2018-2019学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）开学数学试卷（解析版）

2018-2019学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共12小题）
1．（4分）下面有理数比较大小，正确的是（ ）
A．0＜﹣2 B．﹣5＜3 C．﹣2＜﹣3 D．1＜﹣4
2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A． B．
C． D．
3．（4分）在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（ ）
A．抽取乙校初二年级学生进行调查
B．在丙校随机抽取600名学生进行调查
C．随机抽取150名老师进行调查
D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调査
4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3
5．（4分）若a＜2＜a+1，则整数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
7．（4分）如图，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．π B．2π C．3π D．6π
8．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（ ）

A．84cm2 B．90cm2 C．126cm2 D．168cm2
10．（4分）如图，一艘油轮在海中航行，在A点看到小岛B在A的北偏东25°方向距离60海里处，油轮沿北偏东70°方向航行到C处，看到小岛B在C的北偏西50°方向，则油轮从A航行到C处的距离是（ ）海里．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.74，≈2.45）

A．66.8 B．67 C．115.8 D．116
11．（4分）如图，Rt△ADC在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线y＝（m≠0）交Rt△ADC斜边AC的中点B，连接BD，过点C作双曲线y＝（m≠0）．若BD＝3BE，A的坐标为（1，8），则m＝（ ）

A．﹣8 B．﹣18 C．﹣28 D．﹣48
12．（4分）若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个非正整数解，且关于x的分式方程+2＝有负整数解，则整数a的个数为（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（每小题4分，共6个小题
13．（4分）今年春节黄金周期间，重庆共接待游客4725.98万人次，问鼎全国接待游客数量榜首．其中“4725.98万人次“用科学记数法表示为 人次．
14．（4分）﹣12016+16÷（﹣2）3×|﹣3|＝ ．
15．（4分）如图，E是?ABCD边AB延长线上的一点，AB＝4BE，连接DE交BC于点F，则△DCF与四边形ABFD面积的比是 ．

16．（4分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为 ．

17．（4分）如图，小明和小亮同时从学校放学，两人以各自速度匀速步行回家，小明的家在学校的正西方向，小亮的家在学校的正东方向，小明准备一回家就开始做作业，打开书包时发现错拿了小亮的练习册，于是立即跑步去追小亮，终于在途中追上了小亮并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（小明在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果小明比小亮晚回到家中．如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图．则小明的家和小亮的家相距 米．

18．（4分）寒假期间，爱学习的小明决定将部分压岁钱用于购买A、B两种文具，2月10日，A文具的单价比B文具的单价少2元，小明购进A、B两种文具共3件；2月20日，A文具的单价翻倍，B文具的单价不变，小明购进A、B两种文具共4件．若A、B文具的单价和数量均为正整数且小明第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小明两次购买文具共花费 元．
三、解答题（共78分
19．（8分）化简求值：÷（﹣a﹣b），其中a＝3，b＝1．
20．（8分）如图，AB∥EF，AD平分∠BAC，且∠C＝45°，∠CDE＝125°，求∠ADF的度数．

21．（10分）如图所示，直线AB与双曲线y＝交于A，B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C，D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（﹣3，m）
（1）分别求一次函数与反比例函数式．
（2）连接OB，在x轴上求点P的坐标，△AOP的面积等于△AOB的面积．

22．（10分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）

整理，分析过程如下：
成绩x学生 70≤x≤74 75≤x≤79 80≤x≤84 85≤x≤89 90≤x≤94 95≤x≤100
甲 0 1 4 5 0 0
乙 1 1 4 2 1 1
（1）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示，请补充完整：
学生 极差 平均数 中位数 众数 方差
甲 83.7 86 13.21
乙 24 83.7 82 46.21
（2）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选 （填“甲“或“乙“），理由为 ．
23．（10分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用16800元购进了一批这种村衫，面市后果然供不应求，商家又用36400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批村衫是多少件？
（2）若两批村衫按相同的标价销售，最后剩下50件按六折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于20%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
24．（10分）已知在平行四边形ABCD中，AB＝BD，BE⊥AD于点E，CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、点F，连接GE．
（1）若BF＝3，CF＝5，求平行四边形ABCD的面积．
（2）若CF＝AB，求证：GE＝BG．

25．（10分）请阅读以下材料，并解决相应的问题：
材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．
村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：
（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3
（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设an是第n行的第2个数（其中n≥4），bn是第n行的第3个数，cn是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（bn﹣an）?cn+1

26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2﹣x+交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为﹣5．
（1）求直线BD的解析式；
（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线分别交抛物线于点F，交x轴于点G．当折线段EF+BE最大时，在直线EF上任取点P，连接BP，以BP为斜边向上作等腰直角△BPQ，连接CQ、QG，求CQ+QG的最小值．
（3）如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后的△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C′B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB＝α时，直接写出此时C″的坐标．




