INCLUDEPICTURE"解答题每日规范练2.TIF" INCLUDEPICTURE "解答题每日规范练2.TIF" \* MERGEFORMAT
星期一 (三角) 2019年____月____日
【题目1】 设f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin 2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，
由题意知A为锐角，所以cos A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．
因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.
星期二 (立体几何) 2019年____月____日
【题目2】 如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．
(1)证明：AE⊥平面PAD；
(2)取AB＝2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为？若存在，请求出H点的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE.而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD.
(2)解 设线段PD上存在一点H，连接AH，EH.由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE＝，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝，从而DH＝.∴线段PD上存在点H，当DH＝时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为.
星期三 (数列) 2019年____月____日
【题目3】 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和．
(1)证明：an＋1>an；
(2)证明：an＝cos；
(3)证明：Sn>n－.
证明 (1)因为an>0，
且2a－2a＝an＋1－2a＝(1－an)(1＋2an)，
故要证an＋1>an，只需要证明an<1即可．
下用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝<1成立；
假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak<1成立，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝<＝1，
综上所述，对任意n，有an<1.所以an＋1>an.
(2)用数学归纳法证明an＝cos.
当n＝1时，a1＝＝cos＝cos成立；
假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝cos，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝cos.
所以综上所述，对任意n，an＝cos.
(3)由＝1－＝1－a＝sin2<(n≥2)，得an－1>1－(n≥2)．
故当n＝1时，S1＝>1－；
当n≥2时，Sn> ＋＝n－－××>n－.
综上所述，Sn>n－.
星期四 (解析几何) 2019年____月____日
【题目4】 已知抛物线x2＝2py(p>0)和圆x2＋y2＝r2(r>0)的公共弦过抛物线的焦点F，且弦长为4.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M，求△ABM面积的最小值．
解 (1)由题意可知，2p＝4，所以p＝2.
故抛物线的方程为x2＝4y.
又＋p2＝r2，所以r2＝5.
所以圆的方程为x2＋y2＝5.
(2)由题意知直线l的斜率存在，
故设直线l的方程为：y＝kx＋1.
并设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消y可得，x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4；
|AB|＝|x1－x2|＝＝4(1＋k2)．
又y′＝，所以过A点的切线的斜率为，切线为y－y1＝(x－x1)，
令y＝0，可得M，
所以点M到直线l的距离d＝，
故S△AMB＝×4(1＋k2)×
＝|kx1＋2|，
又k＝＝eq \f(x－4,4x1)，
代入上式并整理得S△ABM＝·eq \f(（x＋4）2,|x1|).
令f(x)＝，可得f(x)为偶函数，
当x>0时，f(x)＝＝x3＋8x＋，
f′(x)＝3x2＋8－＝，
令f′(x)＝0，可得x＝，
当x∈，f′(x)<0；当x∈，f′(x)>0.
所以x＝时，f(x)取得最小值，
故S△ABM的最小值为×＝.
星期五 (函数与导数) 2019年____月____日
【题目5】 已知f(x)＝a(x－ln x)＋.
(1)a>0，讨论f(x)的单调区间；
(2)证明：当a＝1时，f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1，2]成立．
(1)解 f′(x)＝a＋
＝＝(x>0)，
①当>1，即0
②当＝1，即a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当<1，即a>2时，f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)证明 当a＝1时，
f(x)－f′(x)＝x－ln x＋－
＝x－ln x＋＋－－1，x∈[1，2]，
令g(x)＝x－ln x，h(x)＝＋－－1，x∈[1，2]，
则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x)，
由g′(x)＝≥0可得g(x)≥g(1)＝1，当且仅当x＝1时取得等号．又h′(x)＝，
设φ(x)＝－3x2－2x＋6，则φ(x)在x∈[1，2]上单调递减，
因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，
所以在[1，2]上存在唯一x0，使得x∈(1，x0)时，φ(x)>0，x∈(x0，2)时，φ(x)<0，故函数h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，2)上单调递减．
由于h(1)＝1，h(2)＝，因此h(x)≥h(2)＝，
当且仅当x＝2时取得等号，
所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝，
即f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1，2]恒成立．
星期六 (74分解答题综合练) 2019年____月____日
【题目1】 (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值．
解 (1)f(x)＝sin 2x－2cos2x－1
＝sin 2x－(cos 2x＋1)－1＝sin 2x－cos 2x－2
＝2sin－2，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－4.
