模板2 立体几何问题
(满分15分)如图， 已知四棱锥PABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点. (1)证明：CE∥平面PAB； (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
满分解答 得分说明 解题模板
(1)证明 如图， 设PA中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，PA中点， 所以EF∥AD且EF＝AD， (1分) 又因为BC∥AD，BC＝AD， (2分) 所以EF∥BC且EF＝BC， 即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. (5分) 又因为CE?平面PAB，BF?平面PAB， 因此CE∥平面PAB. (6分) ①能指出EF∥AD，BC∥AD各得1分；②能得到CE∥BF，得3分；③条件CE?平面PAB与BF?平面PAB错1个扣1分； 第一步 由线线平行得平行四边形； 第二步 由线线平行得线面平行； 第三步 由线线垂直得线面垂直； 第四步 得出线面角； 第五步 在三角形中计算各个边，求值.
(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N， 连接PN交EF于点Q，连接MQ. 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点， 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE. (7分) 由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N是AD的中点得BN⊥AD. 因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN.(9分) 由BC∥AD得BC⊥平面PBN， 因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBN. (11分) 过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH⊥平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD＝1. (12分) 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝，所以sin∠QMH＝， 所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是. (15分) ④指出MQ∥CE得1分；⑤指出PN⊥AD，BN⊥AD，PN∩BN＝N，得2分，缺1个条件扣1分；⑥得出BC⊥平面PBN得2分；⑦指出∠QMH是所求角，得到1分；⑧计算正确得3分．错误一个量扣1分.
【训练2】 如图，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2，A1B＝，A1B⊥AC.
(1)求证：A1C1⊥B1C；
(2)求直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值．
(1)证明 法一 取AC的中点O，连接A1O，BO，
∴BO⊥AC.
∵A1B⊥AC，A1B∩BO＝B，
A1B?平面A1BO，BO?平面A1BO，
∴AC⊥平面A1BO.
连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM，
又∵OM?平面A1BO，∴AC⊥OM，∴AC⊥B1C.
∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C.
法二 连接AB1，BC1，∵四边形A1ABB1是菱形，
∴A1B⊥AB1，
又∵A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，∴A1B⊥平面AB1C，
∴A1B⊥B1C，
又∵四边形B1BCC1是菱形，∴BC1⊥B1C，
又∵A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，
∴B1C⊥A1C1.
(2)解 由法二知A1B⊥平面AB1C，
又∵A1B?平面ABB1A1，
∴平面AB1C⊥平面ABB1A1.
∵平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，
∴AC在平面ABB1A1内的射影为AB1，
∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角．
∵AB1＝2AM＝2＝，
∴在Rt△ACB1中，cos∠B1AC＝＝＝，
∴直线AC和平面ABB1A1所成角的余弦值为.
模板2 立体几何问题
(满分15分)如图， 已知四棱锥PABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.
(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
满分解答
(1)证明 如图，设PA中点为F，连接EF，FB.
因为E，F分别为PD，PA中点，
(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE. (7分)
过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH⊥平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD＝1. (12分)
得分说明
①能指出EF∥AD，BC∥AD各得1分；
②能得到CE∥BF，得3分；
③条件CE?平面PAB与BF?平面PAB错1个扣1分；
④指出MQ∥CE得1分；
⑤指出PN⊥AD，BN⊥AD，PN∩BN＝N，得2分，缺1个条件扣1分；
⑥得出BC⊥平面PBN得2分；
⑦指出∠QMH是所求角，得到1分；
⑧计算正确得3分.错误一个量扣1分.
解题模板
第一步 由线线平行得平行四边形；
第二步 由线线平行得线面平行；
第三步 由线线垂直得线面垂直；
第四步 得出线面角；
第五步 在三角形中计算各个边，求值.
(1)证明 法一 取AC的中点O，连接A1O，BO，∴BO⊥AC.
连接AB1交A1B于点M，连接OM，则B1C∥OM，
又∵OM?平面A1BO，∴AC⊥OM，∴AC⊥B1C.
∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C.
法二 连接AB1，BC1，∵四边形A1ABB1是菱形，∴A1B⊥AB1，
又∵A1B⊥AC，AB1∩AC＝A，∴A1B⊥平面AB1C，∴A1B⊥B1C，
又∵四边形B1BCC1是菱形，∴BC1⊥B1C，
又∵A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，∴B1C⊥A1C1.
(2)解 由法二知A1B⊥平面AB1C，
∴∠B1AC为直线AC和平面ABB1A1所成的角.
∵平面AB1C∩平面ABB1A1＝AB1，∴AC在平面ABB1A1内的射影为AB1，
又∵A1B?平面ABB1A1，∴平面AB1C⊥平面ABB1A1.
