的实数时,
2??+3
+
1
??+1
在实数范围内有意义?
9.观察下表中的式子,写出第n个式子(用含n的式子表示),并回答这个式子一定是二次根式吗?为什么?
第1个
第2个
第3个
第4个
…
1
2
-1
2
2
-2
3
2
-3
4
2
-4
…
/创新应用/
★10.已知a,b为一等腰三角形的两边长,且满足等式2
3??-6
+3
2-??
=b-4,求此等腰三角形的周长.
参考答案
能力提升
1.D 由题意,得x-1≥0,且x-2≠0,解得x≥1,且x≠2.
2.A 由题意,得2-3x≥0,解得x≤
2
3
,故它有最大值是
2
3
.
3.C
4.C 根据二次根式的定义,得-m≥0,mn>0,故m<0,且n<0.
5.3
6.解 (1)由x2+2>0可知,当x为任意实数时,
??
2
+2
都是二次根式.
(2)由3x≥0,解得x≥0.
因此当x≥0时,
3??
是二次根式.
7.解 要使
??-7
在实数范围内有意义,则x-7≥0,即x≥7;
要使
7-??
在实数范围内有意义,则7-x≥0,即x≤7,所以x=7.
当x=7时,y=8,所以(x-y)2 018=(7-8)2 018=1.
8.解 依题意,得
2??+3≥0,
??+1≠0,
解得x≥-
3
2
,且x≠-1.
所以当x≥-
3
2
,且x≠-1时,
2??+3
+
1
??+1
在实数范围内有意义.
9.解 第n个式子是
??
2
-??
,一定是二次根式,
理由如下:因为
??
2
-??
的被开方数是非负数,
所以
??
2
-??
是二次根式.
创新应用
10.解 由题意得
3??-6≥0,
2-??≥0,
解得
??≥2,
??≤2,
所以a=2.
把a=2代入原式,得b=4.
当腰长为2时,三角形的三边长分别为2,2,4,不能组成三角形;
当腰长为4时,三角形的三边长分别为2,4,4,则此等腰三角形的周长为2+4+4=10.
第2课时 二次根式的化简
知能演练提升
/能力提升/
1.已知a为实数,则
-
??
2
=( )
A.a B.-a C.-1 D.0
2.若
??
2
=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在0( )
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
3.若a<1,则
(??-1
)
2
-1=( )
A.a-2 B.2-a
C.a D.-a
4.下列计算不正确的是( )
A.
??
4
=x2
B.(-
7
)2=7
C.(
-6
)2=6
D.-
(-7
)
2
=-7
★5.已知n是一个正整数,
135??
是整数,则n的最小值是( )
A.3 B.5 C.15 D.25
6.实数a在数轴上的位置如图所示,则
(??-4
)
2
+
(??-11
)
2
化简后的结果为 .?
/
7.
??+1
+2的最小值是 ,此时a的值是 .?
8.阅读材料,解答下列问题.
例:当a>0时,若a=6,则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,若a=-6,则|a|=|-6|=6=-(-6),故此时a的绝对值是它的相反数.
综合起来,一个数的绝对值要分三种情况,即
|a|=
??,??>0,
0,??=0,
-??,??<0.
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式
??
2
的各种结果;
(2)猜想
??
2
与|a|的大小关系.
9.若实数a,b,c为三角形的三边长,且a,b满足
??
2
-9
+(b-2)2=0,试确定第三边c的取值范围.
10.计算:
(1)
2
5
2
?
(-0.3
)
2
+
1
25
;
(2)
(2-
3
)
2
?
(-
3
+1
)
2
.
/创新应用/
/
★11.根据如图所示的两个直角三角形,化简代数式:|m-n|-
??
2
-4??+4
-|m-1|.
参考答案
能力提升
1.D 2.C
3.D ∵a<1,∴a-1<0.
∴
(??-1
)
2
-1=
(1-??
)
2
-1=1-a-1=-a.
4.C
5.C 根据题意知,
135??
能够写成
??
2
的形式,把135分解成135=32×15,其中出现了32和15,所以得出满足条件的最小正整数为15.选C.
6.7
7.2 -1 因为
??+1
≥0,所以当a=-1时,
??+1
+2的最小值是2.
8.分析 认真体会所举例的分类讨论的思想方法,结合所掌握的知识分析
??
2
的各种情况.
解 (1)当a>0时,若a=6,则
??
2
=
6
2
=6,故此时
??
2
=a;
当a=0时,
??
2
=0,故此时
??
