2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高一（上）期末数学试卷解析版

2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7}，B＝{x∈N|2＜x≤6}，全集U＝A∪B，则?UB＝（　　）
A．{1，2，7} B．{1，7} C．{2，3，7} D．{2，7}
2．（5分）已知对数式log（x﹣1）（x+2）有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＞1 C．x＞1且x≠2 D．x＞﹣2且x≠2
3．（5分）已知函数f（x）为定义在[2b，1﹣b]上的偶函数，且在[0，1﹣b]上单调递增，则f（x）≤f（1）的解集（　　）
A．[1，2] B．[3，5] C．[﹣1，1] D．[，]
4．（5分）函数y＝x2﹣6x+10在区间（2，4）上是（　　）
A．减函数 B．增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
5．（5分）已知直线a、b、c及平面α，下列哪个条件能确定a∥b（　　）
A．a∥α，b∥α B．a⊥c，b⊥c
C．a、b与c成等角 D．a∥c，b∥c
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
8．（5分）若log2[log0.5（log2x）]＝0，则x的值是（　　）
A． B．2 C． D．1
9．（5分）下列叙述中不正确的是（　　）
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°
D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα
10．（5分）已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　）
A．4 B． C． D．
11．（5分）已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A．5 B．10 C． D．
12．（5分）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当|a﹣b|＜ε（ε为精确度）时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过（　　）
A． B． C．ε D．2ε
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）点M（2，﹣1，3）关于坐标平面xoz的对称点的坐标为　 　．
14．（5分）不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7＝0恒过第　 　象限．
15．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为　 　．
16．（5分）已知关于x的不等式logm（mx2）＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为　 　
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）求函数的递增区间．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+3，x∈[﹣4，6]
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
19．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
20．（12分）已知3x2+2y2＝6x，试求x2+y2的最大值．
21．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24＝0．
（1）若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
（2）求过P点的圆C弦的中点的轨迹方程．
22．（12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）＝x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．

2018-2019学年陕西省汉中市城固一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【解答】解：集合A＝{1，2，3，5，7}，
B＝{x∈N|2＜x≤6}＝{3，4，5，6}，
全集U＝A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7}，
则?UB＝{1，2，7}．
故选：A．
2．【解答】解：由题意得：
，
解得：x＞1且x≠2，
故选：C．
3．【解答】解：由﹣2b＝1﹣b得，b＝﹣1，
则f（x）在[0，2]上递增，在[﹣2，0]上递减，f（x）≤f（1），
所以﹣1≤x≤1．
故选：C．
4．【解答】解：∵函数y＝x2﹣6x+10
∴对称轴为x＝3
∵3∈（2，4）并且a＝1＞0抛物线开口向上
∴函数y＝x2﹣6x+10在区间（2，4）上线递减再递增
故选：C．
5．【解答】解：A如图可否定A；
B如图可否定B；
C正三棱锥侧棱与底面所成角相等，却不平行；
D符合平行的传递性，显然D正确，
故选：D．
6．【解答】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是，
∴该几何体的表面积是＝+2，
故选：B．
7．【解答】解：∵log0.51＝0＜a＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.6＜log1.11＝0，
c＝1.10.6＞1.10＝1．
∴b＜a＜c．
故选：C．
8．【解答】解：∵log2[log0.5（log2x）]＝0，
∴log0.5（log2x）＝1，
∴log2x＝0.5，
解得x＝．
故选：A．
9．【解答】解：A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应，正确；
B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角，正确．
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°，正确；
D．若直线的倾斜角为α，时，则直线的斜率不存在，因此不正确．
故选：D．
10．【解答】解：根据中点坐标公式得到，
解得，
所以P的坐标为（4，1）
则点P（x，y）到原点的距离d＝＝
故选：D．
11．【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k＝2，
则切线斜率为﹣，
则切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），
即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为＝．
故选：D．
12．【解答】解：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b﹣＝﹣a＝＝，因此误差最大不超过．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：点M（2，﹣1，3）关于坐标平面xoz的对称点的坐标为（2，1，3）．
故答案为：（2，1，3）．
14．【解答】解：直线方程可变形为：（3x﹣y+7）+a（x+2y）＝0，
由，求得，
∴直线过定点（﹣2，1），因此直线必定过第二象限，
故答案为：二．
15．【解答】解：如图，M，N分别是上下底面正三角形的中心，
O为MN的中点，
易知O为外接球的球心，
在直角三角形ONA中，可得半径OA＝，
∴S球＝4π×7＝28π，
故答案为：28π．
16．【解答】解：关于x的不等式logm（mx2）＞0在[1，2]上恒成立，
当m＞1时，mx2＞1在[1，2]恒成立，
即为m＞在[1，2]恒成立，
由（++1）﹣＝（+1）2﹣，
可得x＝1时，取得最大值，
即m＞；
当0＜m＜1时，0＜mx2＜1在[1，2]恒成立，
即有m＞＝﹣（﹣1）2+，
显然x＝1时，m＞，
由m﹣1+＜1且4m﹣2+＜1，
解得m＜，
可得＜m＜，
综上可得m的范围是（，）∪（，+∞），
故答案为：（，）∪（，+∞）．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：对于函数，令t＝x2+2x﹣3＞0，求得，x＞1或x＜﹣3，故函数的定义域为{x|x＞1或x＜﹣3}，
本题即求函数t在定义域内的减区间．
而二次函数t＝x2+2x﹣3在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣3），．
所以函数f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣3）．
18．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2﹣4x+3，x∈[﹣4，6]，
对称轴为x＝2∈[﹣4，6]，
则f（x）的最小值为f（2）＝﹣1；
f（x）的最大值为f（﹣4）＝35；
（2）若f（x）是单调函数，
且对称轴为x＝﹣a，
则﹣a≥6或﹣a≤﹣4，
解得a≥4或a≤﹣6．
19．【解答】解：（1）连接OM，则OM⊥AB
设OM＝r，OB＝﹣r，在△BMO中，sin∠ABC＝＝?r＝
∴S＝4πr2＝π．
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴AC＝1．
∴V＝V圆锥﹣V球＝π×AC2×BC﹣πr3＝π×﹣π×＝π．
20．【解答】解：由题意可得，由y2≥0可得
解可得，0≤x≤2
设t＝x2+y2＝＝＝＝
∵0≤x≤2
又∵函数t＝在[0，2]上单调递增
当x＝2时，函数t有最大值4
21．【解答】解：（1）圆的圆心为C（﹣2，6），半径r＝4，
∵直线l被圆C解得弦长为4，
∴圆心C到直线l的距离d＝＝2，
若直线l无斜率，则直线方程为x＝0，
此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；
若直线l有斜率，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，
∴，解得k＝，
∴直线l的方程为y＝x+5．
综上，直线l的方程为x＝0或y＝x+5．
（2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y），
则kCM＝（x≠﹣2），kPM＝（x≠0），
∴?＝﹣1，
整理得x2+y2+2x﹣11y+30＝0，
经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，
当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，
∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．
22．【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）＝2．…（2分）
当4＜x≤20时，设v（x）＝ax+b，显然v（x）＝ax+b在[4，20]是减函数，
由已知得，
解得…（4分）
故函数v（x）＝…（6分）
（2）依题意并由（1），
得f（x）＝，…（8分）
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故fmax（x）＝f（4）＝4×2＝8．…（10分）
当4≤x≤20时，f（x）＝﹣＝﹣＝﹣+，
fmax（x）＝f（10）＝12.5．…（12分）
所以，当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，
鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…（14分）