2.函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
[回扣问题1] 函数f(x)＝的定义域为________．
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．
答案 [2，＋∞)
2．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[回扣问题2] 已知f()＝x＋2，则f(x)＝________．
答案 x2＋2x(x≥0)
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[回扣问题3] 已知函数f(x)＝
则f ＝________．
答案
4．函数的奇偶性
若f(x)的定义域关于原点对称，
f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)；
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系．
[回扣问题4] (1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________．
(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________．
答案 (1) (2)
5．函数的周期性
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[回扣问题5] 函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f ＝cos ＝.
答案
6．函数的单调性
(1)定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定．
(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[回扣问题6] (1)函数f(x)＝的单调减区间为________．
(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D
7．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可导函数；
(5)换元法(特别注意新元的范围)；
(6)分离常数法：适合于一次分式；
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
[回扣问题7] 函数y＝的值域为________．
答案 (0，1)
8．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[回扣问题8] (1)函数y＝的图象关于点________对称．
(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________．
答案 (1)(－2，3) (2)(0，1)
9．二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[回扣问题9] 关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________．
答案
10．指数与对数的运算性质：
(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q)．
(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
[回扣问题10] 设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10 C．20 D．100
答案 A
11．指数函数与对数函数的图象与性质：
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1，0)．
[回扣问题11] (1)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)函数y＝loga|x|的增区间为________．
答案 (1)D (2)当a＞1时，(0，＋∞)；当0＜a＜1时，(－∞，0)
12．函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立．
[回扣问题12] 设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
答案 B
13．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
注意 过某点的切线不一定只有一条．
[回扣问题13] 已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是____________．
答案 3x＋y＝0或24x－y－54＝0
14．常用的求导方法
(1)(xm)′＝mxm－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ex)′＝ex，(ln x)′＝，′＝－.
(2)(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
[回扣问题14] 已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________；已知f(x)＝，则f′(x)＝________．
答案 ln x＋1
15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[回扣问题15] 函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
答案 B
16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[回扣问题16] 函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
答案 C
2.函数与导数
答案 [2，＋∞)
解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
答案 x2＋2x(x≥0)
4.函数的奇偶性
若f(x)的定义域关于原点对称，
f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)；
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必 要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系.
[回扣问题4] (1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.
(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________.
答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D
答案 (0，1)
8.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的 对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.
答案 (1)(－2，3) (2)(0，1)
9.二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.
[回扣问题9] 关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根的充要条件是________.
答案 A
答案 (1)D (2)当a＞1时，(0，＋∞)；当0＜a＜1时，(－∞，0)
答案 B
13.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).
注意 过某点的切线不一定只有一条.
[回扣问题13] 已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是____________.
答案 3x＋y＝0或24x－y－54＝0
15.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意 如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.
[回扣问题15] 函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.[－3，＋∞)
C.(－3，＋∞) D.(－∞，－3)
答案 B
16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点.
[回扣问题16] 函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A.2 B.1 C.0 D.由a确定
答案 C
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回扣——回扣教材，查缺补漏，清除得分障碍
1．集合与常用逻辑用语、复数
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[回扣问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 A
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
[回扣问题2] 若集合A＝{x∈R|y＝lg(2－x)}，B＝{y∈R|y＝2x－1，x∈A}，则?R(A∩B)＝( )
A．R B．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，0]
答案 B
3．遇到A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况．
[回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________．
答案 0或1或
4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
[回扣问题4] 集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
5．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[回扣问题5] “10a＞10b”是“lg a＞lg b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
6．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
[回扣问题6] 复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.
答案 B
回扣——回扣教材，查缺补漏，清除得分障碍
1.集合与常用逻辑用语、复数
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
答案 A
[回扣问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度， 那么这个三角形一定不是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
答案 B
答案 C
4.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
[回扣问题4] 集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[回扣问题5] “10a＞10b”是“lg a＞lg b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
答案 B