2
=0;
当a<0时,若a=-6,则
??
2
=
(-6
)
2
=6=-(-6),故此时
??
2
=-a.
综合起来可得
??
2
=
??,??>0,
0,??=0,
-??,??<0.
(2)
??
2
=|a|.
9.解 由非负数的性质,可得a2-9=0,b-2=0,所以a=3或a=-3(不符合题意,舍去),b=2.
由三角形的三边关系,得3-210.解 (1)原式=
2
5
-0.3+
1
5
=0.3.
(2)原式=(2-
3
)-(
3
-1)=3-2
3
.
创新应用
11.分析 因为在直角三角形中,由斜边是最大边可知,m-3>0,n-2<0,所以m>3,n<2.结合绝对值和二次根式的非负性化简.
解 由题意,知m>3,n<2,从而m-n>0,n-2<0,m-1>0.
|m-n|-
??
2
-4??+4
-|m-1|
=m-n-(2-n)-m+1
=m-n-2+n-m+1=-1.
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
知能演练提升
/能力提升/
1.下列各等式成立的是( )
A.4
5
×2
5
=8
5
B.
20
=4
5
C.4
3
×3
2
=7
5
D.5
3
×4
2
=20
6
2.-2
3
和-3
2
的大小关系是( )
A.-2
3
>-3
2
B.-2
3
<-3
2
C.-2
3
=-3
2
D.不能确定
3.化简
(??-5
)
2
(5-??)
的结果是( )
A.(m-5)
5-??
B.(5-m)
5-??
C.m-5
-(5-??)
D.5-m
5-??
4.下列二次根式中,与
2
之积为无理数的是( )
A.
1
2
B.
12
C.
18
D.
32
5.当ab<0时,化简
??
??
2
的结果是( )
A.-b
??
B.b
??
C.b
-??
D.-b
-??
6.若
??
·
??-6
=
??(??-6)
,则( )
A.a≥6 B.a≥0
C.0≤a≤6 D.a为一切正实数
★7.对于任意实数x,下列各式中一定成立的是( )
A.
??
2
-1
=
??-1
·
??+1
B.
(??+1
)
2
=x+1
C.
(-4)·(-??)
=
-4
·
-??
D.
36
??
4
=6x2
8.已知x=3,y=4,z=5,则
????
·
????
的最后结果是 .?
9.计算:(1)
5
×
9
5
;(2)
54
×
9
27
×
4
3
;
(3)a2
2
??
3
·
1
??
4??
(a>0).
10.有一块长方体铁块的长a为5
10
cm,宽b为
5
cm,高c为
12.5
cm,现要将其锻造成一块正方体铁块,求锻造后的正方体铁块的棱m的长.
/
11.如图是一种木质模板,要求在长为20 cm,宽为12 cm 的矩形木料的四个角上截去四个全等的小正方形,并使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.
/创新应用/
★12.观察下列各等式:
2
2
-1
=
1
×
3
,
3
2
-1
=
2
×
4
,
4
2
-1
=
3
×
5
,
5
2
-1
=
4
×
6
,……请用含n的等式表示你所观察到的规律.
参考答案
能力提升
1.D 2.A 3.B 4.B
5.A 由题意,得ab2≥0,又b2≥0,∴a≥0.
∵ab<0,∴b<0,a>0.
∴
??
??
2
=
??
·|b|=-b
??
.
6.A 由题意知a≥0,且a-6≥0,解得a≥6.
7.D 8.4
15
9.解 (1)
5
×
9
5
=
5×
9
5
=
9
=3.
(2)
54
×
9
27
×
4
3
=
54×
9
27
×
4
3
=2
6
.
(3)当a>0时,a2
2
??
3
·
1
??
4??
=a
2
??
3
·4??
=2
2
a3.
10.解 由题意知V=abc=5
10
×
5
×
12.5
=5×25=125,m=
3
V
=
3
125
=5(cm).
11.解
20×12×(1-80%)÷4
=
12
=
4
×
3
=2
3
(cm).
答:所截去小正方形的边长为2
3
cm.
创新应用
12.解
(??+1
)
2
-1
=
??
·
??+2
(n为正整数).
第2课时 二次根式的除法
知能演练提升
/能力提升/
1.能使等式
??
??-2
=
??
??-2
成立的x的取值范围是0( )
A.x≠2 B.x≥0
C.x>2 D.x≥2
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A.
1
2
B.
0.4
C.
3
D.
8
3.下列计算正确的是( )
A.
