【备考2019中考数学学案】第五单元 四边形 第1课时 多边形与平行四边形

第五单元 四边形
第1讲 多边形与平行四边形
考 点 知 识 清 单
考点一 多边形及平面镶嵌
1.内角和:n边形的内角和等于①_________________________。
2.外角和:多边形的外角和等于②_________________。
3.正多边形的性质:正多边形的各个角都③___________，各条边都④________________。
4.平面镶嵌条件:（1）拼接在同一点的各个内角的和恰好等于360°；（2）相邻的多边形有相等的边.【温馨提示】过n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）个三角形，n边形共有对角线条.
考点二 平行四边形的性质与判定
角度
性质
判定
边
对边平行且
⑤__________
两组对边分别⑥________的四边形是平行四边形（定义）.
两组对边分别⑦____________的四边形是平行四边形.
一组对边⑧______________的四边形是平行四边形.
角
对角⑨_______
邻角互补
两组对角分别⑩____________的四边形是平行四边形.
对角线
对角线?_____
对角线?____________的四边形是平行四边形.
【温馨提示】1.有一组对边平行而另一组对边相等的四边形不能判定它是平行四边形，比如等腰梯形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形2.平行线间的距离是指两条平行线之间垂线段的长度.平行线间的距离处处相等.夹在两条平行线间的平行线段相等.
考点三 三角形的中位线
1.定义:连接三角形两边中点的线段.
2.条数:任意一个三角形都有三条中位线.
3.性质:三角形的中位线?_________第三边，并且等于第三边的_____________。
题 型 归 类 探 究
类型一 多边形的内角和与外角和（重点）
【典例1】（1）（2017·北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A.6 B.12 C.16 D.18
（2）（2018·宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_________。
【思路导引】
多边形的内角和为(n-2)×180°；外角和为360°，则根据题意列式为(n-2)×180°＝3×360°。
【自主解答】
【方法技巧】多边形的解题策略:（1）多边形内角和为（n-2）·180°有两个作用:一是由边数计算内角和；二是如果知道了多边形的内角和，利用这个公式解出它的边数.（2）因为任何多边形的外角和都是360°，所以多边形的外角和与边数无关，多边形的内角与其相邻的外角互补，解题时常把多边形的内角问题转化为外角问题.
【变式训练】1.（2018·郴州）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是______。
类型二 平行四边形的性质（重点）
【典例2】（2017·乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF＝ED，求证:AE∥CF。
【思路导引】根据平行四边形的性质证明△AED≌△CFB，得∠AED＝∠CFB，则AE∥CF.也可连接AC交BD于点O，易证四边形AECF是平行四边形，得AE∥CF.
【自主解答】
【方法技巧】应用平行四边形性质解决问题的方法:（1）应用平行四边形的性质可求角的度数、线段的长度，也可用来证明线段相等或倍分关系；（2）在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决。
【变式训练】
2.（2018·福建）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证:OE＝OF.
类型三 平行四边形的判定（重点）
【典例3】（2018·孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证:四边形ABED是平行四边形.
【思路导引】欲证四边形ABED是平行四边形，已知AB∥DE，故可再证AB＝DE，这可通过证明△ABC≌△DEF得到.
【自主解答】
【变式训练】
3.（2018·永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.
（1）求证:四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积。
类型四 三角形的中位线（高频点）
【典例4】（2018·天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为______________。
【思路导引】连接DE，则DE为等边△ABC的中位线，由此可求DE的长，且△DEG为直角三角形.在Rt△EFC中求得EF的长，即知EG的长，最后在Rt△DEG中由勾股定理求DG的长.
【自主解答】
【方法技巧】应用三角形中位线解题的方法:（1）当题目中已知三角形的中点，证明平行关系或一条线段是另一条线段的2倍或一半时，要考虑用三角形的中位线定理；（2）遇到三角形的一个中点时，要想到构造中位线，找出符合条件的基本图形，利用三角形中位线解决问题；（3）已知图形中线段的中点较多时，常考虑利用三角形中位线定理确定线段间的位置关系或数量关系.
