第二章 探究匀变速直线运动的规律 章末总结 学案（粤教版必修1）
一、匀变速直线运动规律的应用
例1 跳伞运动员做低空跳伞表演，他在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动．一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)．
(1)运动员展开伞时，离地面高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？
(2)运动员在空中的最短时间是多少？
例2 公共汽车从某一点由静止启动，可视为以加速度a1做匀加速直线运动，行驶一小段时间后，突然发现有一位乘客没上车，于是立即刹车以加速度a2做匀减速直线运动，待车完全停下后，车已离开站点的距离为s，求车的运动时间．
二、数形结合思想的应用
例3 一空间探测器从某一星球表面竖直升空，假设探测器的质量不变，发动机的推动力为恒力，探测器升空过程中发动机突然关闭，图1为探测器速度随时间的变化情况．求：
图1
(1)升空后9 s、25 s、45 s即在图线上A、B、C三点探测器的运动情况；
(2)探测器在该星球表面达到的最大高度．
三、利用纸带求加速度的方法
例4 如图2所示为“研究匀变速直线运动”实验中打点计时器打出的纸带，相邻两计数点间还有两个点未画出(电源频率为50 Hz)．由图知纸带上D点瞬时速度vD＝______；加速度a＝________；E点瞬时速度vE＝______.(小数点后保留两位小数)
图2
四、行车安全问题
例5 在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
【即学即练】
1．汽车从静止出发做匀加速直线运动，加速度为a，经过时间t后，又以同样数值的加速度做匀减速直线运动，最后静止．则汽车在这两个过程中( )
A．位移不同
B．平均速度不同
C．经历时间不同
D．加速度不同
2．汽车刹车后做匀减速直线运动，最后停了下来，在刹车过程中，汽车前半程的平均速度与后半程的平均速度之比是( )
A．(＋1)∶1 B．2∶1
C．1∶(＋1) D．1∶
3．一物体从高s处做自由落体运动，经时间t到达地面，落地速度为v，那么当物体下落时间为时，物体的速度和距地面高度分别是( )
A.， B.，
C.，s D.，s
4．火车沿平直轨道以20 m/s的速度向前运动，司机发现正前方50 m处有一列火车正以8 m/s的速度沿同一方向开行，为避免相撞，司机立即刹车，刹车的加速度大小至少应是( )
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．0.5 m/s2 D．1.44 m/s2
5．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，在第三个T时间内的位移是3 m,3T末的速度是3 m/s，则( )
A．物体的加速度是1 m/s2
B．1T末的瞬时速度为1 m/s
C．该时间间隔T＝1 s
D．物体在第一个T内位移是1 m
6．物体做匀变速直线运动，第n秒内的位移为sn，第n＋1秒内的位移是sn＋1，则物体在第n秒末的速度是(n为自然数)( )
A. B.
C. D.
7．如图3所示，a、b分别表示先后从同一地点以相同初速度做匀变速直线运动的两个物体的v－t图象，则下列说法正确的是( )
图3
A． 4 s末两个物体速率相等
B．5 s末两个物体速率相等
C．4 s末两个物体相遇
D．5 s末两个物体相遇
8．一列火车以2 m/s的初速度、0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则：
(1)火车在第3 s末的速度是多少？
(2)在前4 s的平均速度是多少？
(3)在第5 s内的位移是多少？
(4)在第2个4 s内的位移是多少？
9．某人骑自行车以4 m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面7 m处以10 m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，以2 m/s2的加速度匀减速前进，此人需要多长时间才能追上汽车？
参考答案
知识体系构建
重力 9.8 m/s2 gt gt2 2gs vt 加速度 vt＝v0＋at s＝v0t＋at2 v－v＝2as ＝ < at2
1∶2∶3∶…
1∶3∶5∶…
12∶22∶32∶…
1∶∶∶…
1∶(－1)∶(－)∶…
解题方法探究
例1 (1)99 m 1.25 m (2)8.6 s
例2
解析 如图所示，汽车t1时间内以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达C时速度达到v，在t2时间内以加速度a2做匀减速运动，初速度为v，运动到B时vB＝0.前后两段时间内的位移分别为s1和s2.由于前段和后段涉及的均为初末速度、位移、时间的问题，我们可以采用公式，联立方程组求解．
由vt＝v0＋at，可知
在AC段v＝a1t1①
CB段可看成反向的初速度为零的匀加速运动
v＝a2t2②
由①②可得t＝v(＋)③
由v－v＝2as，可知
在AC段v2＝2a1s1④
CB段视为反向的初速度为零的匀加速运动v2＝2a2s2⑤
由④⑤可得s＝s1＋s2＝(＋)⑥
③⑥得t＝ .