-2
-3
=
-2
-3
B.
??
3
=
3??
3
C.3
??
3
=
??
D.
??
3
=3
3??
4.若a,b为任意实数,则下列式子一定成立的是( )
A.
??
2
+
??
2
-2????
=a-b B.
??
4
=a2
C.
????
=
??
·
??
D.
??
??
=
??
??
5.
5
7
,
5
7
,
5
7
的大小关系是( )
A.
5
7
<
5
7
<
5
7
B.
5
7
<
5
7
<
5
7
C.
5
7
<
5
7
<
5
7
D.
5
7
<
5
7
<
5
7
★6.计算
??
??
÷
????
·
1
????
(a>0,b>0)的值为( )
A.
1
??
??
2
????
B.
1
??
2
??
????
C.
1
??
????
D.b
????
7.化简
??
??
÷
??
??
÷
??
??
(a>0,b>0,c>0)的结果是 .?
8.计算
5
×
15
3
的结果是 .?
9.计算:(1)2
6??
÷4a
3
;
(2)
3
÷
2
×
6
;
(3)
6
??
2
??
2????
(a>0,b>0);
(4)
50
×
48
÷
54
;
(5)
8
2??
·
5??
??
3
18
·
20
??
.
10.小刚在微机课上利用电脑软件画了一个半径为
90
cm的圆,他又想画一个长是
135
π cm的长方形,且使它们的面积相等,问该长方形的宽应是多少?
11.自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式
??
??-3
中实数a的取值范围”.她告诉刘敏说:你把题目抄错了,不是“
??
??-3
”,而是“
??
??-3
”.刘敏说:哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正a和(a-3)都在根号内.试问:刘敏说得对吗?就是说,按照
??
??-3
解题和按照
??
??-3
解题的结果一样吗?
/创新应用/
★12.观察下列等式并回答问题:
①
1+
1
1
2
+
1
2
2
=
3
2
=1
1
2
;
②
1+
1
2
2
+
1
3
2
=
7
6
=1
1
6
;
③
1+
1
3
2
+
1
4
2
=
13
12
=1
1
12
,……
(1)根据上面三个等式的信息,猜想
1+
1
4
2
+
1
5
2
的值;
(2)请按照上面的规律,试写出用n(n为正整数)表示的等式;
(3)验证你的结果.
参考答案
能力提升
1.C 2.C 3.B 4.B
5.D 首先把根号外的因式都移到根号内,然后比较它们的被开方数.
5
7
=
25
7
=
25
7
,
5
7
=
5
49
=
5
49
.
因为
5
49
<
5
7
<
25
7
,所以
5
7
<
5
7
<
5
7
.
6.B
7.
??
??
8.5 (方法1)原式=
5×15
3
=
5×15
3
=
25
=5;
(方法2)原式=
5
×
5
×
3
3
=
5
×
5
=5;
(方法3)原式=
5
×
15
×
3
3
×
3
=
(
15
)
2
(
3
)
2
=
15
3
=5.
9.解 (1)2
6??
÷4a
3
=
2
6??
4??
3
=
1
2??
×
6??
3
=
2??
2??
.
(2)
3
÷
2
×
6
=
3
2
×
6
=
3
2
×6
=
3
2
=3.
(3)当a>0,b>0时,
6
??
2
??
2????
=
6
??
2
??
2????
=
3??
.
(4)
50
×
48
÷
54
=
50×48
54
=
50×8
9
=
25×16
9
=
20
3
.
(5)
8
2??
·
5??
??
3
18
·
20
??
=
8·5??
??
3
·20
2??·18·??
=
200
??
2
9
=
10
2
3
b.
10.解 π·(
90
)2÷
135
π=(
90
)2÷
135
=
9
0
2
÷
135
=
8 100÷135
=
60
=2
15
(cm).
答:该长方形的宽为2
15
cm.
11.解 刘敏说得不对,结果不一样.按
??
??-3
计算,则a≥0,a-3>0或a≤0,a-3<0,解得a>3或a≤0;
而按
??
??-3
计算,则只有a≥0,a-3>0,解得a>3.
创新应用
12.(1)解 根据已知的三个等式的信息,猜想
1+
1
4
2
+
1
5
2
=
21
20
=1
1
20
.
(2)解
1+
1
??
2
+
1
(??+1
)
2
=
??(??+1)+1
??(??+1)
(n为正整数).
(3)证明
1+
1
??
2
+
1
(??+1
)
2
=
[??(??+1)
]
2
+(??+1
)
2
+
??
