专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
? 类型一 平行四边形与全等三角形
1．用两个全等的三角形最多能拼成________个不同的平行四边形．
2．平行四边形中的一条对角线把平行四边形分成________个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成________对全等三角形．
3．如图1－ZT－1所示，E，F是?ABCD的对角线AC上的两点，且BE∥DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
/
图1－ZT－1
4．2018·温州 如图1－ZT－2，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
/
图1－ZT－2
? 类型二 平行四边形与等腰三角形
5．如图1－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，D是BC上一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE＋DF＝________cm.
/图1－ZT－3
/图1－ZT－4
6．如图1－ZT－4所示，在?ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为________．
7．如图1－ZT－5所示，如果?ABCD的内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求?ABCD各内角的度数．
/
图1－ZT－5
? 类型三 平行四边形中的中点问题
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图1－ZT－6
8．如图1－ZT－6所示，在?ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
9．若O为?ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝11 cm，则AC＋BD＝________cm.
10．如图1－ZT－7所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC于点A，AB＝1，BC＝，则对角线BD的长为__________．
/图1－ZT－7
/图1－ZT－8
11．如图1－ZT－8所示，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为F，EF的反向延长线与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．
12．如图1－ZT－9所示，在?ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求?ABCD的面积．
/
图1－ZT－9
? 类型四 平行四边形中的开放性问题
13．如图1－ZT－10，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
/
图1－ZT－10
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
14．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列六组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；⑥∠BAD＋∠ABC＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的有( )
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
15．如图1－ZT－11所示，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．(只需证明一组线段相等即可)
(1)连接________；
(2)猜想：________＝________；
(3)证明．
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图1－ZT－11
16．如图1－ZT－12，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于点G，F是AD的中点．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若EB是∠AEC的平分线，请写出图中所有与AE相等的边．
/
图1－ZT－12
详解详析
专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
1．[答案] 3
2．[答案] 2 4
3．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF.
(2)由(1)知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
4．解：(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
又∵∠AED＝∠B，
∴△AED≌△EBC.
(2)∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE.
∵AB＝6，∴CD＝AB＝3.
5．[答案] 7
6．[答案] 2 cm
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°，∠DAE＝∠BEA.
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.
又∵AE＝BE，∴AB＝BE＝AE，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.
[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°等)时，通常可以转化出等腰三角形，反之亦然．
8．[答案] B
9．[答案] 22
10．[答案] 2
11．[答案] 2
12．解：如图所示，延长BC至点E，使CE＝CM，连接DE.
/
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥ME.
又∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM＝2CE＝2BM，
∴AD＝ME＝10，BE＝15，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴DE＝AM＝9.
又∵BD2＋DE2＝122＋92＝225，
BE2＝152＝225，
∴BD2＋DE2＝BE2，∴BD⊥DE，
∴?ABCD的面积＝2(△BDE的面积－△DCE的面积)＝2×(×9×12－×9×12×)＝72.
13．[答案] D
14．[答案] C
15．解：(1)BF(或DF)
(2)BF DE(或DF BE)
(3)证明BF＝DE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF；
证明DF＝BE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
16．解：(1)证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF.
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB(AAS)，
∴AE＝BD，
∴AE＝CD.
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
(2)图中所有与AE相等的边有：AF，DF，BD，CD.
理由：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，AD∥EC，
∴∠CEF＝∠AFE.
∵BD＝CD，
∴AE＝BD.
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AFE，
∴AE＝AF.
∵△AFE≌△DFB，
∴AF＝DF，
∴AE＝AF＝DF＝BD＝CD.
专题训练(三) 中点问题常用思路
在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：
(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质解答；
(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；
(4)构造三角形中位线解答．
? 类型一 与等腰三角形有关的中点问题
1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥AC；
(2)求MN的长．
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图3－ZT－1
? 类型二 与垂直平分线有关的中点问题
2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.
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图3－ZT－2
? 类型三 与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题
3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.
(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．
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图3－ZT－3
? 类型四 与三角形中位线有关的中点问题
4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．
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图3－ZT－4
5．2018·白银 如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
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图3－ZT－5
6．已知M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM.
(1)如图3－ZT－6①，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；
(2)如图3－ZT－6②，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．
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图3－ZT－6
7．如图3－ZT－7①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
(1)试说明：FG＝(AB＋BC＋AC)；
(2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；
(3)如图③，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______________．
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图3－ZT－7
详解详析
专题训练(三) 中点问题常用思路
1．解：(1)证明：如图，连接AM，CM，
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∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，
∴AM＝CM＝BM＝DM＝BD.
又∵N是AC的中点，∴MN⊥AC.
(2)∵∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝16，
∴BD＝＝20，
∴AM＝BD＝×20＝10.
∵AC＝16，N是AC的中点，
∴AN＝×16＝8，∴MN＝＝6.
2．证明：如图，连接AM，AN.