【变式训练】
4.（2018·泰州）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝a，则∠BEF的度数为_____________。（用含a的式子表示）
中 考 真 题 回 放
考点一 多边形的内角和与外角和
1.（2018·济宁）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A.50o B.55o C.60° D.65°
2.（2018·莱芜）如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（ ）
A.149° B.149.5° C.150° D.150.5o
3.（2015·莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）A.27 B.35 C.44 D.54
4.（2018·济南）一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是___________。
5.（2018·聊城）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是_____。考点二 平行四边形的性质
6.（2017·眉山）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.10
7.（2017·青岛）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
8.（2017·威海）如图，在平行四边形ABCD中∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，交AG于点O，连接BE.下列结论错误的是（ ）
A.BO＝OH B.DF＝CE C.DH＝CG D.AB＝AE
9.（2018·临沂）如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝___________。
10.（2018·济南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E，F分别是DA和BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O.
求证:OB＝OD
考点三 平行四边形的判定
11.（2018·东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF，添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A.AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDF
12.（2017·聊城）如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证:AC∥DF.

13.（2018·恩施）如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证:AD与BE互相平分。
考点四 三角形的中位线
14.（2018·泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE＋EO＝4，则 ABCD的周长为（ ）
A.20 B.16 C.12 D.8
15.（2014·枣庄）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A. B.1 C. D.7
16.（2017·宁夏）在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为______________。
17.（2018·赤峰）如图，P是 ABCD的边AD上一点，E，F分别是PB，PC的中点，若 ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是________cm2.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）B 解析:由题意可知该正多边形的每一个外角均为30°，则该正多边形的边数是360°÷30°＝12.
（2）8 解析:（n-2）×180°＝3×360°，解得n＝8.
【变式训练】1.720°
【典例2】
【自主解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，又∵BF＝ED，∴△AED≌△CFB（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF。
【变式训练】2.证明:“四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF。
在△OAE和△OCF中，
∵ ∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF。
【典例3】
【自主解答】证明:AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F。
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，∴BC＝EF。
在△ABC和△DEF中，∵∠B＝∠DEF，BC＝FF，∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形。
【変式训练】3.（1）证明::△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60o。又∠CAB＝30o，
∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝30＋60°＝90°。
∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACB＝90o＋90o＝180°，∴BC∥AD。
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，E是线段AB的中点，
∴CE=AE，∴∠ACE=∠CAB。∵∠CAB＝30°，∴∠ACE＝∠CAB＝30o。
∴∠BEC＝∠ACE＋∠CAB＝30°＋30o＝60o，∵∠ABD＝60o，∴∠ABD=∠BEC，∴BD∥CE。
又∵BC∥AD，四边形BCFD为平行四边形。
（2）解:过B作BG⊥CF，垂足为G.∵AB＝6，点E是线段AB的中点，∴BE＝3。
在R△BEG中，∠BBG＝60o，sin∠BEG＝，
∴。
∵△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，
∴平行四边形BCFD的面积为BD?BG＝。
【典例4】
【自主解答】 解析：∵EF⊥AC，∴∠EFC=90o.
连接DE，则DE为等边△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE=AC=×4＝2.
∴∠DEF=∠EFC＝90o。
在Rt△EFC中，∠C＝60o，CE＝BC＝2，
∴EF＝CE?sinC＝.∵G是EF的中点，∴FG＝.
在Rt△DBG中，根据勾股定理，得DG＝.
【变式训练】4.270°-3a 解析:∵∠ACD=90o，∠D＝a，∴∠DAC＝90°-a，∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝90o-a，∵∠ABC＝90°，AE＝CE，
∴BE＝AE＝FC，∴∠EBA＝∠EAB＝90°-a，∴∠CEB=∠EBA+∠EAB=180o-2a，
∵AE＝CE，CF＝DF，:EF∥AD，∴∠CEF＝∠DAC＝90o一a，
∴∠BEF＝∠CEB＋∠CEF＝270°-3a。
【中考真题回放】
1.C 2.B 3.C 4.5 5.180o或360°或540° 6.C 7.D 8.D 9.4
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。∴∠E=∠F，∠EDO=∠FBO，
∴AE=CF，∴BC＋CF＝DA＋AE.
∴DE＝BF，△OBF≌△ODE，∴OB＝OD。
11.D
12.证明:连接AD.
∵AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形。
∴AD∥BE，AD＝BE。
∵BE＝CF，∴AD＝CF.
又AD∥CF，∴四边形ACFD是平行四边形，∴AC∥DF。
13.证明:连接BD，AE.∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE
∵FB＝CE，∴BC＝EF.
在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（ASA），
∴AB＝DE.又∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AD与BE互相平分.
14.B 15.A 16.8 17.2