例3 (1)见解析 (2)800 m
解析 (1)从v－t图象可知，探测器在0～9 s加速上升，9 s末发动机突然关闭，此时上升速度最大为64 m/s,9 s～25 s探测器仅在重力作用下减速上升，25 s末它的速度减小为零，上升到最高点，25 s以后探测器做自由落体运动．由于SΔOAB＝×64×25 m＝800 m，SΔBDC＝×80×20 m＝800 m．所以45 s末它恰好到达星球表面，此时它落地的速度为80 m/s，方向向下．
(2)设探测器达到的最大高度为h.由v－t图象可以看出，它在0～25 s内发生的位移即为h.
所以h＝SΔOAB＝×64×25 m＝800 m.
例4 0.90 m/s 3.33 m/s2 1.10 m/s
解析 由题意可知：T＝0.06 s，vD＝CE＝ m/s＝0.90 m/s.
s1＝12.6 cm－10.2 cm＝2.4 cm，
s2＝16.2 cm－12.6 cm＝3.6 cm，
s3＝21.0 cm－16.2 cm＝4.8 cm，
s4＝27.0 cm－21.0 cm＝6.0 cm.
从而a＝≈3.33 m/s2，vE＝vD＋aT＝1.10 m/s.
例5 A的初速度应小于等于
解析 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车相等．设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA，末速度为vA，所用时间为t；B车的位移为sB，末速度为vB，运动过程如图所示，现用四种方法解答如下：
解法一(分析法)：利用位移公式、速度公式求解．
对A车有sA＝v0t＋·(－2a)·t2
vA＝v0＋(－2a)·t
对B车有sB＝at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞临界条件是vA＝vB，
以上各式联立解得v0＝
故要使两车不相撞，A的初速度v0满足的条件是v0<.
解法二(极值法)：利用判别式求解，由解法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋·(－2a)·t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4·3a·2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<.
解法三(图象法)：利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有，vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知s＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A的初速度v0满足的条件是v0<.
解法四(相对运动法)：巧选参考系求解
以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为s，由运动学公式v－v＝2as得：
02－v＝2·(－3a)·s
所以v0＝
即要使两车不相撞，A的初速度v0满足的条件是v0<.
即学即练
1．D 2.A 3.C 4.D 5.B 6.B
7．AC
8．(1)3.5 m/s (2)1.5 m/s (3)4.25 m
(4)20 m
9．8 s
解析 汽车匀减速前进的时间t＝＝5 s，此时汽车距骑车人的初始位置为s＝s0＋(v0t－at2)＝32 m，在时间t内骑车人前进的距离s′为s′＝vt＝20 m这说明骑车人应在汽车停下后才能追上汽车，设骑车人追上汽车所需时间为t′，则t′＝＝8 s.
解答此题常犯的错误是直接根据二者位移相等建立下面方程
vt＝s0＋v0t－at2，即4t＝7＋v0t－×2t2，由此解得t＝7 s(t＝－1 s舍去)．
所求时间之所以小于8 s，是因为此解法中的汽车刹车刹得倒回去了一段，这显然不符合实际，所以在解答此类(刹车)问题时，一定要注意分析判断，先由题给数据计算出刹车停下需要多长时间后，再决定以后的求解应采用的方法步骤，不可不加分析的乱套公式．
第二章章末复习课
【知识体系】
[答案填写] ①静止 ②重力 ③均匀变化 ④大小和方向
主题1 解匀变速直线运动问题的常用方法
匀变速直线运动的规律、公式较多，一个匀变速直线运动问题往往有多种解决方法．根据题目给出的信息，结合规律、公式的自身特点，选择适当的公式和方法，可以起到事半功倍的效果．
常用方法
规律特点
一般公式法
vt＝v0＋at(不含位移)
s＝v0t＋at2(不含末速度)
v－v＝2as(不含时间)
平均速度法
＝，对任何性质的运动都适用(不含加速度)
＝(v0＋vt)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
“任意一段时间t中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”即v＝，适用于任何一个匀变速直线运动
【典例1】 如图所示，一小物块从静止沿斜面以恒定的加速度下滑，依次通过A、B、C三点，已知AB＝12 m，AC＝32 m，小物块通过AB、BC所用的时间均为2 s，求：
(1)小物块下滑时的加速度；
(2)小物块通过A、B、C三点时的速度．
解：解法一 (1)设物块下滑的加速度为a，则sBC－sAB＝at2，所以a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
(2)vB＝＝ m/s＝8 m/s.