(2)因为f(C)＝2sin－2＝0，
所以sin＝1，又C∈(0，π)，
知－<2C－<π，所以2C－＝，得C＝.
因为sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，
由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，所以a＝1，b＝2.
【题目2】 (本小题满分15分)如图，在三棱锥PABC 中， AB⊥BC，PA＝PC, AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，侧面PAC⊥底面 ABC.
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
解 法一
(1)证明 ∵O，D分别为AC，PC的中点，
∴OD∥PA.
又PA?平面PAB，OD?平面PAB，
∴OD∥平面PAB.
(2)连接OB.∵AB⊥BC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC.连接PO，∵PA＝PC，
∴OP⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，OP?平面PAC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC.
取BC中点E，连接PE，则BC⊥平面POE.
作OF⊥PE于F，连接DF，则OF⊥平面PBC，∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
又OD∥PA，∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.
不妨设AB＝BC＝2，则PA＝PB＝PC＝4，可求得OF＝，OD＝2.在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝，
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为.
法二
连接PO，OB，则PO⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO?平面PAC，
∴OP⊥平面ABC，又OA＝OC，AB＝BC，OA，OB?平面ABC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.
以O为原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，
设AB＝a，则A，B，C.
设OP＝h，则P(0，0，h)．
(1)证明 ∵D为PC的中点，
∴＝，又＝，
∴＝－，∴∥.∴OD∥PA.
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OD∥平面PAB.
(2)∵PA＝2a，∴h＝a，∴＝.
可求得平面PBC的一个法向量n＝，
∴cos〈，n〉＝＝.
设PA与平面PBC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为.
【题目3】 (本小题满分15分)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.
解 (1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1，
∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1，则b3＝4.
∵a1b3＝12，知a1＝3.
∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.
(2)设cn＝bncos(anπ)，
由(1)得cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
则cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又c1＝－1，
∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列．
∴Tn＝＝[(－2)n－1]．
【题目4】 (本小题满分15分)已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是线段AB上的点，直线y＝x＋m(m≥0)交椭圆C于M，N两点．若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．
解 (1)因为点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆＋＝1上，
所以a＝2，b＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，
得x2＋mx＋m2－1＝0，
则Δ＝2－m2>0，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
|MN|＝|x1－x2|＝.
①当MN为斜边时，＝，解得m＝0，满足Δ>0，
此时以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝.
点A(－2，0)，B(0，1)分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P，此时直线MN的方程为y＝x，满足题意．
②当MN为直角边时，两平行直线AB与MN间的距离d＝|m－1|，所以d2＋|MN|2＝|m－1|2＋(10－5m2)＝10，
即21m2＋8m－4＝0，解得m＝或m＝－，
又m>0，Δ>0，所以m＝.
过点A作直线MN：y＝x＋的垂线，可得垂足坐标为，垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，所以直线MN的方程为y＝x＋，符合题意．
综上所述，直线MN的方程为y＝x或y＝x＋.
【题目5】 (本小题满分15分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋b(a，b∈R)．
(1)当a＝2，b＝0时，求f(x)在[0，3]上的值域；
(2)若对任意的b，函数g(x)＝|f(x)|－的零点不超过4个，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2，b＝0时，f(x)＝x3－2x2＋3x，
f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)．
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，3)时，f′(x)<0，故f(x)在(1，3)上单调递减．
又f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝，
所以f(x)在[0，3]上的值域为.
(2)由题得f′(x)＝x2－2ax＋3，Δ＝4a2－12，
①当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，满足题意．
②当Δ>0，即a2>3时，方程f′(x)＝0有两根，
设两根为x1，x2，且x1所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
由题意知|f(x1)－f(x2)|≤，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－x,3)－a（x－x）＋3（x1－x2）))≤.
化简得(a2－3)≤，解得3综合①②，得a2≤4，即－2≤a≤2.故a的取值范围是[－2，2]．
INCLUDEPICTURE"解答题每日规范练1.TIF" INCLUDEPICTURE "解答题每日规范练1.TIF" \* MERGEFORMAT
星期一 (三角) 2019年____月____日
【题目1】 已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解 f(x)＝cos－2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明 由(1)知f(x)＝sin .
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－.