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∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴BM＝AM，NC＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠MAB＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC.
3．解：(1)证明：如图①，连接DM，ME.
/
∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
(2)证明：由(1)知DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME
＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)
＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)
＝360°－2(180°－∠A)
＝2∠A，
∴∠DME＝180°－2∠A.
(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．
理由如下：如图②，连接DM，ME.在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC
＝2(180°－∠BAC)
＝360°－2∠BAC，
∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)
＝2∠BAC－180°.
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4．解：MN∥AD∥BC，MN＝(BC－AD)．
理由如下：连接AM并延长交BC于点H，如图所示．
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∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠HBD.
在△AMD和△HMB中，
∴△AMD≌△HMB，∴AM＝MH，AD＝BH.
∵AM＝MH，AN＝NC，
∴MN∥HC，MN＝HC，
∴MN∥BC∥AD，MN＝(BC－AD)．
5．解：(1)证明：∵F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH＝BE＝BG，
∴∠CFH＝∠CBG.
又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC.
(2)连接EF，GH.当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB＝EF＝GH＝a，
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝a·a＝a2.
6．解：(1)如图①，延长BD交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC－AE＝18－12＝6.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×6＝3.
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(2)如图②，延长BD交CA的延长线于点E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC＋AE＝18＋12＝30.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×30＝15.
7．解：(1)∵BD⊥AF，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN
＝(MB＋BC＋CN)
＝(AB＋BC＋AC)．
(2)FG＝(AB＋AC－BC)．
理由：如图①，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN
＝(MB＋CN－BC)
＝(AB＋AC－BC)．
/
(3)FG＝(AC＋BC－AB)．
理由：如图②，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN
＝(CN＋BC－MB)
＝(AC＋BC－AB)．
专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
? 类型一 把一个顶点折叠到一条边上
1．如图2－ZT－1所示，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．
/
图2－ZT－1
2．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，连接AE，AE与FG交于点O.
求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
/
图2－ZT－2
? 类型二 把一条边折叠到对角线上
3.
/
图2－ZT－3
如图2－ZT－3所示，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．准备一张矩形纸片ABCD，按图2－ZT－4所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
/
图2－ZT－4
? 类型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
5．如图2－ZT－5所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
/ 图2－ZT－5
/图2－ZT－6
6．2018·三台县模拟 如图2－ZT－6，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′落在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动，则A′C长度的取值范围为________．
7．如图2－ZT－7所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．
/
图2－ZT－7
8．如图2－ZT－8所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE＝a，DE＝b，CD＝c.请写出a，b，c三者之间的数量关系式，并说明理由．
/
图2－ZT－8
? 类型四 沿一条直线折叠
/
图2－ZT－9
9．2018·内江 如图2－ZT－9，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28°
C．62° D．56°
10．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图2－ZT－10所示的图形．若∠CED′＝56°，则∠AED＝________°.
/图2－ZT－10
/图2－ZT－11
11．如图2－ZT－11所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝________cm.
12．如图2－ZT－12，将一张矩形纸片ABCD折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
求证：(1)∠ABE＝30°；
(2)四边形BFB′E为菱形．
/
图2－ZT－12
详解详析
专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
1．解：根据折叠的性质，知EF＝AE＝5.根据矩形的性质，知∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝＝＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.
2．证明：连接AF.由折叠的性质，可得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG.
又∵AG＝EG，∴EF＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形．
又∵AG＝EG，∴平行四边形AGEF是菱形，即A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
3．[答案] D
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
(2)∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
5．[答案] C
6．[答案] 4 cm≤A′C≤8 cm
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝10 cm，CD＝AB＝6 cm.
当点E与点B重合时，A′C的长度最小，
如图①所示：
/
此时BA′＝BA＝6 cm，
∴A′C＝BC－BA′＝10－6＝4(cm)；
当点F与点D重合时，A′C的长度最大，
如图②所示：
/
此时A′D＝AD＝10 cm，
∴A′C＝＝8(cm)．
综上所述，A′C长度的取值范围为4 cm≤A′C≤8 cm.
故答案为：4 cm≤A′C≤8 cm.
7．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16－x.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10.
过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在Rt△EFH中，EF＝＝＝4 .
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.
由折叠的性质，得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AF＝CF＝AE.
又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，
∴△AD′E≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2.理由如下：
由(1)知CE＝AE.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∵AE＝a，DE＝b，CD＝c，∴CE＝AE＝a.
在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2，
∴a，b，c三者之间的数量关系式可写为a2＝b2＋c2.
9．[解析] D ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠ADB＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.故选D.
10．[答案] 62
11．[答案]
12．证明：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，
∴∠AEB＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，
∴∠A′EB＝∠FEB′.
∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，
∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.
又∵∠A＝90°，∴∠ABE＝30°.
(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，
∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°，
∴△BEF和△EFB′都是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′，
∴四边形BFB′E为菱形．