解法二 由vt＝v0＋at得vA＝vB－at＝(8－2×2) m/s＝4 m/s，
vC＝vB＋at＝(8＋2×2) m/s＝12 m/s.
由s＝v0t＋at2知：
AB段：12＝vA×2＋a×22，①
AC段：32＝vA×4＋a×42，②
①②联立得vA＝4 m/s，a＝2 m/s2.
所以vB＝vA＋at＝8 m/s，vC＝vA＋a·2t＝12 m/s.
解法三 vB＝＝8 m/s，由sBC＝vBt＋at2，
即20＝8×2＋a×22，得a＝2 m/s2.
由vt＝v0＋at知vA＝vB－at＝4 m/s，vC＝vB＋at＝
12 m/s.
答案：(1)2 m/s2 (2)vA＝4 m/s vB＝8 m/s
vC＝12 m/s
针对训练
1．物体从斜面顶端由静止开始下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时速度为( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．2 m/s
解析：设斜面长度为L，物体下滑时的加速度为a，得v2＝2aL，v＝2a，解得v＝v中＝2 m/s，D正确．
答案：D
主题2 运动图象问题
1．“六看”识图象．
首先要学会识图．识图就是通过“看”寻找规律及解题的突破口．为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．
(1)“轴”：纵、横轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是s，还是v.
(2)“线”：从线反映运动性质，如s-t图象为水平直线表示匀速运动，v-t图象为水平直线表示匀速运动，v-t图象为倾斜直线表示匀变速运动．
(3)“斜率”：s-t图象斜率表示速度；v-t图象斜率表示加速度．
(4)“面”即“面积”：主要看纵、横轴量的乘积有无意义．如st图象面积无意义，v-t图象与t轴所围面积表示位移．
(5)“截距”：初始条件、初始位置s0或初速度v0.
(6)“特殊值”：如交点，s-t图象交点表示相遇，v-t图象交点表示速度相等(不表示相遇)．
2．如下是s-t图象和v-t图象的比较.
s-t图
v-t图
①表示物体做匀速直线运动(斜率大小表示速度的大小)
②表示物体静止
③表示物体反向匀速直线运动(斜率大小表示速度的大小)
④交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移
⑤t1时刻物体的位移为s1
①表示物体做匀加速直线运动(斜率大小表示加速度的大小)
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体做匀减速直线运动(斜率大小表示加速度的大小)
④交点的纵坐标表示三个运动质点在同一时刻的共同速度
⑤t1时刻物体的速度为v1(阴影部分面积表示质点在t1时间内的位移)
[典例?] (多选)我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7 020 m的深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6 500 m)，这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图(a)所示、速度图象如图(b)所示，则下列说法中正确的是( )
图(a) 图(b)
A．图中h3是本次实验下潜的最大深度
B．本次实验中深潜器的最大加速度是0.025 m/s2
C．在3～4 min和6～8 min的时间段内深潜器具有向上的加速度
D．在6～10 min时间段内深潜器的平均速度为0
解析：根据题图(a)深度显示图象，可以看出深潜器下潜的最大深度是h3，A正确；根据题图(b)速度显示图象可以求出各时间段深潜器的加速度，0～1 min内深潜器的加速度a1＝＝－ m/s2，3～4 min内加速度a2＝＝ m/s2，6～8 min内加速度a3＝＝ m/s2，8～10 min内加速度a4＝＝－ m/s2，所以此过程中深潜器的最大加速度为 m/s2≈0.033 m/s2，B错误；3～4 min和6～8 min的时间段内深潜器的加速度方向向上，C正确；6～10 min时间段内深潜器在向上运动，位移不为零，所以平均速度不为零，D错误．故选A、C.