∴f(x)≥－成立．
星期二 (立体几何) 2019年____月____日
【题目2】 四棱锥PABCD如图放置，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．
(1)证明：PD⊥平面PAB；
(2)求AB与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明 由题易知在梯形ABCD中，AD＝BD＝，又PD＝1，PA＝PB＝2，
则AP2＋PD2＝AD2，PB2＋PD2＝BD2，
即DP⊥AP，DP⊥BP，
又AP∩BP＝P，则PD⊥平面PAB.
(2)解 由(1)可知DP⊥平面PAB，则DP⊥AB，
又CD∥AB，则DP⊥CD，则CP＝＝.
因为CD∥AB，CD?平面PAB，AB?平面PAB，
所以CD∥平面PAB，
则V三棱锥APBC＝V三棱锥CPAB＝V三棱锥DPAB，
S△PBC＝××＝，
S△PAB＝×2×2×＝，
设点A到平面PBC的距离为h，AB与平面PBC所成角为θ，则×h＝××1，
解得h＝，sin θ＝＝，
所以AB与平面PBC所成角的正弦值为.
星期三 (数列) 2019年____月____日
【题目3】 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．
解 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，
解得或(舍去)，
所以an＝n＋1.
(2)由(1)知＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－＝.
又λTn≤an＋1恒成立，所以λ≤＝2＋8，
而2＋8≥16，
当且仅当n＝2时等号成立．
所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.
星期四 (解析几何) 2019年____月____日
【题目4】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x＋3y＋12＝0的距离为3，椭圆C的离心率e＝.
(1)若P是椭圆C上任意一点，求|PF1|·|PF2|的取值范围；
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若·＝0，且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．
解 (1)设椭圆上焦点F1(0，c)，由F1到直线4x＋3y＋12＝0的距离为3，得＝3，又椭圆C的离心率e＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，求得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1，
所以1≤|PF1|≤3, 设|PF1|＝t，则|PF2|＝4－t，|PF1|·|PF2|＝t(4－t)＝－(t－2)2＋4，t＝2时，|PF1|·|PF2|取最大值4，
t＝1或3时，|PF1|·|PF2|取最小值3，故|PF1|·|PF2|的取值范围是[3，4]．
(2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝kx.
设B(xB，yB)，A(xA，yA)，H(xH，0)，M(xM，yM)．
由得(3k2＋4)x2＋12kx＝0，
则有xA＝0，xB＝，所以 yB＝，
所以＝，又＝(xH，－1)，
由已知·＝0，
所以·xH＋1－＝0，解得xH＝.
由|MO|＝|MA|，得x＋y＝x＋(yM－2)2，
∴yM＝1.
MH的方程为y＝－，
联立得yM＝＝1，
解得k2＝，即k＝±，
所以直线l的方程为y＝±x＋2.
星期五 (函数与导数) 2019年____月____日
【题目5】 设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．(其中e是自然对数的底数)
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝1时，f(x)＝－x2＋x＋ln x.
由f′(x)＝－2x＋1＋＝>0，
即2x2－x－1<0得01.
∴f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0即a＝x－，
令g(x)＝x－，其中x∈，
则g′(x)＝1－＝.
显然y＝x2＋ln x－1在上单调递增，
又当x＝1时，y＝1＋ln 1－1＝0，
∴当x∈时，g′(x)<0，
当x∈(1，e]时，g′(x)>0，
∴g(x)的单调减区间为，单调增区间为(1，e]．
∴g(x)min＝g(1)＝1.
又g＝e＋，g(e)＝e－，
函数f(x)在有两个零点，
则a的取值范围是.
星期六 (74分解答题综合练) 2019年____月____日
【题目1】 (本小题满分14分)已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，＝.
(1)求角A的大小；
(2)求b＋c的取值范围．
解 (1)由＝及正弦定理得
(b－a)(b＋a)＝(b－c)c，
所以a2＝b2＋c2－bc?cos A＝，则A＝.
(2)因为a＝，A＝，
所以＝＝＝＝2，
则b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2
＝2cos，
因为△ABC为锐角三角形，所以B的范围为，
则B－∈，
所以cos的取值范围是，
所以b＋c∈(3，2]．
【题目2】 (本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，PA⊥BD.
(1)求证：PB＝PD；
(2)若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．
(1)证明 连接AC，BD，设交点为O，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD且O为BD的中点．又PA⊥BD，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，由于PO?平面PAC，故BD⊥PO.又BO＝DO，故PB＝PD.