2018-2019学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，共12小题）
1．【解答】解：A、0＞﹣2，故此选项错误；
B、﹣5＜3，正确；
C、﹣2＞﹣3，故此选项错误；
D、1＞﹣4，故此选项错误；
故选：B．
2．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：B．
3．【解答】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取150名学生进行调査最具有具体性和代表性，
故选：D．
4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
∴m＜3，
故选：A．
5．【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜2＜3，
∴a＝2，a+1＝3，
故选：B．
6．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
7．【解答】解：∵在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，
∴∠C＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：＝3π，
故选：C．
8．【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
9．【解答】解：第（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3＝6cm2，
第（2）个图形有2×3＝6个小正方形，面积为2×3×3＝18cm2，
第（3）个图形有3×4＝12个小正方形，面积为3×4×3＝36cm2，
…，
第（6）个图形有6×7＝42个小正方形，面积为6×7×3＝126cm2．
故选：C．
10．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDA＝∠BDC＝90°，

由题意知：∠BAC＝70°﹣25°＝45°，
∵AM∥CN，
∴∠MAC+∠NCA＝180°，
∴∠NCA＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BCA＝110°﹣50°＝60°，
∵AB＝60海里，∠BAD＝45°，
∴AD＝AB×cos45°＝30海里，BD＝AD＝30海里，CD＝＝10海里，
30+10≈30×1.41+10×2.45≈67
∴AC＝AD+CD＝67海里，
故选：B．
11．【解答】解：如图，过B作BF∥CD，交AD于F，设AD与x轴交于点G．
∵Rt△ADC斜边AC的中点B，
∴BD＝AB＝BC，F为AD的中点，CD＝2BF．
∵BD＝3BE，A的坐标为（1，8），
∴AB＝3BE，
∴＝＝，＝，
∴FG＝2，
∴F（1，2），
∴AF＝8﹣2＝6，
∵DF＝AF＝6，
∴D（1，﹣4）．
∵B点纵坐标与F点纵坐标相同为2，过点A（1，8）的双曲线y＝（m≠0）也经过点B，
∴k＝1×8＝8，B点横坐标为8÷2＝4，
∴B（4，2），
∴BF＝4﹣1＝3，
∴CD＝2BF＝6，
∵D（1，﹣4），
∴C（7，﹣4）．
∵双曲线y＝（m≠0）过点C，
∴m＝7×（﹣4）＝﹣28．
故选：C．

12．【解答】解：解不等式2（x+1）≤4+3x，得：x≥﹣2，
解不等式4x﹣a＜0，得：x＜，
∵不等式组有且只有3个非正整数解，
∴＞0，
解得：a＞0，
由方程得：x＝且是负整数，
∴a＝3，4
故选：C．
二、填空题：（每小题4分，共6个小题
13．【解答】解：4725.98万＝4.72598×107．
故答案为：4.72598×107．
14．【解答】解：原式＝﹣1﹣6＝﹣7，
故答案为：﹣7
15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝（）2，
∵AB＝4BE，
∴CD＝4BE，
∴∴＝（）2，
∴S△DCF＝16S△BEF，
同理：S△ACD＝25S△BEF，
∴＝，
∴＝＝，
即△DCF与四边形ABFD面积的比是2：3，
故答案为．
16．【解答】解：连接AE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC＝3，
在Rt△ADE中，AD＝＝，
在Rt△ADC中，AC＝＝．
故答案为．

17．【解答】解：由图象可知，设FG段两人之间的距离为x米，则有＝，
解得x＝2100米，
∵小明回到家的时间比小亮到达学校的时间多用了10分钟，由OE段可知10分钟小明正好从家步行到学校，
∴FG段两人之间的距离正好是家到学校的距离，
∴小亮家与学校相距2100米，
因为十分钟内两人走的距离之和是1400米，G点代表小明正好到达学校，小亮正好同时到家．从追上之后到学校这段路程，小明用了15分钟，小亮用了25分钟，得出速度比为5：3，小明家到学校距离为1400×＝875米．
所以两家相距2100+875＝2975米
故答案为2975．