答案：AC
针对训练
2．(多选)在如图所示的st图象和vt图象中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
A．t1时刻，乙车追上甲车
B．0～t1时间内，甲、乙两车的平均速度相等
C．丙、丁两车在t2时刻相遇
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
解析：它们由同一地点向同一方向运动，在t1时刻前，甲的位移大于乙的位移，在t1时刻甲、乙位移相等，则A正确；在t1时刻两车的位移相等，由v＝，甲、乙两车在0～t1时间内的平均速度相等，B正确；由vt图象与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在t2时刻对应vt图线的面积不相等，即位移不相等，C错误；0～t2时间内，丁的位移大于丙的位移，时间相等，所以丁的平均速度大于丙的平均速度，故D错误．
答案：AB
主题3 纸带问题的分析和处理
1．由纸带判断物体的运动性质．
(1)根据匀速直线运动特点，s＝vt，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动．
(2)由匀变速直线运动的推论Δs＝aT2，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
2．由纸带求物体运动的速度．
如果物体做匀变速直线运动，s1、s2、…、sn为其在连续相等时间内的位移，T为相等时间间隔值，则纸带上某点对应的瞬时速度等于以这个点为中间时刻的位移内的平均速度，即vn＝.
3．由纸带求物体运动的加速度．
(1)由图象求加速度：利用多组数据描绘出vt图象，则vt图象的直线斜率即为物体运动的加速度．
(2)逐差法：虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δs时，偶然误差较大，为此应采取逐差法．
如图所示，纸带上有6个连续相等的时间T内的位移s1、s2、s3、s4、s5、s6.
即由Δs＝aT2，得
s4－s1＝(s4－s3)＋(s3－s2)＋(s2－s1)＝3aT2，
s5－s2＝(s5－s4)＋(s4－s3)＋(s3－s2)＝3aT2，
s6－s3＝(s6－s5)＋(s5－s4)＋(s4－s3)＝3aT2，
所以a＝
＝.
由此可以看出，该公式各段位移都用上了，可有效地减小偶然误差，所以利用纸带计算加速度时，应采用逐差法．
【典例3】 在“研究匀变速直线运动”的实验中，打点计时器使用的电源周期为0.02 s．实验得到的纸带如图所示，图中A、B、C、D、E为所选取的计数点，相邻两个计数点间还有四个点未画出．现测得相邻计数点间距依次为sAB＝16.10 cm，sBC＝17.95 cm，sCD＝19.81 cm，sDE＝21.65 cm.
(1)相邻计数点的间隔时间为________s.
(2)所使用的刻度尺的最小刻度为________cm.
(3)拖着纸带运动的物体加速度为________m/s2.
(4)打点计时器在打B点时，物体的瞬时速度大小为________m/s.
解析：(1)打点周期T＝0.02 s．相邻计数点间隔的时间为t＝5×0.02 s＝0.1 s.
(2)由测量数据可知，测量所用的刻度尺为毫米刻度尺，最小刻度为0.1 cm.
(3)由a＝，得
a＝
＝ m/s2
≈1.85 m/s2.
(4)由＝，得
vB＝＝ m/s≈1.7 m/s.
答案：(1)0.1 (2)0.1 (3)1.85 (4)1.7
针对训练
3．如图所示为“探究小车速度随时间变化的规律”实验中打点计时器打出的纸带，相邻两计数点间还有两个点未画出(电源频率为50 Hz)．由图知纸带上D点的瞬时速度vD＝________；加速度a＝________；E点的瞬时速度vE＝________．(小数点后均保留两位小数)
解析：由题意可知：T＝0.06 s，
vD＝CE＝ m/s＝0.90 m/s.
设AB、BC、CD、DE间距离分别为s1、s2、s3、s4，如图所示，
则a＝＝≈
3．33 m/s2，vE＝vD＋aT≈1.10 m/s.