(2)解 法一 设PD的中点为Q，
连接AQ，EQ，
则EQ綉CD，又AF綉CD，所以EQ綉AF.
所以四边形AFEQ为平行四边形，EF∥AQ.
因为EF⊥平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，又PD?平面PCD，所以AQ⊥PD，又Q为PD的中点，
所以AP＝AD＝.
同理AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD＝D，所以PA⊥平面ABCD.
连接AC，BD，设交点为O，连接CQ，设CQ的中点为H，连接OH，则在△ACQ中，OH∥AQ，所以OH⊥平面PCD，又在△PBD中，OQ∥BP，
所以∠OQH即为直线PB与平面PCD所成的角．
又OH＝AQ＝，OQ＝PB＝1，
所以在Rt△OHQ中，sin∠OQH＝＝，
所以∠OQH＝，即直线PB与平面PCD所成的角为.
法二 设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ綉CD，
又AF綉CD，所以EQ綉AF.
所以四边形AFEQ为平行四边形，EF∥AQ.
因为EF⊥平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，
所以AQ⊥PD，又Q为PD的中点，所以AP＝AD＝.
由AQ⊥平面PCD，又可得AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD＝D，所以PA⊥平面ABCD，则AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，向量，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0，0，0)，B(，0，0)，Q，D(0，，0)，P(0，0，)，＝，＝(，0，－)，为平面PCD的一个法向量．
设直线PB与平面PCD所成角为θ，则
sin θ＝＝，
所以直线PB与平面PCD所成的角为.
【题目3】 (本小题满分15分)在单调递增的等差数列{bn}中，前n项和为Sn，已知b3＝6，且b2，，b4成等比数列．
(1)求{bn}的通项公式；
(2)设an＝()bn，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)设等差数列{bn}的公差为d，
因为b3＝6，且b2，，b4成等比数列，
所以
解得，b1＝2，d＝2或b1＝10，d＝－2.
因为{bn}递增，所以d>0，
所以b1＝2，d＝2，
所以{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)因为an＝()bn，所以an＝nen.
所以Sn＝1·e1＋2e2＋3e3＋…＋nen，①
所以eSn＝1·e2＋2e3＋3e4＋…＋nen＋1.②
以上两个式子相减得，
(1－e)Sn＝e＋e2＋e3＋…＋en－nen＋1，
所以(1－e)Sn＝－nen＋1，
所以Sn＝.
【题目4】 (本小题满分15分)如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B，右焦点为F，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点F作直线l1，l2，直线l1与椭圆交于点M，N，直线l2与椭圆交于点P，Q，且||2＋||2＝||2＋||2，求四边形MPNQ的面积S的最小值．
解 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则由题意知c＝1，又∵·＝1，
∴(a＋c)(a－c)＝1＝a2－c2，∴a2＝2，∴b2＝a2－c2＝1，故椭圆的方程为：＋y2＝1.
(2)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)．
则由题意：||2＋||2＝||2＋||2，
整理得：(xN－xM)·(xP－xQ)＋(yN－yM)(yP－yQ)＝0.
所以l1⊥l2.
①若直线l1，l2中有一条斜率不存在，不妨设l2的斜率不存在，则可得l2⊥x轴，∴|MN|＝2，|PQ|＝，
故四边形MPNQ的面积S＝|PQ||MN|＝×2×＝2.
②若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程：y＝k(x－1)(k≠0)，则代入椭圆方程，消去y可得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
则xM＋xN＝，xM·xN＝.
∴|MN|＝×＝×＝.同理可求得，|PQ|＝.
故四边形MPNQ的面积：S＝|PQ||MN|＝××＝≥，当且仅当k＝±1时，取“＝”．
综上，四边形MPNQ的面积S的最小值为.
【题目5】 (本小题满分15分)已知函数f(x)＝，x∈[0，1]．
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x 0 1
f′(x) － 0 ＋
f(x) － －4 ? －3
∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g′(x)＝3(x2－a2)．
∵a≥1，∴当x∈(0，1)时，g′(x)<3(1－a2)≤0，因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0，1]时，有g(x)∈[g(1)，g(0)]．
又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，故当x∈[0，1]时，有g(x)∈[1－2a－3a2，
－2a]．对于任意x1∈[0，1]，f(x1)∈[－4，－3]，若存在x0∈[0，1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．
即
解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.又a≥1，故a的取值范围为.