2
[??(??+1)
]
2
=
[??(??+1)+1
]
2
[??(??+1)
]
2
=
??(??+1)+1
??(??+1)
(n为正整数).
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
知能演练提升
/能力提升/
1.计算
27
?
18
3
?
12
的结果是( )
A.1 B.-1 C.
3
?
2
D.
2
?
3
2.下列运算正确的是( )
A.
2
+
5
=
7
B.5
2
+
2
2
=5+
2
2
C.
5
?
3
=
2
D.2
3
?
3
=
3
3.下列计算:①
??
+
??
=
??+??
;②
??
+2=2
??
;③6
3
-2
3
=4
3
;④5
2??
?
8??
=3
2??
;
⑤
8
+
18
2
=
4
+
9
=5.其中正确的是( )
A.①和③ B.②和③
C.③和④ D.③和⑤
4.下列二次根式中,不能与
48
合并的是( )
A.
0.12
B.
18
C.
1
1
3
D.-
75
5.计算:
18
?
32
+
2
= .?
6.计算:(1)5
8
-
1
5
-(
50
?
45
);
(2)
24
?
1
2
+2
2
3
?
1
8
+
6
;
(3)4
??
2
??
+6
??
2
9
-(7
??
+5
??
2
)(x>0,y≥0).
7.当x=
1
4
时,求
??
4??
2
+6x
??
9
-2x2
1
??
的值.
★8.丰产良种试验中心要在一块矩形的土地上做水稻良种试验,矩形土地的长是宽的3倍,面积是3 600 m2,这块试验田的周长是多少?(精确到1 m,
3
≈1.732)
/创新应用/
9.有这样一类题目:将
??±2
??
化简,如果你能找到两个数m,n,使m2+n2=a,且mn=
??
,那么将a±2
??
变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2,从而使得
??±2
??
方便化简.例如:5+2
6
=3+2+2
6
=(
3
)2+(
2
)2+2
2
×
3
=(
3
+
2
)2,
∴
5+2
6
=
(
3
+
2
)
2
=
3
+
2
.
请仿照上例解下列问题:
(1)化简:①
5-2
6
;②
4+2
3
.
(2)已知x=8+4
3
,求
??
2
+
??-1
的值.
参考答案
能力提升
1.C 2.D 3.C 4.B 5.0
6.解 (1)原式=10
2
?
5
-5
2
+3
5
=5
2
+2
5
.
(2)原式=2
6
?
2
2
+
2
6
3
?
2
4
?
6
=
5
6
3
?
3
2
4
.
(3)原式=
4??
??
??
+2y-(7
??
+5x)
=
(4??-7??)
??
??
+2y-5x.
7.解 原式=x
??
+2x
??
-2x
??
=x
??
,当x=
1
4
时,x
??
=
1
4
1
4
=
1
8
.
8.解 设这块试验田的宽为x m,则长为3x m.
依题意,得3x·x=3 600,x2=1 200,
解得x=20
3
(负值舍去).
故这块试验田的周长是(20
3
+20
3
×3)×2=160
3
≈277(m).
创新应用
9.解 (1)①5-2
6
=3+2-2
6
=(
3
)2+(
2
)2-2
2
×
3
=(
3
?
2
)2,∴
5-2
6
=
(
3
-
2
)
2
=
3
?
2
.
②4+2
3
=3+1+2
3
=(
3
)2+12+2×
3
×1=(
3
+1)2,∴
4+2
3
=
(
3
+1
)
2
=
3
+1.
(2)∵
??
2
=
4+2
3
=
3
+1,
??-1
=
7+4
3
=2+
3
,
∴原式=
3
+1+2+
3
=3+2
3
.
第2课时 二次根式的混合运算
知能演练提升
/能力提升/
1.下列式子运算正确的是( )
A.
3
?
2
=1 B.
8
=4
2
C.
1
3
=
3
D.
1
2+
3
+
1
2-
3
=4
2.若x=
??
?
??
,y=
??
+
??
,则xy的值是( )
A.2
??
B.2
??
C.m+n D.m-n
3.计算
32
×
1
2
+
2
×
5
的结果估计在( )
A.6至7之间 B.7至8之间
C.8至9之间 D.9至10之间
4.若a=
1
2
-1
,b=
1
2
+1
,则
????
??
??
-
??
??
的值为0( )
A.2 B.-2 C.
2
D.2
2
★5.对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运算“※”如下:a※b=
??
×
??