答案：0.90 m/s 3.33 m/s2 1.10 m/s
统揽考情
本章知识核心是物体的匀变速直线运动问题，高考对本章考查的内容主要有：①匀变速直线运动的规律及运动图象问题；②行车安全问题．
真题例析
(2015·广东卷)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移—时间图象如图所示．下列表述正确的是( )
A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大
B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大
C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小
D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等
解析：题图为s-t图象，图象的斜率表示速度．根据图象可知0.2～0.5小时内，甲、乙都做匀速直线运动，加速度都为0，甲的斜率比乙大，所以甲的速度大于乙的速度，A错误，B正确；0.6～0.8小时内，甲的位移是－5 m，乙的位移是－3 m，C错误；0.8小时内，甲、乙的位移相同，但是路程不一样，D错误．
答案：B
针对训练
(多选)如图所示为汽车在行驶过程中通过交叉路口时的vt图象，由图象可知( )
A．汽车在路口等候的时间为10 s
B．汽车减速过程的加速度大小为2.5 m/s2
C．汽车减速运动过程的位移大小为20 m
D．汽车启动过程中做的是加速度增大的加速运动
解析：汽车在路口等候的时间为6 s，A项错误；汽车减速过程a＝＝－2.5 m/s2，B项正确；减速过程的位移等于vt图象与坐标轴围成的面积s＝20 m，C项正确；启动过程中，汽车做加速度越来越小的加速运动，选项D错误．
答案：BC
1．17世纪意大利科学家伽利略在研究落体运动的规律时，做了著名的斜面实验，其中应用到的物理思想方法属于( )
A．等效替代法 B．实验归纳法
C．理想实验法 D．控制变量法
解析：由于时间测量上的困难，伽利略无法直接研究自由落体运动，而是在斜面实验的基础上合理外推，最终得到倾角为90°时小球运动(自由落体运动)的规律．所以，在当时并没有直接对落体运动进行实验，伽利略所用的物理实验方法属于理想实验法，选项C正确．
答案：C
2．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速运动．已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为( )
A．2.5 m/s B．5 m/s
C．7.5 m/s D．10 m/s
解析：设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度v1＝＝；减速阶段的平均速度v2＝＝.所以s＝v1t1＋v2t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得vm＝5 m/s.
答案：B
3．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图象如图所示，那么0～t和t～3t两段时间内( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
解析：两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，＝，A错；两段的位移s1＝vt，s2＝vt，＝，B对；两段的平均速度v1＝v2＝，C错，D对．
答案：BD
4．在“测定匀变速直线运动加速度”的实验中得到一条纸带，纸带上每相邻的两计数点间都有4个点未画出，按时间顺序取0、1、2、3、4、5、6共7个计数点，测出1、2、3、4、5、6点到0点的距离，如图所示(单位：cm)．由纸带数据计算可得：(1)计数点4所代表时刻的瞬时速度大小v4＝________ m/s；(2)小车的加速度大小为________ m/s2(保留2位有效数字)．
解析：(1)相邻计数点之间都还有4个点未画出，说明相邻计数点之间的时间间隔是0.1 s．由全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度得：
v4＝ m/s≈0.41 m/s.
(2)由Δs＝aT2得：
a＝×10－2 m/s2≈0.76 m/s2.
答案：(1)0.41 (2)0.76
5．一辆长途客车正在以v＝16 m/s的速度匀速行驶，突然，司机看见车的正前方s＝36 m处有一只小狗(如图甲)，司机立即采取制动措施．从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔Δt＝0.5 s．若从司机看见小狗开始计时(t＝0)，该长途客车的速度—时间图象如图乙所示．求：
(1)长途客车在Δt时间内前进的距离；
(2)长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(3)根据你的计算结果，判断小狗是否安全．
解析：(1)长途客车在司机的反应时间内前进的距离：
s1＝vΔt＝16×0.5 m＝8 m.
(2)从司机发现小狗至停止的时间内长途客车前进的距离：s2＝s1＋＝40 m.
(3)因为s2＞s，所以小狗不安全．
答案：(1)8 m (2)40 m (3)小狗不安全
