微点深化 极化恒等式的应用
1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：
(1)·＝[|PQ|2－|NM|2](平行四边形模式)；
(2)·＝|PO|2－|NM|2(三角形模式).
【例题】 (1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
(2)(2018·上海调研)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________.
解析 (1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16.
(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.
又由极化恒等式得：
·＝|PD|2－|AB|2＝|PD|2－3，
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，
所以·∈[－2，6].
答案 (1)－16 (2)[－2，6]
探究提高 1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.
2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.
【题组训练】
(1)(2018·诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值为( )
A.－ B.－ C.－ D.－1
解析 ＋＝2，∴(＋)·＝2·，取OC中点D，由极化恒等式得，·＝|PD|2－|OC|2＝|PD|2－，又|PD|＝0，∴(＋)·的最小值为－.
答案 C
(2) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是( )
A.44 B.22 C.24 D.72
解析 如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，·＝
＝＝2，
∴EP＝3，
又∵＝3，＝，＝，
∴AE＝2DP，
即△FAE中，DP为中位线，AF＝2AD＝10，AE＝AB＝4，FE＝2PE＝6，
·＝·＝＝＝22.
答案 B
(3)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
解析 如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：
·＝|PE|2－|OF|2＝|PE|2－，
∵|PE|＝，∴·的最大值为6.
答案 C
(4)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.
解析 取AE中点O，设|AE|＝x(0≤x≤1)，则|AO|＝x，∴·＝|DO|2－|AE|2＝12＋－x2＝1.
答案 1
(5)(2018·镇海中学模拟)在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则·＋2的最小值是________.
解析 取BC的中点为D，连接PD，
则由极化恒等式得·＋2＝2－＋2＝2＋≥＋
此时当且仅当⊥时取等号，
·＋2≥＋≥2＝2.
答案 2
微点深化 极化恒等式的应用
探究提高 1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.
2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.
答案 C
答案 B
答案 C
(4)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.
答案 1