??-??-1
,则2※6= .?
6.计算:(1)(
2
+
7
)2-2
28
×
1
2
;
(2)(
12
+
8
)(2
3
-2
2
);
(3)
1
2
-1
+
3
(
3
?
6
)+
8
;
(4)(
3
-2
12
)÷
3
-6
1
2
;
(5)
18
+4
1
2
+
6
3
÷
1
3
.
7.已知a是
2
的小数部分,求
??
2
-2+
1
??
2
的值.
8.若x2-x-2=0,求
??
2
-??+2
3
(
??
2
-??)
2
-1+
3
的值.
9.先化简,再求值:
3-??
2??-4
÷
??+2-
5
??-2
,其中m=
2
-3.
10.已知x,y满足关系式4x2+y2-4x-6y+10=0,请你将
2
3
??
9??
+
??
2
??
??
3
?
??
2
1
??
-5??
??
??
化简,并求出它的值.
/创新应用/
★11.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式去分母时,我们有时会碰上如
5
3
,
2
3
,
2
3
+1
这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
5
3
=
5×
3
3
×
3
=
5
3
3
;①
2
3
=
2×3
3×3
=
6
3
;②
2
3
+1
=
2×(
3
-1)
(
3
+1)(
3
-1)
=
2(
3
-1)
(
3
)
2
-
1
2
=
3
-1.③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2
3
+1
还可以用以下方法化简:
2
3
+1
=
3-1
3
+1
=
(
3
)
2
-
1
2
3
+1
=
(
3
+1)(
3
-1)
3
+1
=
3
-1.④
(1)请用不同的方法化简
2
5
+
3
.
参照③式得
2
5
+
3
= ;?
参照④式得
2
5
+
3
= .?
(2)化简:
1
3
+1
+
1
5
+
3
+
1
7
+
5
+…+
1
2??+1
+
2??-1
(n=1,2,3,…).
参考答案
能力提升
1.D
2.D 运用平方差公式计算.
3.B
4.A 由已知,得a-b=(
2
+1)-(
2
-1)=
2
+1-
2
+1=2,则原式=
????
????
??
-
????
??
=a-b=2.
5.2 2※6=
2
×
6
6-2-1
=2.
6.解 (1)原式=9+2
14
-2
14
=9.
(2)原式=(
12
+
8
)(
12
?
8
)
=(
12
)2-(
8
)2=12-8=4.
(3)原式=
2
+1+3-3
2
+2
2
=4.
(4)原式=(
3
-4
3
)÷
3
-6×
2
2
=(-3
3
)÷
3
-3
2
=-3-3
2
.
(5)原式=(3
2
+2
2
+2
3
)×
3
=(5
2
+2
3
)×
3
=5
6
+6.
7.解 ∵
2
的整数部分是1,∴a=
2
-1.
∴
1
??
=
1
2
-1
=
2
+1.
∴a-
1
??
=(
2
-1)-(
2
+1)=-2<0.
∴原式=
??-
1
??
2
=
??-
1
??
=
1
??
-a=2.
8.解 由已知,得x2-x=2,
∴原式=
2+2
3
3+
3
=
2(1+
3
)
3
(
3
+1)
=
2
3
=
2
3
3
.
9.解 原式=
3-??
2(??-2)
÷
??
2
-4-5
??-2
=
3-??
2(??-2)
÷
??
2
-9
??-2
=
3-??
2(??-2)
·
??-2
(??-3)(??+3)
=-
1
2(??+3)
.
当m=
2
-3时,
原式=-
1
2(
2
-3+3)
=-
2
4
.
10.解 由题意知(2x-1)2+(y-3)2=0,所以x=
1
2
,y=3.
原式=(2x
??
+
????
)-(x
??
-5
????
)=x
??
+6
????
=
1
2
1
2
+6
1
2
×3
=
2
4
+3
6
.
创新应用
11.解 (1)
2(
5
-
3
)
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
=
5
?
3
;
5-3
5
+
3
=
(
5
)
2
-(
3
)
2
5
+
3
=
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
5
+
3
=
5
?
3
.
(2)∵
1
3
+1
=
3
-1
(
3
+1)(
3
-1)
=
3
-1
2
,
1
5
+
3
=
5
-
3
2
,
……
1
2??+1
+
2??-1
=
2??+1
-
2??-1
2
,
∴原式=
3
-1
2
+
5
-
3
2
+
7
-
5
2
+…+
2??+1
-
2??-1
2
=
2??+1
-1
2
.