18．【解答】解：设B文具的单价为x元/件，第一次购买文具共花费y元，
依题意，得：，，，，，，
解得：，，，，，．
∵x，y均为正整数，
∴x＝3，y＝5，
∴y+y+5＝15．
故答案为：15．
三、解答题（共78分
19．【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
当a＝3，b＝1时，
原式＝＝﹣5．
20．【解答】解：∵∠CDE＝125°，∠C＝45°，
∴∠CFD＝∠CDE﹣∠C＝125°﹣45°＝80°，
∵AB∥EF，
∴∠BAC＝∠DFC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠BAC＝40°，
∴∠ADF＝∠DFC﹣∠DAF＝40°．
21．【解答】解：（1）过A作AE⊥OC与E，
∵tan∠AOC＝，
∴设AE＝2x，OE＝3x，
∴AO＝＝x＝2，
∴x＝2，
∴AE＝4，OE＝6，
∴A（﹣6，4），
∴线AB与双曲线y＝交于A，B两点，
∴k＝﹣6×4＝﹣3m，
∴k＝﹣24，m＝8，
∴反比例函数式为y＝﹣，B（﹣3，8），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+12；

（2）设P（n，0），
∵△AOP的面积等于△AOB的面积，
∴|n|×4＝（4+8）×3，
∴n＝±9，
∴P（9，0）或（﹣9，0）．

22．【解答】解：（1）甲的极差为14，中位数为86，
乙的众数为81．
故答案为14，86，81．

（2）从极差、中位数、众数、方差来看，甲的成绩比较好，选甲．
从发展趋势看，乙的成绩越来越好，选乙．
23．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
+10＝，
解得x＝140，
经检验，x＝140是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是140件．

（2）3x＝3×140＝520，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（520﹣50）y+50×0.6y≥（16800+36400）×（1+20%），
解得y≥127.68．
答：每件衬衫的标价至少是127.68元．
24．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∵CF＝5，BF＝3，
∴BC＝4，
∴AD＝BC＝4，
∵BD＝AB，BE⊥AD，
∴DE＝AD＝2，
∵∠BCF+∠CBG＝∠CBG+∠DBE，
∴∠BCF＝∠DBE，
∵∠DEB＝∠FBC＝90°，
∴△DEB∽△FBC，
∴，
∴，BE＝，
∴S?ABCD＝AD?BE＝4×＝；
（2）证明：由（1）知：△DEB∽△FBC，
∵CF＝AB＝BD，
∴△DEB≌△FBC，
∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，
设BE＝x，则BC＝AD＝2x，CF＝x，
S△BCF＝＝BF?BC，
x?BG＝x?2x，
∴BG＝x，
∴DG＝x﹣x＝x，
过G作GH⊥AD于H，
sin∠EDG＝＝，
∴GH＝x，
cos∠EDG＝＝，
DH＝，
∴EH＝x﹣＝，
∴EG＝＝＝，
∴＝＝，
∴EG＝BG．

25．【解答】（1）解：令t＝x2+3x﹣1
则原方程为：t2+2t＝3
解得：t＝1 或者 t＝﹣3
当t＝1时
x2+3x﹣1＝1
解得： 或
当t＝﹣3时
x2+3x﹣1＝﹣3
解得：x＝﹣1或x＝﹣2
∴方程的解为： 或 或x＝﹣1或x＝﹣2
（2）解：根据杨辉三角形的特点得出：
an＝n﹣1


∴4（bn﹣an）?cn+1＝（n﹣1）（n﹣4）（n﹣2）（n﹣3）+1＝（n2﹣5n+4）（n2﹣5n+6）+1
＝（n2﹣5n+4）2+2（n2﹣5n+4）+1＝（n2﹣5n+5）2
26．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣4或1，令x＝0，则y＝，
故：点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（1，0）、（0，），
当x＝﹣5时，y＝﹣2，即点D（﹣5，﹣2），
设直线BD的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则直线BD的表达式为：y＝x﹣；
（2）如图，设BD交y轴于点K，则K（0，﹣），设：点E（m，m﹣），
点F（m，﹣m2﹣m+），tan∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，
EF+EB＝﹣m2﹣m+﹣（m﹣）+2（﹣m）
＝﹣（m+3）2+，
故：当m＝﹣3时，折线段EF+BE最大，此时，点E（﹣3，﹣）；

如图，过点Q分别作QN⊥x轴交于点，作QM⊥y轴交于点M，
∵∠MQP+∠PQN＝90°，∠PQN+∠NQB＝90°，∴∠NQB＝∠PQM，
又∠PMQ＝∠QNB＝90°，QA＝QB，
∴△PMQ≌△BNQ（AAS），∴QM＝QN，
∴GMQN为正方形，∴QM＝QG，
∴CQ+QG＝QM+QC，
当C、M、Q三点共线，且QM⊥EF时，CQ+QG取得最小值，最小值为3；
（3）如图，作O′M⊥BD于点M，设：O′B＝a，则OM＝a，MB＝a，

DM＝BD﹣BM＝4﹣a，∠O′DM＝∠C″BO′，∠O′MD＝∠BO′C″＝90°，
∴△O′MD∽△C″O′B，∴，
∴，
解得：a＝4或﹣8（舍去﹣8），
故：点C″的坐标为（﹣3，﹣）．