18.2.3 正方形课件
图片预览
文档简介
人教版数学八年级下册
18.2.3正方形
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成
正方形．请说说图中∠1的变化过程．
正方形
★正方形是特殊的菱形
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
正方形
〃
〃
矩形有一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
矩形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形是正方形
菱形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形定义：
有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形。
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形
正方形具有矩形性质，同时也具有菱形性质。
正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形．
正方形的性质
四条边相等
四个角都是直角
相等；
垂直且互相平分；
每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
是轴对称图形
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质。
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角
线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
8个
例2 如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
30
10
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形.
（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.
（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形.
（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.
例3 （1）要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 。
（2）要使一个矩形成为正方形需添加的条件是 。
?
?
?
?
判断正误：
例4 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴ DE=DF
∴四边形CEDF是正方形
练习 如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。求证：四边形AEDF是正方形。
D
A
B
C
E
F
M
例5 在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
练习 正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ′＝ＢＢ′＝ＣＣ′＝ＤＤ′.
四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？
①由已知正方形证
三角形全等；
②证得菱形；
③再证直角；
④是正方形。
证题思路分析
例6 正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点 O，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别是ＡO，ＢO，ＣO，ＤO的中点，判断四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的形状并说明理由。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
O
变式 正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点O，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别在AC、BD上，且ＡＡ′＝ＢＢ′=ＣＣ′＝ＤＤ′.判断四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的形状并说明理由。
Ａ
Ｂ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
O
Ｃ
例7 如图，△ABC的外面作正
方形ABDE和ACFG，连结BG、
CE，交点为N。 （1）求证：∠CEA＝∠ABG （2）判断CE与BG的关系并证明。
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
变式1 如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：⑴CE=BG；⑵EG=2AM．
根据正方形的四边相等，得AD=CD
变式2 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG。
解：
因为四边形ABCD是正方形
又知四边形DEFG也是正方形
所以DE=DG
又因为正方形的每个内角为90°
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
所以∠ADE＝∠CDG
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD
所以AE=CG
如何设计花坛？
例8 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
请你当设计师
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例9 如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是 。
A D
B C
O
P
Q
R
1. 正方形的四条边都相等.
2. 正方形的四个角都相等.
3. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角.
4. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1.判断对错：
（1） 四边相等的四边形是正方形
（2）四角相等的四边形是正方形
（3）对角线垂直的平行四边形是正方形
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
（5）四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
√
×
×
×
√
2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补. D、对角线相等.
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
B
D
4.下列判断中正确的是（ ）
A、四边相等的四边形是正方形
B、四角相等的四边形是正方形
C、对角线垂直的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
5.在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A、AC = BD，AB∥CD，AB = CD B、AD∥BC，∠A =∠ C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
7.一正方形对角线长为4,则它的面积为 ．
6.一正方形边长为4,则它的面积为 ．
8
16
8.如图，正方形ABCD的面积是9cm2。则AB= cm, AC= cm。
3
9.为什么下列三个图形都是正方形？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
10.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数.
若∠FEC=30°则∠DAF= 。
30°
∠BEC= ∠BEA= ∠DAF+ ∠ADE= 30°+ 45°= 75°
11.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
12.矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因。
13.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
14.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。试说明：EF=BE+DF
A
B
C
D
E
F
15.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °
∴ EA⊥FA
证明：
16.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF。
解:
连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
17.如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥
AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3
＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
18.已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。
求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF
2.选做题：教材习题18.2第7、15题.
1.必做题：习题18.2，第12、13题．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
18.2.3正方形
如图，某一拉门在完全关闭时，其相应的菱形变成
正方形．请说说图中∠1的变化过程．
正方形
★正方形是特殊的菱形
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
正方形
〃
〃
矩形有一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
矩形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形是正方形
菱形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形是正方形
正方形定义：
有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形。
现在，你对正方形有哪些新的认识？
正方形
正方形具有矩形性质，同时也具有菱形性质。
正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形．
正方形的性质
四条边相等
四个角都是直角
相等；
垂直且互相平分；
每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
是轴对称图形
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打”√”
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱形的性质。
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角
线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
8个
例2 如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？
30
10
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形.
（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.
（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形.
（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形.
例3 （1）要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 。
（2）要使一个矩形成为正方形需添加的条件是 。
?
?
?
?
判断正误：
例4 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
∴ DE=DF
∴四边形CEDF是正方形
练习 如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A、∠B的角平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。求证：四边形AEDF是正方形。
D
A
B
C
E
F
M
例5 在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′分别是ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
练习 正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ′＝ＢＢ′＝ＣＣ′＝ＤＤ′.
四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是正方形吗？为什么？
①由已知正方形证
三角形全等；
②证得菱形；
③再证直角；
④是正方形。
证题思路分析
例6 正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点 O，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别是ＡO，ＢO，ＣO，ＤO的中点，判断四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的形状并说明理由。
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
O
变式 正方形ＡＢＣＤ中，对角线AC和BD交于点O，点Ａ′，Ｂ′，Ｃ′，Ｄ′分别在AC、BD上，且ＡＡ′＝ＢＢ′=ＣＣ′＝ＤＤ′.判断四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的形状并说明理由。
Ａ
Ｂ
Ｄ
D′
C′
B′
Ａ′
O
Ｃ
例7 如图，△ABC的外面作正
方形ABDE和ACFG，连结BG、
CE，交点为N。 （1）求证：∠CEA＝∠ABG （2）判断CE与BG的关系并证明。
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
变式1 如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：⑴CE=BG；⑵EG=2AM．
根据正方形的四边相等，得AD=CD
变式2 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG。
解：
因为四边形ABCD是正方形
又知四边形DEFG也是正方形
所以DE=DG
又因为正方形的每个内角为90°
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
所以∠ADE＝∠CDG
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD
所以AE=CG
如何设计花坛？
例8 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
请你当设计师
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例9 如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两正方形重合部分的面积是 。
A D
B C
O
P
Q
R
1. 正方形的四条边都相等.
2. 正方形的四个角都相等.
3. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角.
4. 正方形是轴对称图形，有4条对称轴.
一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
1.判断对错：
（1） 四边相等的四边形是正方形
（2）四角相等的四边形是正方形
（3）对角线垂直的平行四边形是正方形
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
（5）四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
√
×
×
×
√
2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补. D、对角线相等.
3.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
B
D
4.下列判断中正确的是（ ）
A、四边相等的四边形是正方形
B、四角相等的四边形是正方形
C、对角线垂直的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D
5.在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A、AC = BD，AB∥CD，AB = CD B、AD∥BC，∠A =∠ C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
7.一正方形对角线长为4,则它的面积为 ．
6.一正方形边长为4,则它的面积为 ．
8
16
8.如图，正方形ABCD的面积是9cm2。则AB= cm, AC= cm。
3
9.为什么下列三个图形都是正方形？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
10.正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠BEC的度数.
若∠FEC=30°则∠DAF= 。
30°
∠BEC= ∠BEA= ∠DAF+ ∠ADE= 30°+ 45°= 75°
11.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
12.矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因。
13.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．
14.如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。试说明：EF=BE+DF
A
B
C
D
E
F
15.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °
∴ EA⊥FA
证明：
16.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF。
解:
连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
17.如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥
AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3
＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
18.已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M。
求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS) ∴DM=DF
2.选做题：教材习题18.2第7、15题.
1.必做题：习题18.2，第12、13题．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php